安徽省六安第一中学2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

**基本信息** 六安一中高一期末数学卷以核心素养为导向，融合祖暅原理文化传承、党史竞赛与法治比赛现实情境，全面考查空间向量、概率统计等知识，梯度设计合理。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8题/40分|随机事件互斥、复数模、空间向量基底等|第7题结合饼图与条形图考查数据分析，体现数学眼光| |多选|3题/18分|统计方差、概率互斥独立、圆柱容球|第11题以阿基米德墓碑为情境，考查空间想象与运算能力| |填空|3题/15分|向量垂直、正四面体外接球、概率公式推导|第14题强化逻辑推理，培养理性精神| |解答题|5题/77分|空间向量表示、解三角形、圆锥二面角、统计概率应用、祖暅原理体积计算|第19题通过牟合方盖体现文化传承与创新思维，落实数学语言表达|

六安一中2026年春学期高一年级期末考试 数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1．已知随机事件A与B互斥，且，，则（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.9 2. 已知复数满足，则为( ) A． B．2 C．1 D．i 3. 已知在空间四边形ABCD中，，则( ) A． B． C． D． 4．班上有5名数学爱好者，其中3人是男生．若从这5人中随机选出2人，则恰好2人都是男生的概率是（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，，则下列向量中可以与，构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 6．在正方体中，是的中点，则下列说法中正确的是（     ）． A．直线与直线相交 B．直线与直线垂直 C．直线与直线平行 D．直线平面 7. 为深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想，某校于2026年1月组织高一、高二、高三三个年级共400名学生参加“青春心向党·奋进新征程”党史知识竞赛．如图，结合参赛学生的年级分布饼图与高一学生的排名分布频率条形图，下列命题中错误的是（ ） A．这400名学生中，高一人数比高二人数多40 B．成绩前200名的高一学生有90人 C．成绩前100名的学生中，高三学生人数不超过64 D．成绩第101名到第200名的学生中，高二人数比高一人数多 8．已知随机事件发生的概率均为，且两两独立，那么这三个事件同时发生的概率可能为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分． 9．下列说法正确的是（    ） A. 数据12，13，14，15，17，19，23，24，27，30的中位数是19 B．一组样本数据的方差, 则这组样本数据的总和为60 C．若样本数据的方差为8，则数据的方差为 D．若一个样本容量为8的样本的平均数是5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本的平均数不变，方差变大 10．口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”，事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则（     ） A．与互为对立 B．与互斥 C．与相互独立 D． 11．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现．如图是一个圆柱容球，，为圆柱下、上底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径，则（    ） A．球与圆柱的表面积之比为2:3 B．平面截得球的截面面积最小值为 C．四面体的体积的取值范围为 D．若为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知向量，且，则________________． 13．棱长为1的正四面体的外接球体积为_________． 14．已知随机事件满足，则下列结论 ：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是__________． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．本小题满分13分 如图，在空间四边形OABC中，已知，，，点D、E分别为BC、AD的中点，设，，． （1）试用向量表示向量； （2）求的值． 16．（本小题满分15分） 在中，角，，所对的边分别为，已知，． （1）求的值； （2）若，求边上的高． 17．本小题满分15分 如图，在圆锥PO中，已知，的直径，点C在上，且，点D为AC的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值.    18．本小题满分17分 某校法联社团组织高一年级所有学生参加“感受法治内涵，争做法治宣传人”的主题知识比赛，旨在引导同学们深入学习法治知识，争当法治精神的传播者．比赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分100分，最低分50分）中，随机调查了部分同学的测试成绩，按分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值； （2）若规定，成绩排名前的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学成绩应不低于多少分？ （3）现有甲、乙两同学入围决赛，均需回答两道考题，已知甲同学答对每道题目的概率均为，乙同学答对每道题目的概率均为，且两人各道题答对与否互不影响，求甲、乙两人共计答对三道题目的概率． 19．本小题满分17分 南北朝时期的伟大科学家祖暅，于五世纪末提出了体积计算原理，即祖暅原理：“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么，这两个几何体的体积相等．其最著名之处是解决了“牟合方盖”的体积问题．如图所示，正方体，棱长为． （1）求图中四分之一圆柱体的体积； （2）四分之一圆柱体与四分之一圆柱体公共部分是八分之一个“牟合方盖”．点在棱上，设过点作一个与正方体底面平行的平面； （i）求该截面位于八分之一“牟合方盖”内部分的面积； （ii）如果令，应用祖暅原理求出八分之一“牟合方盖”的体积． 六安一中2026年春学期高一年级期末考试 数学试卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C B A A B D C BC ACD ABD 7．【详解】由饼图可知，高一人数比高二人数多选项正确； 由条形图可知，成绩前200名中高一人数为人，B选项正确； 成绩前100名的学生中，高一人数为人，故高三人数不超过人，C选项正确；成绩第101名到第名的学生中，高一人数为人， 故高二最多有人，因此高二人数比高一少，D选项错误，故选：D 8．【详解】由两两相互独立得到， 设， 则 ，解得， 又考虑， 解得，综上得． 11．【详解】对于A，由球的半径为，可知圆柱的底面半径为，圆柱的高为， 则球的表面积为，圆柱的表面积为，所以球与圆柱的表面积之比为，故A正确；对于B，矩形所在截面如图所示，过点作于点，则由题可得，设点到平面的距离为，平面截得球的截面圆的半径为， 则，，所以平面截得球的截面面积最小值为，故B正确；对于C，由题可知四面体的体积等于，点E到平面的距离， 又，所以，故C错误； 对于D，由题可知点在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上， 设P在底面的投影为，则，，， ，设，则，， 所以 ， 所以．故D正确． 12． 1 13． 14．①②④ 【详解】对于①，， ， 又，所以，故，①正确； 对于②③④，，结合， 可得，而， 所以，②正确，③错误，④正确． 15．(1) ；………………5分 (2) . ……………………13分 16. (1) ； (2) . 【详解】（1）由正弦定理得 ………………………2分 由余弦定理得 ………………………4分 …………………………6分 （2）由（1）知 若 则 ………………………7分 因为,且 因为 ……………………9分 BC边上的高为= ………………………15分 17．(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接，则，因为点D为AC的中点，所以，因为为的直径，所以，所以，因为为的中点，D为AC的中点，所以‖，，所以， 因为，平面，所以平面，  ………………7分 （2）由（1）知，，所以为二面角的平面角，因为平面，平面，所以，因为，，，所以，所以，所以在中，,所以二面角的正弦值为 ……………15分 注：建系需说明建系的理由，否则扣2分. 18．（1） （2） （3）． 【详解】（1）频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1， ，解得.………………………4分 （2）的频率为，的频率和为，故排名前的同学的成绩位于内，且设为，则，解得，进入决赛的同学成绩应不低于分．……10分 （3）甲乙两人共计答对三道题目的情况有： 甲对一道题，乙对两道题，或甲对两道题，乙对一道题，设甲对一道题，乙对两道题为事件，甲对两道题，乙对一道题为事件，，，两人各道题答对与否互不影响，则． 甲、乙两人共计答对三道题目的概率为．………………17分 19．(1)； (2)（i）面积为；（ii）体积为 【详解】（1）因为正方体的棱长为， 所以四分之一圆柱体的体积为：．………………3分 （2）（i）如图：截面位于八分之一“牟合方盖”内的部分为正方形． 因为，所以，而正方体的棱长为，因此， 所以，因此正方形的面积为， 即该截面位于八分之一“牟合方盖”内部分的面积为． 用平行于八分之一“牟合方盖”底面，且到“牟合方盖”底面的距离为的平面去截八分之一“牟合方盖”，所得截面的面积为．……………………9分 （ii）所得截面如图： 正方体的棱长为为底面的中心， 把正方体去掉正四棱锥后剩下的部分的底面与“牟合方盖”底面放到同一平面上， 则八分之一“牟合方盖”与所得几何体都夹在平面与平面之间，则用平行于八分之一“牟合方盖”底面，且到“牟合方盖”底面的距离为的平面去截所得几何体，截面为图中的阴影部分，且面积为，因此八分之一“牟合方盖”的体积为， 所以当时，八分之一“牟合方盖”的体积为．……………………17分 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $