25.3 第3课时 握手问题 导学案 2026-2027学年数学人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦“握手问题”，核心内容为单循环与双循环问题的数量关系及一元二次方程模型构建。通过自主预习的预学思考引导学生区分两类问题特征，作为学习支架连接前期方程知识，帮助学生从实际情境中抽象数量关系。 以“村BA”篮球赛、辩论赛等真实情境为载体，通过对比辨析单双循环本质培养推理意识，分层习题设计（自学检测、变式训练、综合应用）提升建模能力，发展符号意识与应用意识，助力学生用数学语言表达现实问题，提升分析转化能力。

25.3 第3课时 握手问题 素养目标 1.理解握手问题及相关问题的数量关系,能建立一元二次方程模型解决此类问题. 2.掌握“单循环类”和“双循环类”实际问题的方程列法与求解步骤,提升分析问题和转化问题的能力. 3.通过建模解决此类问题,体会数学建模思想,发展符号意识与逻辑推理能力. 重点 进一步熟悉解决实际问题时一元二次方程的列法与求解步骤. 【自主预习】 预学思考 知识点一 “单循环类”问题 　　阅读课本本课时“探究3”之前的内容,补全下列新知要点: 1.单循环问题的核心是“两两之间仅发生 次互动”,避免重复计数,因此计算时要 .  2.解决单循环问题时,需先判断问题是否符合“两两单次”特征,再设未知数,最后要检验解是否符合 .  知识点二 “双循环类”问题 　　阅读课本本课时“探究3”及之后内容,补全下列新知要点: 1.双循环问题的核心是“两两之间发生 次互动”,无需除以2,直接体现双向关系.  2.双循环问题与单循环问题的本质区别是:前者是 (填“双向”或“单向”)行为(如互送礼物、互发消息),后者是 (填“双向”或“单向”)行为(如握手、单场比赛).  3.有x个人,每个人都与其他人互送礼物,则送出礼物的总件数为 ,若每个人都与其他人握手,则握手的总次数为　　　　.  自学检测 1.“村BA”是指乡村篮球赛,近年来,“村BA”在多地火爆开展,已发展成为一项全国性赛事.某地经过层层筛选,主办方最终确定了参赛队伍,并在小组赛阶段设置了双循环赛制(每两支球队之间进行两场比赛).已知整个小组赛阶段共比赛30场,设参加比赛的球队有x支,可得方程 ( ) A.x(x+1)=30　　　　 B.x(x-1)=30 C.x(x+1)=30　　　　 D.x(x-1)=30 2.某校九年级组织一次辩论赛,规定进行单循环赛(每两班赛一场),共赛了28场,该校九年级共有多少个班级参加了辩论赛?设该校九年级共有x个班参加了辩论赛,根据题意,可列方程: .  【合作探究】 题型精讲 题型1 “单循环类”问题 例1　九年级举行篮球赛,初赛采用单循环制(每两个班之间都进行一场比赛),据统计,比赛共进行了36场,则九年级共有多少个班?若设九年级共有x个班,根据题意列出的方程是 ( ) A.x(x-1)=36　　　　 B.x(x-1)=72 C.2x(x-1)=36　　　　 D.x(x+1)=36 变式训练　某航空公司有若干个飞机场,每两个飞机场之间都开辟一条航线,一共开辟了10条航线,则这个航空公司共有 个飞机场.  题型2 “双循环类”问题 例2　手工制作兴趣小组的学生,将自己制作的手工作品向本组其他成员各赠送一件.若全兴趣小组共互赠了132件作品,问全组共有多少名学生? 变式训练　今年国庆节期间,某公司群内的每个人都要发一个红包,并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包,若此次抢红包活动,群内所有人共收到110个红包,则该群一共有 ( ) A.9人　　　　B.10人　　　　C.11人　　　　D.12人 课堂检测 1.王老师购买了2 304张签名卡,在毕业典礼上,他向每名同学赠送了一张签名卡,每两同学间也互赠了一张签名卡,签名卡恰好用完, 设班级有x名学生,则下列方程成立的是 ( ) A.+x=2 304　　　　 B.=2 304 C.x(x-1)+x=2 304　　　　 D.x(x-1)=2 304 2.某学校九年级举办了一场乒乓球比赛,比赛采用单循环赛制(每两位参赛选手之间都赛1场). 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话: 乐乐:“本次比赛一共进行了40场.” 淇淇:“你所说的不正确,按照这个赛制,不应该是40场.” 假设有x人报名参加比赛. (1)根据题意,乐乐列出的方程是:　　　　.请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确.  (2)乐乐补充道:“本次比赛的确一共进行了40场,只是在比赛过程中遇到了特殊情况,有1人身体不适,只参加了4场比赛后就中途退赛.”请直接写出此时x的值. 参考答案 【自主预习】 预学思考 知识点一 1.1　除以2　2.实际意义 知识点二 1.2　2.双向　单向 3.x(x-1)　 自学检测 1.D　2.=28 【合作探究】 题型精讲 题型1 例1　B 变式训练 5 题型2 例2 解:设全组共有x名学生,根据题意可得x(x-1)=132,x2-x-132=0, 解得x1=12,x2=-11(舍去). 答:全组共有12名学生. 变式训练 C 课堂检测 1.C 2.解:(1)x(x-1)=40. 整理方程x(x-1)=40,得x2-x-80=0, 解得x=,不为整数, ∴方程的解不符合实际,按这个赛制不应该是40场, 故淇淇的说法正确. (2)10. 提示:∵有一人比赛了4场后退出比赛, 由题意列一元二次方程得+4=40, 解得x1=10,x2=-7(不符合题意,舍去), ∴x的值为10. 学科网（北京）股份有限公司 $