河南省南阳市方城县第一高级中学2026-2027学年高二上学期9月份预习效果检测数学试题

**基本信息** 聚焦高二数学开学预习检测，以解析几何与立体几何为核心，通过基础题与综合题梯度设计，考查直线斜率、椭圆离心率、向量模长等知识，培养抽象能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|直线斜率、椭圆焦距、向量模长|基础概念直接应用，如第1题直线斜率计算| |多选题|3/18|法向量性质、直线倾斜角|辨析概念逻辑，如第9题法向量判定| |填空题|3/15|圆方程、直线与椭圆位置关系|情境化计算，如第13题求过两点的圆方程| |解答题|5/77|椭圆方程、直线与圆位置关系、立体几何证明|综合应用，如第17题讨论直线与圆相切、弦长问题，体现推理能力；第18题立体几何证明，培养空间观念|

2026年秋期高二年级9月份预习效果检测 数学学科 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线经过点A(2,-8),B(5,1)，则直线的斜率为 ( ) A.-3 B. C.3 D. 2．若椭圆的焦距是2，则实数m的值为 ( ) A. B.5 C.3 D.3或5 3．已知a,b,c是两两垂直的单位向量，则|a-2b+3c|=( ) A.14 B. C.4 D.2 4．已知两条不重合的直线：ax+2y-1=0和，a∈R，若则a的值为 ( ) A.-2 B.-2或1 C.1 D.-1或2 5．已知正方形ABCD，则以点A,B为焦点，且经过C,D两点的椭圆的离心率为( ) A. B.1 C. D. 6．在大小为的二面角的一个面内有一个点P，若点P到棱的距离为8，则点P到另一个面的距离为 ( ) A. B. C. D. 7．已知直线3x-4y-2=0与直线6x-8y+m=0间的距离为1，则实数m的值为 ( ) A.14 B.-14 C.6 D.-14或6 8．已知直线l：x-my-1=0与椭圆C： 交于A,B两点，以弦AB为直径的圆恰好过原点O，此时直线l的方程为 ( ) A. 2x-y-2=0 B. 2x+y-2=0 C. 2x-y-2=0或2x+y-2=0 D. x-2y+2=0 高二数学学科页第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列说法中正确的是 ( ) A.平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量 B.一个平面的所有法向量互相平行 C.如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直 D.如果向量、与平面α共面，且向量满足，，那么就是平面α的一个法向量 10．已知直线l的倾斜角等于120°，且l经过点(-1,2)，则下列结论中正确的是 ( ) A.l的一个方向向量为 B.l在x轴上的截距等于 C.l与直线垂直 D.l与直线平行 11．已知直线l： y=kx+1，双曲线C： .以下说法正确的是 ( ) A.当时，直线l与双曲线只有一个公共点 B.直线l与双曲线只有一个公共点时， C.当或时，直线l与双曲线没有公共点 D.当时，直线l与双曲线有两个公共点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知是直线l:y=2x+b上的两点，若，则|AB|= 13．经过A(0,2)，B(-1，1）两点，且圆心在直线x+2y-1=0上的圆的标准方程为 14．若直线y=kx+1与椭圆总有公共点，则实数m的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本题满分13分） （1）已知椭圆的离心率为，其左焦点F到直线l： y=x-2的距离为，求此椭圆方程. （2）求渐近线方程为，且经过点的双曲线的标准方程. 高二数学学科页第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 16.（本题满分15分）讨论方程表示的是怎样的图形. 17.（本题满分15分）已知直线l经过点P(1,0)，圆 （1）若直线l经过圆C的圆心，求直线l的方程； （2）若直线l与圆C相切，求直线l的方程； （3）若直线l被圆C截得的弦长为，求直线l的方程. 高二数学学科 第3页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 18.（本题满分17分）已知：如图，△ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2CD，点F是BE的中点., （1）求证：DF//平面ABC； （2）求证：AFBD． 19.（本题满分17分） （1）已知点M到点A(2,0)的距离比到y轴的距离大2，求点M的轨迹方程； （2）已知点分别为椭圆的左、右焦点，直线l经过点，且与椭圆交于M,N两点，求面积的最大值，并求此时的直线l的方程. 高二数学学科页第4页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋期高二年级9月份预习效果检测 数学学科答案 1．C 2．D 3．B 4．A 5．B 6．D 7．D 8．C 9．ABC 10．ACD 11．AC 12． 13． 14． 8．【详解】由，得 设，则①，② 由题意可知，所以，即 因为在直线l上，所以 所以，即③ 将①②代入③中，得，解得 所以直线l的方程为或. 11．【详解】由直线方程知，直线过，双曲线的渐近线为，所以时一个交点， 联立直线与双曲线，得，则， 当，即时直线与双曲线相切， 当，即或时没有公共点， 当且，即或或时两个公共点. 所以A、C对，B、D错. 故选：AC 15．（1） （2） 【详解】（1）椭圆（）的离心率为， 则 ，即 ， 由左焦点F到直线：的距离为， 可得 ，解得 ， 即 ，故 ， 故椭圆方程为. （2）因为双曲线的渐近线方程为， 所以设双曲线方程为：， 又因为双曲线经过点， 所以，解得， 所以双曲线的方程为. 16．【详解】解：（1）当时，方程化为，表示直线； （2）当时，方程化为， 当时，方程化为，表示点； 当时，原方程无解，原方程不表示任何图形； 当且时，方程表示圆心为，半径为的圆． 综上所述：当时，方程表示直线； 当时，方程表示点； 当时，方程不表示任何图形； 当且时，方程表示圆心为，半径为的圆． 17．（1）（2）或（3）或 【详解】（1）将圆化为标准方程为：， 所以圆的圆心坐标为，半径为. 所以直线经过点，，由两点式可得直线的方程为：，化简整理得直线的方程为：. （2）由（1）可知，当直线的斜率不存在时，即直线的方程为：，此时是与圆相切，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线为：，即， 则圆C的圆心到直线l的距离，解得， 故直线l的方程为. 综上，直线l的方程为或. （3）因为直线l被圆C所截得的弦长为，所以圆C的圆心到直线l的距离为. 由（2）可知，直线的斜率一定存在，设直线为：，即， 则圆C的圆心到直线l的距离，解得或. 故直线l的方程为或. 18．【答案】（1）取AB的中点G，连接FG，CG， 又点F是BE的中点，可得，. 因为平面，平面，所以，又， 所以，，是平行四边形，所以. 又因为平面，平面，所以平面. （2）因为是正三角形，所以，所以. 因为平面，平面，所以，所以， ，平面，所以平面， 因为平面，所以. 在中，因为，为的中点，所以. 因为，平面，平面，所以平面， 又平面，所以. 19．（1）或 （2）面积的最大值为；直线的方程为. （1）【详解】当点M横坐标大于等于0时，由题意可转化为点M到点的距离等于点M到的距离， 设，所以点M的轨迹是以为焦点，为准线，顶点在原点， 开口向右的抛物线，设其方程为，所以，， 所以点M的轨迹方程为； 当点M横坐标小于0时，因为点到y轴的距离为2，所以点M在x轴上，即点M的轨迹方程为； 所以点M的轨迹方程为或. （2）【详解】解：由题知，， 所以当直线与轴重合时，不满足条件， 因为直线经过点，故设直线，， 所以联立方程得，所以， 所以 令，则由对勾函数性质得函数为单调递增函数， 所以，此时，， 所以当时，的面积取得最大值，此时直线的方程为 高二数学学科答案 第1页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 $