25.3 第1课时 几何问题 导学案 2026-2027学年数学人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦“用一元二次方程解决几何问题”，通过预学思考明确解题步骤（审题、找等量关系、验证根），结合自学检测的劳动教育情境题（矩形菜地），衔接一元二次方程解法，以步骤提示和情境问题为学习支架。 资料融合五育（劳动教育）与数学文化（古算趣题、杨辉著作），设置实际应用（矩形羊圈、铁丝剪接）和变式训练，通过建模思想培养数学运算与逻辑推理素养，提升学生用数学眼光观察现实、用数学思维分析问题的能力，习题兼顾基础与探究，助力自主学习与能力评估。

25.3 第1课时 几何问题 素养目标 1.能熟练找出几何问题中的等量关系,并列出一元二次方程. 2.能根据实际问题建立一元二次方程的数学模型,并运用它解决实际问题. 3.通过解决矩形面积等几何问题,体会建模思想,提升数学运算与逻辑推理素养. 重点 用一元二次方程解决几何问题. 【自主预习】 预学思考 知识点 利用一元二次方程解决几何问题 　　阅读课本本课时的内容,补全下列新知要点: 利用一元二次方程解决几何问题的步骤: 1.审题. 2.找出等量关系. 常见等量关系 3.验证根是否符合 .  自学检测 1.(五育融合·劳动教育)为加强劳动教育,增加学生实践机会,某校拟用总长为15 m的篱笆,在两边都足够长的直角围墙的一角,围出一块50 m2的矩形菜地作为实践基地,如图,设矩形的一边长为x m,根据题意可列方程为 ( ) A.x(15-x)=50　　　　　　　 B.x(15+x)=50 C.x(-x)=50　　　　 D.x(+x)=50 2.如图,在一块矩形的劳动实践基地上有三条同宽的道路,横向有一条,纵向有两条,除道路外,剩下的是种植面积.已知该矩形基地的长为34 m,宽为18 m,种植面积为480 m2,则劳动基地中的道路宽为 m.  【合作探究】 题型精讲 题型1 利用勾股定理等关系构建方程解决问题 例1　(古代数学)古算趣题:“笨人执竿要进屋,无奈门框拦住竹,横多四尺竖多二,没法急得放声哭.有个邻居聪明者,教他斜竿对两角,笨伯依言试一试,不多不少刚抵足,借问竿长多少数,谁人算出我佩服.”若设竹竿的长为x尺,则可列方程 ( ) A.(x-2)2+(x-4)2=x2 B.(x+2)2+(x-4)2=x2 C.(x-2)2+(x+4)2=x2 D.(x+2)2+(x+4)2=x2 题型2 利用几何图形面积或体积构建方程解决问题 例2　小林准备进行如下操作实验:把一根长为40 cm的铁丝剪成两段,并把每一段各围成一个正方形. (1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2,小林该怎么剪? (2)小峰对小林说:“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.”他的说法对吗?请说明理由. 学习小助手 　设其中一个正方形的边长为x,面积可表示为 cm2;另一个正方形的边长可表示为 cm,面积可表示为 cm2.  变式训练　一个长方体木盒的高是8 cm,长比宽多4 cm,体积是480 cm3,求这个木盒的长.设这个木盒的长为x cm,则可列方程 ( ) A.4x(x-8)=480　　　　 B.4x(x+8)=480 C.8x(x-4)=480　　　　 D.8x(x+4)=480 课堂检测 1.(数学文化·矩形田地面积问题)《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作.其中有一个数学问题:“直田积八百九十一步,只云长阔共六十步,问长多阔几何?”译文:“一块矩形田地的面积为891平方步,只知道它的长与宽共60步,问它的长比宽多多少步?”设矩形田地的长为x步,则下列说法正确的是 ( ) A.由题意可列方程x(6-x)=891 B.由题意可列方程x(60+x)=891 C.x=32 D.长比宽多6步 2.如图,老李想用长70 m的栅栏,再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD,并在边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处,另用其他材料). (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时,能围成一个面积为640 m2的羊圈? (2)羊圈的面积能达到650 m2吗?如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由. 参考答案 【自主预习】 预学思考 知识点一 2.勾股　面积　3.实际意义 自学检测 1.A　2.2 【合作探究】 题型精讲 题型1 例1　A 题型2 例2 学习小助手 x2　(10-x)　(10-x)2 解:(1)设其中一个正方形的边长为 x cm ,则另一个正方形的边长为(10 -x)cm. 由题意得x2+(10-x)2=58,解得x1=3,x2=7. 因为4×3=12,4×7=28, 所以小林应把绳子剪成12 cm和28 cm的两段. (2)假设能围成.根据题意得x2+(10-x)2=48,化简得x2-10x+26=0. 因为b2-4ac=(-10)2-4×1×26=-4<0,所以此方程没有实数根,故小峰的说法是对的. 变式训练 C 课堂检测 1.D 2.解:(1)设矩形ABCD的边AB=x m,则边BC=70-2x+2=(72-2x)m. 根据题意列一元二次方程,得x(72-2x)=640, 解得x1=16,x2=20. 当x=16时,72-2x=72-32=40; 当x=20时,72-2x=72-40=32. 答:当羊圈的长为40 m,宽为16 m或长为32 m,宽为20 m时,能围成一个面积为640 m2的羊圈. (2)不能,理由如下: 由题意列一元二次方程,得x(72-2x)=650, 整理得x2-36x+325=0. ∵Δ=(-36)2-4×325=-4<0, ∴一元二次方程没有实数根, ∴羊圈的面积不能达到650 m2. 学科网（北京）股份有限公司 $