精品解析：安徽淮北市实验高级中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

淮北实高2025级高一第二学期期末检测 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：仝道清 审题人：徐忠春 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 一个袋子中有三个不同颜色的球，分别为红、黄、蓝，从中任取一球，则抽中红球的概率为（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示，表示水平放置的的直观图，则的面积是（ ） A. B. 4 C. D. 2 3. 若一组数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 18 4. 三棱锥中，平面为垂足，则是的 A. 重心 B. 内心 C. 外心 D. 垂心 5. 如图，点P，A，B均在边长为1的小正方形组成的网格上，则（ ） A. －8 B. －4 C. 0 D. 4 6. 某研究性学习小组为了解某校名学生参加年暑期社会实践的情况，通过按比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本，对学生某一天社会实践的时间（单位：）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示．已知样本中的人数为，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. 估计该样本数据的平均数为74 D. 估计全校社会实践时间在及以上的学生有180人 7. 四面体中，底面为等边三角形，，则四面体的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 我们定义：“”为向量与向量的“外积”，若向量与向量的夹角为，它的长度规定，现已知：在中，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数在复平面内对应的向量，则下列关于复数的说法正确的是（ ） A. B. 的虚部为 C. D. 复数满足，则的最大值为6 10. 已知点，则下列结论正确的是（ ） A. 与向量垂直的向量坐标可以是 B. 与向量平行的向量坐标可以是 C. 向量在方向上的投影向量坐标为 D. 对，向量与向量所成角均为锐角 11. 在正方体中，E，F分别为，的中点.取点，C，E，F，若一条直线过其中两点，另一条直线过另外两点，则（ ） A. 两条直线为异面直线是必然事件 B. 两条直线互相垂直的概率为 C. 两条直线互相平行与互相垂直是对立事件 D. 两条直线都与直线垂直是不可能事件 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某篮球运动员近8场比赛的得分从低到高依次为6，9，，，，，，，则这8个数据的上四分位数是____________． 13. 在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，且，则的取值范围为__________． 14. 已知正方体的棱长为2，点为线段的中点，若平面满足，且，则截正方体所得的截面周长为__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 甲乙两人进行某项比赛 （1）若比赛结果有胜利、失败、平局三种，已知甲获胜的概率为，甲不输的概率为，求甲乙两人取得平局的概率； （2）若比赛结果只有胜利、失败两种，已知甲获胜的概率为（），对于甲来说，一局定胜负和三局两胜两种比赛方式比较，试问哪种比赛方式对甲更有利？说明你的理由. （说明：“三局两胜”是常见的比赛模式，指先赢得两局者为胜，做多三局结束） 16. 为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：、、、、、，得到如图所示的频率分布直方图． （1）在考核成绩为、、的三组学生中，用分层抽样的方法抽取13人，则考核成绩在中的学生应抽取多少人？ （2）若落在学生的平均成绩是54.4，方差是5.2，落在学生的平均成绩为66.4，方差是9.2，求这两组学生成绩的平均数和方差．（结果精确到0.1） 17. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 18. 如图，四边形是边长为4的菱形，平面将菱形沿对角线折起，使得点到达点的位置，且平面平面． （1）求证：平面； （2）若，求多面体体积． 19. 已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=1，BC=2，又PB⊥平面ABCD，且PB=1，点E在棱PD上且 ． （1）求证：BE⊥PC； （2）求直线CD与平面PAD所成角的大小； （3）求二面角A﹣PD﹣B的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 淮北实高2025级高一第二学期期末检测 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：仝道清 审题人：徐忠春 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 一个袋子中有三个不同颜色的球，分别为红、黄、蓝，从中任取一球，则抽中红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据古典概型求解即可. 【详解】由题意，基本事件共3种：抽中红球、抽中黄球、抽中蓝球， 其中“抽中红球”包含的基本事件数为1， 所以抽中红球的概率. 2. 如图所示，表示水平放置的的直观图，则的面积是（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据直观图和原图间的关系可求答案. 【详解】由图可得的底边为2，高为4，所以的面积是4. 故选：B 3. 若一组数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】根据方差的性质求解即可. 【详解】原数据方差， 则新数据方差为. 4. 三棱锥中，平面为垂足，则是的 A. 重心 B. 内心 C. 外心 D. 垂心 【答案】C 【解析】 【分析】连接，可证即是的外心. 【详解】如图，连接， 因为平面，平面，所以，同理， 因为，，所以，所以， 同理，故是的外心.故选C. 【点睛】在三棱锥中，如果，那么在平面内的射影为的外心，如果，则那么在平面内的射影为的垂心. 5. 如图，点P，A，B均在边长为1的小正方形组成的网格上，则（ ） A. －8 B. －4 C. 0 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算即可求解. 【详解】如图，以点P为坐标原点，建立平面直角坐标系，则：， ， ， 故选:A． 6. 某研究性学习小组为了解某校名学生参加年暑期社会实践的情况，通过按比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本，对学生某一天社会实践的时间（单位：）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示．已知样本中的人数为，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. 估计该样本数据的平均数为74 D. 估计全校社会实践时间在及以上的学生有180人 【答案】D 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的性质计算可得A；根据频率、频数与总数的关系可得B；借助平均数定义计算可得C；根据样本中的数据可估算全校数据，计算即可得D． 【详解】对于A，由，得，故A正确； 对于B，由样本中的人数为人，结合频率分布直方图得，解得，故B正确； 对于C，平均数为，故C正确； 对于D，因为全校社会实践时间在分钟以上的频率为， 所以全校社会实践时间在分钟以上的学生约为，故D不正确． 7. 四面体中，底面为等边三角形，，则四面体的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意画出图形，求出外接球的半径，代入球的表面积公式得答案． 【详解】 如图所示，其中为四面体的外接球的球心，为底面三角形外接圆的圆心， 由于底面等边三角形的边长， 所以的外接圆半径， 由于底面，，所以四面体的外接球的球心在过点且垂直于底面的直线上， 且外接球的球心到底面的距离， 所以外接球的半径， 因此四面体的外接球的表面积为，故B正确. 8. 我们定义：“”为向量与向量的“外积”，若向量与向量的夹角为，它的长度规定，现已知：在中，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设分别为的中点，结合三角形相似推出，由题意可得，确定四边形面积的最大值，根据题意结合面积公式即可得结果. 【详解】设分别为的中点，连接， 则，则∽，故, 则，故， 又因为，即， 当时，四边形面积最大，最大值为， 故的面积的最大值为， 且，所以的最大值为. 故选：D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数在复平面内对应的向量，则下列关于复数的说法正确的是（ ） A. B. 的虚部为 C. D. 复数满足，则的最大值为6 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数对应点，复数的模，复数的虚部，复数模的几何意义求解即可. 【详解】复数在复平面内对应的向量，则． 的虚部为，故A，C正确，B错误； 由复数满足，所以点的集合是以点为圆心，以1为半径的圆， 所以，故D正确． 10. 已知点，则下列结论正确的是（ ） A. 与向量垂直的向量坐标可以是 B. 与向量平行的向量坐标可以是 C. 向量在方向上的投影向量坐标为 D. 对，向量与向量所成角均为锐角 【答案】AC 【解析】 【分析】根据数量积等于0，可判定A正确；根据向量共线的坐标表示，可得判定B不正确；根据向量的数量积的运算和投影向量的运算，可得判定C正确；结合和，可得判定D不正确. 【详解】由点，可得， 对于A中，由， 所以与向量垂直的向量坐标可以是，所以A正确； 对于B中，由，所以向量与向量不平行，所以B不正确； 对于C中，由在方向上的投影向量，所以C正确； 对于D中，由， 设，可得，则， 解得或，所以向量与夹角为锐角时，则且且， 所以D不正确. 故选：AC 11. 在正方体中，E，F分别为，的中点.取点，C，E，F，若一条直线过其中两点，另一条直线过另外两点，则（ ） A. 两条直线为异面直线是必然事件 B. 两条直线互相垂直的概率为 C. 两条直线互相平行与互相垂直是对立事件 D. 两条直线都与直线垂直是不可能事件 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合图形，利用空间两直线的位置关系逐一判断即可. 【详解】 因为点，C，E，F不共面，所以两条直线为异面直线，故A正确； 过四点的两条直线共有3种情况，其中仅当一条直线过，F，另一条直线过C，E时，这两条直线相互垂直， 所以两条直线相互垂直的概率为，故B正确； 两条直线互相平行的概率为0，而仅当一条直线过，F，另一条直线过C，E时， 这两条直线相互垂直，所以两条直线互相垂直的概率小于1， 故两条直线互相平行与互相垂直不是对立事件，C错误； ，，中，只有与垂直，且当时，与不垂直，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某篮球运动员近8场比赛的得分从低到高依次为6，9，，，，，，，则这8个数据的上四分位数是____________． 【答案】## 【解析】 【详解】数据升序排列为：6，9，，，，，，， 上四分位数的位置为， 位置为整数，取第项的平均值． 13. 在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，且，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意，及锐角三角形的性质求出的取值范围，再根据正弦定理，及二倍角的正弦公式得到，进而根据余弦函数的性质即可求出的取值范围． 【详解】在锐角三角形中，有，解得， 由，则， 则由正弦定理得， 又，则，所以， 故的取值范围为． 14. 已知正方体的棱长为2，点为线段的中点，若平面满足，且，则截正方体所得的截面周长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】在正方向体中，取的中点，通过线面垂直，得到，，从而得出截面为梯形，进而求出结果. 【详解】如图，分别取的中点，连接，相交于点， 由条件易知，，所以，， 又，所以，得到， 故，又面，面，所以， 又，面，所以平面，又平面，所以， 因为，面，面，所以， 又，，面，所以面，又面，所以， 又，则，又，平面， 故平面，又，所以， 所以平面截正方体所得的截面即为梯形. 由题意得，，则，，， 故截面周长为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 甲乙两人进行某项比赛 （1）若比赛结果有胜利、失败、平局三种，已知甲获胜的概率为，甲不输的概率为，求甲乙两人取得平局的概率； （2）若比赛结果只有胜利、失败两种，已知甲获胜的概率为（），对于甲来说，一局定胜负和三局两胜两种比赛方式比较，试问哪种比赛方式对甲更有利？说明你的理由. （说明：“三局两胜”是常见的比赛模式，指先赢得两局者为胜，做多三局结束） 【答案】（1）0.5 （2）一局定胜负对甲更有利 【解析】 【分析】（1）甲不输是甲获胜与平局互斥的和事件，利用加法公式，求平局的概率； （2）分别计算一局定输赢和三局两胜情况下甲获胜的概率，比较大小. 【小问1详解】 甲乙两人取得平局的概率为. 【小问2详解】 对于甲来说，一局定胜负的情况下，赢得比赛的概率为， 三局两胜的情况下，赢得比赛的概率为，因为， ， 所以，则一局定胜负对甲更有利. 16. 为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：、、、、、，得到如图所示的频率分布直方图． （1）在考核成绩为、、的三组学生中，用分层抽样的方法抽取13人，则考核成绩在中的学生应抽取多少人？ （2）若落在学生的平均成绩是54.4，方差是5.2，落在学生的平均成绩为66.4，方差是9.2，求这两组学生成绩的平均数和方差．（结果精确到0.1） 【答案】（1） （2）平均数为，方差为 【解析】 【分析】（1）先利用频率之和为结合频率分布直方图列式求出，再利用频率分布直方图求出成绩为，，的学生人数，再根据分层抽样的概念求解即可； （2）先利用频率分布直方图求出和的学生人数，再根据平均数和方差公式计算求解即可． 【小问1详解】 由频率分布直方图可得，解得， 则样本考核成绩在，，的三组学生有（人）， 其中样本考核成绩在的学生人数为， 所以用分层抽样的方法应从考核成绩在的学生中抽取（人）． 【小问2详解】 由频率分布直方图知， 成绩在的学生人数为， 成绩在的学生人数为， 所以这两组学生成绩的平均数为， 所以这两组学生成绩的总方差为． 17. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可； （2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 【小问1详解】 由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 18. 如图，四边形是边长为4的菱形，平面将菱形沿对角线折起，使得点到达点的位置，且平面平面． （1）求证：平面； （2）若，求多面体体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）12． 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，由已知可得，平面平面，得平面，所以，可得答案． （2）算出利用，可得. 【详解】（1）取中点，连接，四边形是边长为4的菱形，， 则为正三角形，所以，而平面平面， 平面平面平面， 所以平面， 因为平面，所以，平面，所以平面． （2）依题意，， 由（1）知，平面， 所以点到平面的距离与点到平面的距离相等，则， 而， 所以多面体的体积为 . 19. 已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=1，BC=2，又PB⊥平面ABCD，且PB=1，点E在棱PD上且 ． （1）求证：BE⊥PC； （2）求直线CD与平面PAD所成角的大小； （3）求二面角A﹣PD﹣B的大小． 【答案】(1)见证明；(2) (3) 60° 【解析】 【分析】(1)利用CD⊥平面PBD，可知CD⊥BE ，结合BE⊥PD可得出结论(2) 设C到面PAD的距离为h，利用等体积法可求，即可求出直线CD与平面PAD所成角(3) 连接AF，交BD于点O，过点O作OH⊥PD于点H，连接AH，可证明∠AHO为二面角A﹣PD﹣B的平面角，解三角形即可求解. 【详解】（1）BE⊥PD 由题意知，CF=BF=DF，∴∠CDB=90°．∴CD⊥BD 又PB⊥平面PBD，∴PB⊥CD ∵PB∩BD=B，∴CD⊥平面PBD，∴CD⊥BE ∵CD∩PD=D，∴BE⊥平面PCD，∴BE⊥PC （2）（利用等体积法） 设C到面PAD的距离为h， 则，即 ∴，，． ∴直线CD与平面PAD所成角为． （3）连接AF，交BD于点O，则AO⊥BD. ∵PB⊥平面ABCD，∴平面PBD⊥平面ABD，∴AO⊥平面PBD 过点O作OH⊥PD于点H，连接AH，则AH⊥PD ∴∠AHO为二面角A﹣PD﹣B的平面角． 在Rt△ABD中，AO= ．在Rt△PAD中， ． 在Rt△AOH中，sin∠AHO= ． ∴∠AHO=60°．即二面角A﹣PD-B的大小为60°． 【点睛】本题主要考查了面面垂直的性质，线面垂直的判定，线面角，二面角的求法，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $