2.3 二次根式 课前预习2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次根式概念生成、性质推导及运算应用，通过定义判断、化简技巧、平方法比较等实用方法，构建从基础到综合的逻辑链条，培养运算能力与几何直观。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|3题（1,4,6）|定义判断法、最简根式特征分析|从二次根式定义到有意义条件，建立概念认知| |性质应用|4题（3,7,9,11）|化简公式应用、同类根式识别、平方法比较|性质推导→化简→比较，形成性质应用链| |运算求解|5题（2,5,12,16）|代入求值法、乘除运算法则、混合运算技巧|运算规则→基础运算→混合运算，提升运算能力| |综合应用|3题（10,17,20）|几何建模法、规律探究法|结合图形与实际问题，体现数学应用意识|

2.3 二次根式 课前预习2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．下列是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 2．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B． C． D．2 3．化简：（   ） A．8 B．3 C． D． 4．若在实数范围内有意义，则实数的值可以是（    ） A． B． C．0 D．2 5．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 6．下列各式中，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 7．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 8．已知，则与最接近的整数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．比较大小： ，其中所填的符号是（     ） A． B． C． D．无法确定 10．如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成一个大正方形，正方形的面积为50，，图中空白的地方是一个小正方形，那么这个小正方形的面积为（    ） A． B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为__________. 12．计算：______． 13．如果，那么的值是______． 14．按规律排列的一组数：3，，，12，，则这组数的第9个数是___________． 15．对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，，现在对进行如下操作：，即对只需进行次操作后变为．类比上述操作：对只需进行________次操作后变为． 三、解答题 16．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．某校有一块形状为正方形的绿地（如图），其边长为米．现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的长方形花坛，每个花坛的长为米、宽为米，除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，求通道的总面积． 18．已知最简二次根式与能合并． (1)求 的值； (2)若，化简：． 19．先观察下列等式，再回答问题． ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想______． (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用的式子表示的等式：______ (3)对任何实数，用表示不超过的最大整数，如，，计算 的值． 20．如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为．因此，的长方形的对角线的长是． (1)如图2，小明在数轴上画出的点M表示的数为______． (2)一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为n． ①求的立方根． ②求的值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C D B A C A C B 1．【答案】C 【知识点】二次根式的识别 【分析】根据二次根式的定义，只需判断各选项的被开方数是否恒为非负数，即可得出正确结果． 【详解】解：∵选项A中被开方数，∴不是二次根式； ∵选项B中a的符号不确定，当时被开方数为负数，∴ 不一定是二次根式； ∵，∴，被开方数恒为非负数，符合二次根式定义，∴选项C是二次根式； ∵选项D中，当时，，被开方数为负数，∴不一定是二次根式． 2．【答案】C 【知识点】求二次根式的值 【分析】本题考查二次根式，将已知数值代入原式并进行正确的运算是解题的关键．将代入二次根式中计算即可． 【详解】解：当时， 原式， 故选：C 3．【答案】C 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键；将18分解为，利用二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：； 故选C． 4．【答案】D 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式的定义，正确理解二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，求出x的取值范围，再匹配选项得出答案． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得， ∵选项中只有2满足， 故选：D． 5．【答案】B 【知识点】二次根式的乘法 【详解】． 6．【答案】A 【知识点】最简二次根式的判断、化为最简二次根式 【详解】解：A、是最简二次根式； B、，此项不是最简二次根式； C、，此项不是最简二次根式； D、，此项不是最简二次根式． 7．【答案】C 【知识点】同类二次根式 【分析】根据同类二次根式的定义：把二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，进行判断即可． 【详解】解：的被开方数为2， A．的被开方数为3，与的被开方数不同，不符合题意； B．化简后为2，被开方数为1，与的被开方数不同，不符合题意； C．的被开方数为2，与的被开方数相同，符合题意； D．的被开方数为6，与的被开方数不同，不符合题意； 故选：C． 8．【答案】A 【知识点】运用平方差公式进行运算、无理数的大小估算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了估算无理数的大小，平方差公式，掌握估算无理数的大小方法，平方差公式是解题的关键．先根据二次根式的混合运算计算，得出，然后估算的近似值，即可得出答案． 【详解】解：∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴与最接近的整数是3， 故选：A． 9．【答案】C 【知识点】比较二次根式的大小、实数的大小比较 【分析】比较两个正无理数的大小，可采用平方法，正数比较大小时，平方越大的数本身越大，进一步可得答案． 【详解】解：∵ ， 而 ∴ ∴ ． 10．【答案】B 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查二次根式的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．由正方形的面积为50，解得正方形的边长，即一个小长方形的长与宽的和，减去，得到宽的值，据此解得小长方形的长，再解出小正方形的边长即可解题． 【详解】解：根据题意得， 小正方形的边长为： 这个小正方形的面积为， 故选：B． 11．【答案】7 【知识点】利用二次根式的性质化简、求二次根式中的参数 【分析】此题考查了二次根式的化简，二次根式的定义，关键是掌握．首先把进行化简，然后根据是整数确定n的最小值． 【详解】解：， ∵是正整数，是整数， ∴是完全平方数， ∴n的最小值是7. 故答案是：7． 12．【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，根据二次根式乘除法的运算法则进行计算即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 13．【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、已知条件式，化简求值 【分析】根据二次根式有意义的条件，求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值．熟练掌握二次根式的被开方数是非负数，是解题的关键． 14．【答案】33 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、与实数运算相关的规律题 【分析】本题主要考查数式规律问题、算术平方根等知识点，结合已知条件总结出规律是解题的关键． 根据已知数总结规律，然后利用规律即可解答． 【详解】解：第1个数：； 第2个数：； 第3个数：； 第4个数：； …… 第9个数是． 故答案为：33． 15．【答案】 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、新定义下的实数运算 【分析】理解题目给出的新定义，用表示不小于的最小整数，按照操作规则逐步计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意，对36逐步进行操作： ∵ ， ∴ 可得第一次操作结果； ∵，， ∴ ，可得第二次操作结果； ∵， ∴，可得第三次操作结果． 16．【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】运用平方差公式进行运算、负整数指数幂、运用完全平方公式进行运算、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，零指数幂，负整数指数幂，绝对值的化简等知识点，解题的关键是掌握各运算法则． （1）先对二次根式进行化简，再合并同类二次根式即可； （2）利用二次根式的乘除进行运算即可； （3）利用二次根式的化简，零指数幂，负整数指数幂，绝对值的化简等运算法则进行计算即可； （4）利用平方差公式和完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 17．【答案】通道的总面积为． 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查了二次根式的应用，根据通道的总面积等于正方形面积减去个花坛面积，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：由题意得，通道的总面积为： 故通道的总面积为． 18．【答案】(1) (2)5 【知识点】同类二次根式、利用二次根式的性质化简、带有字母的绝对值化简问题、已知最简二次根式求参数 【分析】（1）根据同类二次根式的定义进行计算即可； （2）先推导出，得到，再进行绝对值与二次根式的化简，最后合并即可． 【详解】（1）解：∵最简二次根式与能合并， ∴， 解得； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴ ． 19．【答案】(1) (2) (3) 【知识点】新定义下的实数运算、与实数运算相关的规律题 【分析】本题主要考查了新定义，数字类的规律探索，正确理解题意是解题的关键． （1）观察可知两个连续的正整数的平方的倒数之和加上1的算术平方根等于1加上较小的正整数的倒数减去较大正整数的倒数，据此求解即可； （2）根据（1）的规律可得答案； （3）根据（1）（2）的规律把所求式子裂项计算，再根据新定义可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：①； ②； ③； ……， 以此类推，可知； （3）解： ． 20．【答案】(1) (2)①；②5 【知识点】实数与数轴、求一个数的立方根、实数运算的实际应用 【分析】本题主要考查实数与数轴、实数的运算，熟练掌握实数与数轴、实数的运算是解题的关键． （1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意得，①把代入进行进行求解即可； ②把代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：小明在数轴上画出的点表示的数为； 故答案为：； （2）解：由题意得：， ①， ∵， ∴的立方根为； ②． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $