精品解析：安徽省六安市第二中学教育集团2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

六安二中教育集团2025-2026学年第二学期高一年级期末考试 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 考生注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号． 2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效． 4．考试结束，务必将答题卡上交，试卷自行保管． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 2. 平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关，在下图两种分布形态中，分别对应平均数和中位数之一，则可能的对应关系是（ ） A. 为中位数，为平均数，为平均数，为中位数 B. 为平均数，为中位数，为平均数，为中位数 C. 为中位数，为平均数，为中位数，为平均数 D. 为平均数，为中位数，为中位数，为平均数 【答案】A 【解析】 【分析】在频率分布直方图中，中位数两侧小矩形的面积相等，平均数是每组频率的中间值乘频数再相加之和，由此能求出结果． 【详解】解：在频率分布直方图中， 中位数两侧小矩形的面积相等， 平均数是每组频率的中间值乘频数再相加之和， 结合两个频率分布直方图得： 为中位数，为平均数，为平均数，为中位数． 故选：A． 3. 如图，是用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，若，的面积为3，则（ ） A. B. C. 6 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】先根据三角形的面积公式求的长度，再根据斜二测画法的规则确定的长度. 【详解】在中，由，解得， 根据斜二测画法的规则可得： . 4. 设，，在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量在向量上的投影向量公式，由系数相等得到夹角的关系式，从而求解. 【详解】向量在向量上的投影向量为，其中为与的夹角，且，因为在上的投影向量为，所以, 将，代入得，解得，因为，且，所以. 5. “方斗”是中国古代盛米的一种重要容器，其形状是一个上大下小的正四棱台．如图所示，在一个盛满米的“方斗”容器中，，若从中取出米后，米的高度下降一半，则剩余的米的质量为（ ） A. B. 48kg C. 57kg D. 【答案】A 【解析】 【分析】假设从“方斗”中取出米后，米的高度下降一半至平面处.分析出取出米的质量与剩余的米的质量之比为正四棱台和的体积之比，再根据棱台的体积公式分别求出两个棱台的体积即可得解. 【详解】 假设从“方斗”中取出米后，米的高度下降一半至平面处， 由题意可知正四棱台和的高相等，设为. 因为，所以. 则， . 设剩余的米的质量为， 则，解得， 所以剩余的米的质量为. 故选：A 6. 已知的内角 ，， 所对的边分别为 ，，，下列四个命题中错误的命题是（ ） A. 在 中，若 ，则 B. 若 ，，，则有唯一解 C. 若，则是等腰三角形或直角三角形 D. 若 ，则角 【答案】D 【解析】 【分析】对于A：利用正弦定理边化角即可得结果；对于B：利用正弦定理可得，结合即可得结果；对于C：由倍角公式可得，即可得结果；对于D：利用余弦定理边化角即可得结果. 【详解】对于A，在中，由正弦定理知，， 结合大边对大角可得，故命题正确，A不符合题意； 对于B，因为，，， 由正弦定理，得， 由知，只有一解，所以有一个解，故命题正确，B不符合题意； 对于C，因为，由正弦定理得：，则， 因为，可知或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形，故命题正确，C不符合题意； 对于D，因为， 由余弦定理得：，即， 因为，所以或，故命题错误，D符合题意. 故选：D. 7. 甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响，两人约定如下：每次由一人射击，若命中，下一次由另一人射击；若没有命中，则继续射击.约定甲先射击，则前4次中甲恰好射击3次的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先要明确前4次中甲恰好射击3次的所有可能情况，然后根据每次射击命中与否相互独立这一条件，利用独立事件概率的乘法公式来计算每种情况的概率，最后将所有情况的概率相加得到最终结果. 【详解】前4次中甲恰好射击3次有三种情况： 第一种情况：第一次甲命中，第二次乙命中，第三次甲没命中，第四次甲射击. 第二种情况：第一次甲没命中，第二次甲没命中，第三次甲命中，第四次乙射击 . 第三种情况：第一次甲没命中，第二次甲命中，第三次乙命中，第四次甲射击 . 甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为与， 则甲、乙两人每次射击没有命中目标的概率分别为与. 计算第一种情况的概率: 根据独立事件概率的乘法公式，这种情况的概率为. 计算第二种情况的概率: 根据独立事件概率的乘法公式，这种情况的概率为. 计算第三种情况的概率: 根据独立事件概率的乘法公式，这种情况的概率为. 计算前4次中甲恰好射击3次的总概率: 将三种情况的概率相加得，前4次中甲恰好射击3次的概率为. 故选：B. 8. 在中，，，，若，若，则的值为（ ） A. 2或 B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件判断出三点共线，然后根据向量数量积列方程，化简求得的值. 【详解】设是的中点， 由于，所以， 所以三点共线，且， ，且， 所以， 令，则， 所以 ， 解得，则，解得. 故选：D 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 设复数z的共轭复数为，为虚数单位，则下列命题正确的是（ ） A. 复数的共轭复数的模 B. 若复数是纯虚数，则得或 C. 若复数对应的向量为，对应的向量为，则向量对应的复数为 D. 若复数是关于x的方程的一个根，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用复数的基本概念、运算、几何意义及实系数一元二次方程的虚根性质，结合对应知识点逐一判断选项即可. 【详解】选项A：，故，A正确， 选项B：纯虚数要求实部为且虚部不为，令实部，解得或， 当时虚部，复数为实数，不符合要求，仅成立，B错误； 选项C：向量，对应的复数为，C正确； 选项D：实系数一元二次方程的虚根共轭成对，另一根为， 由韦达定理，两根和得，两根积， 故，D正确. 10. 如图，在棱长为1的正方体中，下列选项正确的是（ ） A. 异面直线与所成的角为 B. 三棱锥的体积为 C. 直线平面 D. 二面角的大小为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，利用线线角的定义及正方体的性质，结合等边三角形的性质即可求解；对于B，利用等体积法及棱锥的体积公式即可求解；对于C，利用线面垂直的判定定理即可求解；对于D，根据已知条件及二面角的平面角的定义，结合锐角三角函数即可求解. 【详解】对于A，因为为正方体，所以,且， 所以四边形为平行四边形，所以，且， 所以异面直线与所成的角的大小即为与所成的角，故或其补角为所求. 再由正方体的性质可得为等边三角形，故， 即异面直线与所成的角为，故A错误； 对于B，由题意可知，，故B正确； 对于C，由正方体的性质可得，平面，平面， 所以， 因为为正方体，所以四边形为正方形，即， 又，平面， 所以平面，又平面，所以， 同理可证，又，平面， 所以平面，故 C正确； 对于D，由正方体的性质可知，平面，平面， 所以，因为为正方体，所以四边形为正方形，即， 所以是二面角的平面角， 因为为正方体，所以四边形为正方形， 所以，即， 所以二面角的大小为，故D 错误. 故选：BC. 11. 数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.现有满足，且，则（ ） A. 外接圆的半径为 B. 若的平分线与BC交于点D，则AD的长为 C. 若D为BC的中点，则AD的长为 D. 若O为的外心，则 【答案】BD 【解析】 【分析】依题意由正弦定理可得，根据余弦定理和三角形面积公式可求得，再由正弦定理可得A错误；利用解法一：利用角平分线相关长度公式直接代入边长、夹角计算；解法二：几何作高法，过作垂线，用面积求；解法三：向量法，由角平分线定理得向量表达式，平方模长计算；解法四：余弦定理联立，结合角平分线分对边比例，分别在两个小三角形列方程求的长为，即B正确； 利用解法一：向量中线公式，平方计算模长；解法二：中线长公式直接代入；解法三：在中用余弦定理，结合求得，即C错误；利用解法一：外接圆直径投影法，延长AO为直径，利用直径所对圆周角为直角，向量投影得结果为；解法二：外心性质+中点法，取AB中点H，由得向量点积性质，分别计算、再相加，可得D正确. 【详解】由及正弦定理可得， 不妨设，，，利用余弦定理可得， 由，可得，所以. 又，解得，所以，，. 对于A，设外接圆的半径为R，由正弦定理可得，所以，故A错误； 对于B，解法一：由得，， 即，故B正确； 解法二：分别作BE，CF垂直于AD，垂足分别为E，F，如图①所示， ，故B正确； 解法三：由内角平分线定理知，， 所以，则，所以，故B正确； 解法四：由内角平分线定理知，，所以，， 因为， 所以，即， 所以，所以，故B正确； 对于C，解法一：若D为BC的中点，易知，如图②所示， 所以，可得，故C错误； 解法二：因为，， 所以，即， 所以，所以，故C错误； 解法三：由余弦定理知，， 在中，，所以，故C错误； 对于D，解法一：延长AO交外接圆于点，连接，，如图③所示， 易知即为直径，所以可知，， 利用投影向量的几何意义可得： ，故D正确. 解法二：取AB的中点H，连接OH，OA，如图④所示， 则，所以，同理， 所以，故D正确. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知非零向量不共线，且，若则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量共线及平面向量基本定理可得. 【详解】因为，即，则， 即，又，且非零向量不共线， 所以由平面向量基本定理得，两式相加，得. 13. 已知在三棱锥中，平面ABC，且，，则三棱锥的外接球的体积为________． 【答案】 【解析】 【分析】作出图形，利用正弦定理求出底面外接球半径，结合线面垂直的性质和勾股定理即可求出外接球半径，最后利用球的体积公式即可. 【详解】作出如下图形，其中为外接球球心，为底面中心， 则为底面外接圆的半径，取为中点，连接， 在中，由，得的外接圆的半径， 又平面ABC，平面，所以， ，所以平面ABC，因为平面，，所以， 因为，所以，所以四边形为矩形， 所以，设外接球半径为， 所以由，得，所以， 故三棱锥的外接球的体积为. 故答案为：. 14. 如图，在山脚A测得山顶P的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走米到B，在B处测得山顶P的仰角为，则山高为__________． 【答案】 【解析】 【详解】已知A点仰角，斜坡倾斜角为，故， B点仰角为，则， ， 在中，由正弦定理， ，则， 在中，， 故山的高度． 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知两个不共线的平面向量，记. （1）若，求的值. （2）若时，，求的夹角. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意意可得，利用向量相等可求； （2）由，可求得，利用向量的夹角公式可求的夹角. 【小问1详解】 因为，不共线，所以为非零向量，所以由可得存在，使得， 即， 所以，解得； 【小问2详解】 当时，，又， 所以， 又，所以，解得， 所以，又，所以， 所以的夹角为. 16. 某高校承办了2025怒江傈僳“阔时”文化节志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. （1）求的值； （2）估计这100名候选者面试成绩的众数和分位数（分位数精确到0.1）； （3）在第四，第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率. 【答案】（1）， （2）众数为70；分位数为71.7 （3） 【解析】 【分析】（1）由每个小矩形面积代表频率，根据所有频率之和为1可得； （2）根据频率分布直方图中百分位数和中位数的计算求解即可； （3）先由分层抽样得出第四、第五两组志愿者抽取的人数，再利用古典概型的概率公式求解． 【小问1详解】 因为第三、四、五组的频率之和为0.7， 所以，解得， 所以前两组的频率之和为，即，所以. 【小问2详解】 根据频率直方图可知，众数为； 前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75， 所以分位数在第三组，且为． 【小问3详解】 第四、第五两组志愿者分别有20人，5人， 故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为，第五组志愿者人数为1，设为， 这5人中选出2人，所有情况有 ，共有10种情况， 其中选出的两人来自不同组的有，共4种情况， 故选出的两人来自不同组的概率为． 17. 是 斜边 上一点，，记，． （1）求证：； （2）若，求的值． 【答案】（1）由于，可知即, ，即， 又是直角三角形，所以， 故，证毕. （2） 【解析】 【分析】（1）利用，可知即,,再利用是直角三角形，即可证明； （2）在中，利用正弦定理结合已知条件可得，再由可求得，从而可求出的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，，即， 又因为，可知即， 所以，化简可得，， 由（1）可得，， 所以，即， 解得 ，或， 又在中，，故. 18. 如图，四棱锥的底面是矩形，平面，M为棱BC的中点，且，，直线PM与平面所成的角为. （1）证明：. （2）在棱上是否存在一点E，使得直线平面？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由. （3）求直线PB与平面所成角的正切值. 【答案】（1） 由平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面，又平面， 所以； （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）由平面，利用线面垂直的性质定理得，再由线面垂直的判定定理得平面，又由线面垂直的性质定理得证； （2）存在点为中点时，平面，取的中点为，连接，即证，利用线面平行的判定定理即可求解； （3）连接，可得，根据已知条件求出，设点到平面的距离为，利用求出，进而可求出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 存在点为中点时，平面，即， 证明如下： 取的中点，连接，取的中点为，连接， 所以，又点为中点，所以， 所以，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； 【小问3详解】 连接，由平面，所以为直线PM与平面所成的角， 所以， 在中，， 所以，① 因为，所以，所以②， 由①②得， 所以， 设点到平面的距离为， 在中，， 所以， 因为，所以， 所以， ， 因为，所以，得， 设直线PB与平面PAM所成角为，则， 因为，所以， 所以， 所以直线PB与平面所成角的正切值为. 19. 已知中，，令，且．过边上一点（异于端点）作边的垂线，垂足为，再由作边的垂线，垂足为，又由作边的垂线，垂足为．设． （1）求的长度； （2）若，求的值； （3）若存在实数，使得为常数，求的值，并写出该常数． 【答案】（1） （2） （3）；该常数为 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积求出，余弦定理求的长度； （2）由，得，设，余弦定理求，由，可得的值； （3）由，可求得，则有，代入中判断值为常数的条件. 【小问1详解】 设，则，得， 所以. 【小问2详解】 由已知，则， 设，则， 所以，则有，得. 【小问3详解】 由可得，由（1）知， ，， ， ， ， ， 又，所以， 所以， 若为常数，则，即，此时该常数为. 【点睛】关键点点睛： 结合图形，利用向量数量积和余弦定理求出内角的余弦值，由，在各直角三角形中利用的边长和三角函数求出，找到与的关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 六安二中教育集团2025-2026学年第二学期高一年级期末考试 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 考生注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号． 2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效． 4．考试结束，务必将答题卡上交，试卷自行保管． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 2. 平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关，在下图两种分布形态中，分别对应平均数和中位数之一，则可能的对应关系是（ ） A. 为中位数，为平均数，为平均数，为中位数 B. 为平均数，为中位数，为平均数，为中位数 C. 为中位数，为平均数，为中位数，为平均数 D. 为平均数，为中位数，为中位数，为平均数 3. 如图，是用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，若，的面积为3，则（ ） A. B. C. 6 D. 12 4. 设，，在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. “方斗”是中国古代盛米的一种重要容器，其形状是一个上大下小的正四棱台．如图所示，在一个盛满米的“方斗”容器中，，若从中取出米后，米的高度下降一半，则剩余的米的质量为（ ） A. B. 48kg C. 57kg D. 6. 已知的内角 ，， 所对的边分别为 ，，，下列四个命题中错误的命题是（ ） A. 在 中，若 ，则 B. 若 ，，，则有唯一解 C. 若，则是等腰三角形或直角三角形 D. 若 ，则角 7. 甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响，两人约定如下：每次由一人射击，若命中，下一次由另一人射击；若没有命中，则继续射击.约定甲先射击，则前4次中甲恰好射击3次的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，，，若，若，则的值为（ ） A. 2或 B. C. 1 D. 2 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 设复数z的共轭复数为，为虚数单位，则下列命题正确的是（ ） A. 复数的共轭复数的模 B. 若复数是纯虚数，则得或 C. 若复数对应的向量为，对应的向量为，则向量对应的复数为 D. 若复数是关于x的方程的一个根，则 10. 如图，在棱长为1的正方体中，下列选项正确的是（ ） A. 异面直线与所成的角为 B. 三棱锥的体积为 C. 直线平面 D. 二面角的大小为 11. 数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.现有满足，且，则（ ） A. 外接圆的半径为 B. 若的平分线与BC交于点D，则AD的长为 C. 若D为BC的中点，则AD的长为 D. 若O为的外心，则 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知非零向量不共线，且，若则__________. 13. 已知在三棱锥中，平面ABC，且，，则三棱锥的外接球的体积为________． 14. 如图，在山脚A测得山顶P的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走米到B，在B处测得山顶P的仰角为，则山高为__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知两个不共线的平面向量，记. （1）若，求的值. （2）若时，，求的夹角. 16. 某高校承办了2025怒江傈僳“阔时”文化节志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. （1）求的值； （2）估计这100名候选者面试成绩的众数和分位数（分位数精确到0.1）； （3）在第四，第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率. 17. 是 斜边 上一点，，记，． （1）求证：； （2）若，求的值． 18. 如图，四棱锥的底面是矩形，平面，M为棱BC的中点，且，，直线PM与平面所成的角为. （1）证明：. （2）在棱上是否存在一点E，使得直线平面？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由. （3）求直线PB与平面所成角的正切值. 19. 已知中，，令，且．过边上一点（异于端点）作边的垂线，垂足为，再由作边的垂线，垂足为，又由作边的垂线，垂足为．设． （1）求的长度； （2）若，求的值； （3）若存在实数，使得为常数，求的值，并写出该常数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $