精品解析：河南周口市第三高级中学2026-2027学年高二上学期开学考试数学试题

2026-2027学年上学期高二年级开学考试 数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题（每题5分） 1. 某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品按质量分为一等品、二等品、不合格品．从这批产品中随机抽取一件进行检测，设“抽到一等品”的概率为，“抽到二等品”的概率为，则“抽到不合格品”的概率为（ ） A. 0.05 B. 0.25 C. 0.8 D. 0.95 【答案】A 【解析】 【分析】 利用互斥事件的概率加法公式即可求解. 【详解】“抽到一等品”与“抽到二等品”是互斥事件， 所以“抽到一等品或二等品”的概率为， “抽到不合格品”与“抽到一等品或二等品”是对立事件， 故其概率为. 故选：A． 2. 内角，，的对边分别为，，，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件直接利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】因为在中，， 所以的面积为. 故选：A 3. 已知复数，则“”是“的实部小于0”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】考查的实部小于0的充要条件，结合集合关系进行判断. 【详解】因为 若其实部小于0，则，即， 显然是的必要不充分条件， 则“”是“的实部小于0”的必要不充分条件， 故选：B. 4. 在空间直角坐标系中，，，，若点到直线的距离不小于，则的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中点到线的距离公式，列不等式求解. 【详解】因为，， 所以点到直线的距离为， 所以，化简得 解得. 故选：A 5. 设复数（是虚数单位），则在复平面内复数对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算法则，求出复数，即可得到其坐标. 【详解】， 复数对应的点为. 故选：D. 6. 若虚数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用化简得，复数的运算求出复数. 【详解】因为为虚数，所以， 由得， 所以， 故选：C． 7. 已知O为正方形ABCD的中心，E，F分别为BC，AD的中点，若将正方形ABCD沿对角线BD翻折，使得二面角的大小为，则此时的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用向量夹角求法及数量积的运算律求. 【详解】翻折后如图所示，易知，， 结合已知有，，，， 易知，，设正方形边长为2， 所以，， 所以的值为 故选：D 8. 刘徽是我国魏晋时期著名的数学家，他编著的《海岛算经》中有一问题：“今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直．从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合．从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高几何?” 意思是：为了测量海岛高度，立了两根表，高均为5步，前后相距1000步，令后表与前表在同一直线上，从前表退行123步，人恰观测到岛峰，从后表退行127步，也恰观测到岛峰，则岛峰的高度为（注：3丈=5步，1里=300步） A. 4里55步 B. 3里125步 C. 7里125步 D. 6里55步 【答案】A 【解析】 【详解】 如图，由题意 步，设 步， ， ，同理 ，由题意， ，即 （步） 里 步，故选A. 二、多选题（每题6分） 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算，对每一选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A，，故A正确； 对于选项B，，故B正确； 对于选项C，，故C正确； 对于选项D，，故D错误． 故选：ABC 10. 平面α以任意角度截正方体，所截得的截面图形可能为（ ） A. 等腰梯形 B. 非矩形的平行四边形 C. 正五边形 D. 正六边形 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据选项信息，画出截面图形判断. 【详解】解：画出截面图形如图： C，D分别是所在棱的中点，四边形ABCD为等腰梯形，故A有可能； 如图作截面EFGH，E，G分别是所在棱的中点， 由平面与平面平行的性质可得EFGH，FGEH， 四边形EFGH为平行四边形，但不是矩形，故B有可能； 经过正方体的一个顶点去切正方体可得五边形，一定不是正五边形，故C不可能； 六边形的顶点为正方体各棱的中点，六边形为正六边形，故D有可能. 故选：ABD. 11. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的有（ ） A. 若，，，则有两解 B. 若，则为锐角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，，则为等边三角形 【答案】AD 【解析】 【分析】A.直接利用正弦定理求解判断；B.根据三个角均为锐角的三角形为锐角三角形来判断；C.利用正弦定理边化角，然后整理计算；D.利用余弦定理计算求解. 【详解】对于A：若，，，由正弦定理得，此时可取锐角也可能取钝角，则有两解，A正确； 对于B：只能推出，为锐角，但不确定角的大小，故不能确定的形状，B错误； 对于C：由及正弦定理得，即， 所以，在中有或，所以为等腰三角形或直角三角形，C错误； 对于D：由已知，整理得，即，所以，则，即为等边三角形，D正确. 故选：AD. 三、填空题（每题5分） 12. 已知，，若，则___________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据，可得，解方程即可得出答案. 【详解】解：因为， 所以， 即，解得. 故答案为：6. 13. 给出下列命题： ①向量的大小是实数 ② 平行向量的方向一定相同 ③向量可以用有向线段表示 ④向量就是有向线段，正确的有 ______. 【答案】① ③ 【解析】 【分析】结合向量的定义，平行向量的概念，向量的表示，分析即得解 【详解】对于①，由向量的概念知正确； 对于②，平行向量的方向可以相反，故②不正确； 对于③④，向量可用有向线段表示，但向量不是有向线段．故③正确，④不正确． 故综上可得①③正确． 故答案为：① ③ 14. 如图，在四面体中，分别是上的点，且是和的交点，以为基底表示，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意首先得四边形为平行四边形，进一步结合线段比例分解向量成基底向量的线性组合即可求解. 【详解】因为，所以，同理， 所以四边形为平行四边形， 所以 . 故答案为： . 四、解答题（共77分） 15. 已知长方体中，是对角线中点，化简下列表达式： （1）； （2）. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】根据向量加法法则求解即可； 【小问1详解】 【小问2详解】 16. 已知，，且与的夹角． （1）求的值； （2）当为何值时，向量与向量互相垂直？ 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】（1）使用数量积的定义，模长公式求解； （2）向量垂直转化为数量积等于0求解. 【小问1详解】 因为，，与的夹角， 所以． 又， 所以． 【小问2详解】 因为向量与向量互相垂直，所以， 所以， 由（1）知，又，，所以，， 所以． 17. 如图，在四棱锥中，底面满足，，底面，且，． （1）证明：平面平面． （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）因为底面，平面，所以平面平面， 又平面平面，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得平面平面，根据面面垂直的性质得到平面，即可得证； （2）构建空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为底面，， 如图建立空间直角坐标系，显然面的一个法向量为， 又，，，则， 设是平面的一个法向量，则，令，则， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 如图，正方体的棱长为4cm，分别是和的中点． （1）画出过点的平面与平面及平面的两条交线； （2）设过的平面与交于点P，求PM+PN的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由平面的性质，作出过点的平面与正方体的截面，即可求出； （2）利用三角形相似分别求出，即可求得. 【小问1详解】 如图所示，连接并延长交的延长线于点，连接交于点，交延长线于点，连接交于点，连接，则即为所求作的截面． 如图示：平面与平面的交线为，平面与平面的交线为. 【小问2详解】 由N为的中点，易得，所以， 因为，所以，得， 所以，，， 所以，． 所以． 19. 太原市某报社发起过建党105周年主题征文活动，报社收到了来自社会各界的大量文章，打算从众多文章中选取篇文章以专栏形式在报纸上发表，其参赛作者年龄集中在之间，根据统计结果，作出频率分布直方图如图： （1）求频率分布直方图中的值； （2）为了展示不同年龄作者心中的党的形象，报社按照分层抽样的方法，从这篇文章中抽出篇文章，并邀请相应作者参加座谈会．求从年龄在的作者中选出参加座谈会的人数； （3）根据频率分布直方图，求这位作者年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）． 【答案】（1） （2）人 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率和为可构造方程求得结果； （2）根据年龄在的人数对应频率和分层抽样原则直接计算即可； （3）利用频率分布直方图估计平均数的方法可直接计算得到. 【小问1详解】 因为，所以； 【小问2详解】 应从选出参加座谈会的人数为：人； 【小问3详解】 由题意得：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上学期高二年级开学考试 数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题（每题5分） 1. 某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品按质量分为一等品、二等品、不合格品．从这批产品中随机抽取一件进行检测，设“抽到一等品”的概率为，“抽到二等品”的概率为，则“抽到不合格品”的概率为（ ） A. 0.05 B. 0.25 C. 0.8 D. 0.95 2. 内角，，的对边分别为，，，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数，则“”是“的实部小于0”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在空间直角坐标系中，，，，若点到直线的距离不小于，则的范围为（ ） A. B. C. D. 5. 设复数（是虚数单位），则在复平面内复数对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 若虚数满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知O为正方形ABCD的中心，E，F分别为BC，AD的中点，若将正方形ABCD沿对角线BD翻折，使得二面角的大小为，则此时的值为（    ） A. B. C. D. 8. 刘徽是我国魏晋时期著名的数学家，他编著的《海岛算经》中有一问题：“今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直．从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合．从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高几何?” 意思是：为了测量海岛高度，立了两根表，高均为5步，前后相距1000步，令后表与前表在同一直线上，从前表退行123步，人恰观测到岛峰，从后表退行127步，也恰观测到岛峰，则岛峰的高度为（注：3丈=5步，1里=300步） A. 4里55步 B. 3里125步 C. 7里125步 D. 6里55步 二、多选题（每题6分） 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 平面α以任意角度截正方体，所截得的截面图形可能为（ ） A. 等腰梯形 B. 非矩形的平行四边形 C. 正五边形 D. 正六边形 11. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的有（ ） A. 若，，，则有两解 B. 若，则为锐角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，，则为等边三角形 三、填空题（每题5分） 12. 已知，，若，则___________. 13. 给出下列命题： ①向量的大小是实数 ② 平行向量的方向一定相同 ③向量可以用有向线段表示 ④向量就是有向线段，正确的有 ______. 14. 如图，在四面体中，分别是上的点，且是和的交点，以为基底表示，则________． 四、解答题（共77分） 15. 已知长方体中，是对角线中点，化简下列表达式： （1）； （2）. 16. 已知，，且与的夹角． （1）求的值； （2）当为何值时，向量与向量互相垂直？ 17. 如图，在四棱锥中，底面满足，，底面，且，． （1）证明：平面平面． （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 如图，正方体的棱长为4cm，分别是和的中点． （1）画出过点的平面与平面及平面的两条交线； （2）设过的平面与交于点P，求PM+PN的值． 19. 太原市某报社发起过建党105周年主题征文活动，报社收到了来自社会各界的大量文章，打算从众多文章中选取篇文章以专栏形式在报纸上发表，其参赛作者年龄集中在之间，根据统计结果，作出频率分布直方图如图： （1）求频率分布直方图中的值； （2）为了展示不同年龄作者心中的党的形象，报社按照分层抽样的方法，从这篇文章中抽出篇文章，并邀请相应作者参加座谈会．求从年龄在的作者中选出参加座谈会的人数； （3）根据频率分布直方图，求这位作者年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $