25.3实际问题与一元二次方程（第1课时）（导学案）2026-2027学年人教版数学九年级上册

人教版数学九年级上册 第二十五章 一元二次方程 25.3实际问题与一元二次方程（第1课时）（导学案） 一、学习目标 1.能根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程。 2.通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识。 学习重点： 利用一元二次方程解决实际问题。 学习难点： 将实际问题转化为数学问题。 二、学习过程 （一）复习引入 同一元一次方程、二元一次方程（组）一样，一元二次方程也是刻画某些问题中等量关系的数学模型，运用一元二次方程可以解决很多问题. 列方程解应用题的一般步骤是什么？ 答：①审题，明确已知和未知； ②设未知数； ③找相等关系，列方程； ④解方程； ⑤检验根的合理性； ⑥作答. （二）合作探究 例1 是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形?如果存在，这样的三角形有多少个? 思考 本题中的数量关系是什么？ 解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为x，x+1，x+2， 其中x为正整数. 由勾股定理，得x2+(x+1)2=(x+2)2. 解方程，得x1=3，x2=−1(不符合题意，舍去). 因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为3，4，5. 例2 用一根长为40 m的细绳，能否围成一个面积为96 m2的矩形区域?如果能围成，这样的矩形是否唯一? 思考 本题中的数量关系是什么？ 解：设矩形的一边长为x，由矩形的周长为40 m， 可得此边的邻边长为(20−x) m； 由矩形的面积为96 m2，得x(20−x)=96. 解方程，得x1=12，x2=8. 追问 方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域? 因此，用一根长为40 m的细绳可以围成面积为96 m2的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为8 m，12 m. 思考 对于例2中的问题，设矩形的两邻边长的方法有多种，小组讨论并分享你的新方法. (1) 可设一边长为x m，那么其邻边长为 m； (2) 可设一边长为(10+x)m，那么其邻边长为(10−x) m. 追问 请利用新方法列方程求解例2，比较这些方法，说说它们各自的特点. 解法2：设一边长为x m，那么其邻边长为 m. 由矩形的周长为40 m，得2(x+)=40. 解方程，得x1=12，x2=8. 因此，用一根长为40 m的细绳可以围成面积为96 m2的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为8 m，12 m. 解法3：设一边长为(10+x)m，那么其邻边长为(10−x) m. 由矩形的面积为96 m2，得(10+x)(10−x)=96. 所以，10+x=12或8. 因此，用一根长为40 m的细绳可以围成面积为96 m2的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为8 m，12 m. 归纳总结 （三）典例分析x2−x−56=0 中考演练（2025山东威海）如图，某校有一块长20 m、宽14 m的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为24 m2的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 解：设小路的宽度为x m，由题意得， (20−4x)(14−4x)=24×9， 解得 x=或x=8（舍去）， 答：小路的宽度为 m． 中考模拟（2026内蒙古通辽）如图，一个养殖户用32米长的围栏围成一排一面靠墙、大小相等且彼此相连的三个矩形鸡舍，要使鸡舍的总面积为60平方米，那么每个鸡舍的长为 米或5米 ． （四）巩固练习 1. 怎样用一根长为40 m的细绳围成一个面积为75 m2的矩形区域?能围成一个面积为101 m2的矩形区域吗?如果能，说明围法；如果不能，说明理由. 解：设矩形的一边长为x，由矩形的周长为40 m，可得此边的邻边长为(20−x) m. 由矩形的面积为75 m2，得x(20−x)=75. 解方程，得x1=15，x2=5. 因此，用一根长为40 m的细绳可以围成面积为75 m2的矩形区域，其两邻边长分别为5 m，15 m. 由矩形的面积为101 m2，得x(20−x)=101. 化为一般式，得x2−20x+101=0， 因为Δ=(−20)2−4×1×101=−4<0， 所以此方程无解. 因此，用一根长为40 m的细绳不能围成面积为101 m2的矩形区域. 2. 如图，矩形ABCD的两条邻边AD=1，CD=4，AB上是否存在点E，使得∠DEC为直角? 解：若∠DEC为直角，则DE2+CE2=CD2. 设AE为x ，则BE=4−x，由题意得， 12+x2+(4−x)2+12=42， 解得 x=2+或2−， 答：AB上存在点E，使得∠DEC为直角，此时AE的长为2+或2−. （五）当堂检测 如图，用长为28米的篱笆围成一个矩形ABCD菜地，菜地一边靠墙，与墙平行的边上开一个宽度为2米的门；设AB=x，矩形ABCD的面积为y. (1)若墙长度为15米，围成的菜地面积为100平方米，求出矩形菜地的长和宽． 解：根据题意得，y=x(28−2x+2)=−2x2+30x； 当y=100时，即−2x2+30x=100， 整理得：x2−15x+50=0， 解得：x1=5，x2=10， ∵墙长15米， 当x=5时，30−2x=20>15，不符合题意， 当x=10时，30−2x=10，符合题意， ∴矩形菜地的长和宽都为10米． (2)若墙的长度足够长，在与墙平行的边上开一个宽度为2米的门，能否围成面积是120平米的菜地？请说明理由． 解：当y=120时，即−2x2+30x=120， 整理得：x2−15x+60=0， Δ=(−15)2−4×1×60=−15<0， ∴所列方程无实数根， ∴不能围成面积是120平米的菜地． （六）课堂小结 （七）布置作业 A组题：习题25.3：第1，2题. B组题：习题25.3：第5，6，7题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $人教版数学九年级上册 第二十五章 一元二次方程 25.3实际问题与一元二次方程（第1课时）（导学案） 一、学习目标 1.能根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程。 2.通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识。 学习重点： 利用一元二次方程解决实际问题。 学习难点： 将实际问题转化为数学问题。 二、学习过程 （一）复习引入 同一元一次方程、二元一次方程（组）一样，一元二次方程也是刻画某些问题中等量关系的数学模型，运用一元二次方程可以解决很多问题. 列方程解应用题的一般步骤是什么？ （二）合作探究 例1 是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形?如果存在，这样的三角形有多少个? 思考 本题中的数量关系是什么？ 例2 用一根长为40 m的细绳，能否围成一个面积为96 m2的矩形区域?如果能围成，这样的矩形是否唯一? 思考 本题中的数量关系是什么？ 追问 方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域? 思考 对于例2中的问题，设矩形的两邻边长的方法有多种，小组讨论并分享你的新方法. 追问 请利用新方法列方程求解例2，比较这些方法，说说它们各自的特点. 归纳总结 （三）典例分析x2−x−56=0 中考演练（2025山东威海）如图，某校有一块长20 m、宽14 m的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为24 m2的9个矩形地块，请你求出小路的宽度． 中考模拟（2026内蒙古通辽）如图，一个养殖户用32米长的围栏围成一排一面靠墙、大小相等且彼此相连的三个矩形鸡舍，要使鸡舍的总面积为60平方米，那么每个鸡舍的长为 ． （四）巩固练习 1. 怎样用一根长为40 m的细绳围成一个面积为75 m2的矩形区域?能围成一个面积为101 m2的矩形区域吗?如果能，说明围法；如果不能，说明理由. 2. 如图，矩形ABCD的两条邻边AD=1，CD=4，AB上是否存在点E，使得∠DEC为直角? （五）当堂检测 如图，用长为28米的篱笆围成一个矩形ABCD菜地，菜地一边靠墙，与墙平行的边上开一个宽度为2米的门；设AB=x，矩形ABCD的面积为y. (1)若墙长度为15米，围成的菜地面积为100平方米，求出矩形菜地的长和宽． (2)若墙的长度足够长，在与墙平行的边上开一个宽度为2米的门，能否围成面积是120平米的菜地？请说明理由． （六）课堂小结 （七）布置作业 A组题：习题25.3：第1，2题. B组题：习题25.3：第5，6，7题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $