2025-2026学年广东省汕头市潮阳实验学校八年级上册周测数学试卷

**基本信息** 本卷聚焦八年级上册三角形核心知识，以跨汾河大桥几何模型等现实情境和折叠旋转等探究问题为载体，分层设计基础巩固与创新应用，强化空间观念与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|15/45|三角形三边关系、高/角平分线定义|第3题结合桥梁工程情境考查等腰三角形内角计算| |填空题|5/15|等腰三角形周长、垂直平分线性质|第14题通过面积关系探究角平分线性质应用| |综合解答题|2/27|旋转几何、类比迁移思想|第23题以“转化”“类比迁移”为线索，衔接等边三角形到四边形综合问题，培养创新意识|

2025-2026学年广东省汕头市潮阳实验学校八年级（上）周测数学试卷 一．选择题（共15小题，满分45分，每小题3分） 1．（3分）小亮有两根长度为5cm和9cm的木棒，他想钉一个三角形木框，现桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择（　　） A．3cm B．4cm C．9cm D．16cm 2．（3分）如图，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，CG⊥CB，垂足分别为点D、E、F、C，△ABC中BC边上的高是（　　） A．CF B．BE C．CG D．AD 3．（3分）如图2所示的三角形ABC是太原市最高的跨汾河大桥（如图1）的部分平面示意图．若∠B＝∠C，∠A＝36°，则∠B的度数为（　　） A．52° B．62° C．72° D．82° 4．（3分）如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，若∠BAE＝110°，则∠CBF+∠ACD的度数为（　　） A．290° B．250° C．110° D．70° 5．（3分）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是△ABC的（　　） A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、中线、高线 D．角平分线、高线、中线 6．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线BP、CP交于点P，PE⊥AC于点E．若△ABC的面积为10，△BPC的面积为7，PE＝4，则△ABC的周长为（　　） A．8 B．10 C．11 D．12 7．（3分）如图，将△ABC纸片沿DE进行折叠，使点A落在四边形BCED的外部点A'的位置，若∠A＝35°，则∠1﹣∠2的度数为（　　） A．35° B．60° C．75° D．70° 8．（3分）下列长度的三条线段可以组成三角形的是（　　） A．3，4，2 B．12，5，6 C．2，5，9 D．5，2，7 9．（3分）已知三角形的三边长3，7，a，则的值为（　　） A．7 B．﹣7 C．13﹣2a D．2a﹣13 10．（3分）如图，在四边形ABDC中，AB＝AC，∠BAC＝124°，点B关于AD的对称点E恰好落在边CD上，连接AE，若AF为△ACE的角平分线，则△ADB的度数为（　　） A．24° B．28° C．30° D．38° 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）等腰三角形两边分别为3厘米和8厘米，则它的周长为　 　 厘米． 12．（3分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交线段AB，BC于点M，P，AC的垂直平分线分别交线段AC，BC于点N，Q，BC＝10，△APQ的周长为16，则PQ的长度为　 　 ． 13．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，过点B作BD⊥AB，且BD＝AB，延长BC至点E，使，连接DE并延长交AC边于点F，若DE＝EF，则AC＝　 　 ． 14．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，且DE＝DG，S△ADG＝24，S△AED＝18，则△DEF的面积为　 　 ． 15．（3分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AE⊥BC于点E．若△ABC的面积为24，AE＝6，则BD的长为　 　 ． 三．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分） 16．（7分）如图，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠ACB＝50°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求∠BPC的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：∵　 　 （已知）， ∴∠PBC80°＝40°． 同理可得∠PCB＝　 　 ． ∴∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（ 　 　 ）， ∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB（等式的性质）． ∴∠BPC＝　 　 °． 17．（7分）已知在△ABC中，AB＝20，BC＝8，AC＝2m． （1）求m的取值范围； （2）若△ABC是等腰三角形，求△ABC的周长． 18．（7分）如图，线段AB，CD交于点O，连接AD，CB，AD＝CB，∠DAB＝∠BCD．求证：OA＝OC． 四．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分） 19．（9分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°． （1）尺规作图：作∠ACB的角平分线交AB于O；（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）若AC＝6，求BO的长． 20．（9分）如图，AC平分∠DAB，连接CD，CE⊥AB于点E，∠B+∠ADC＝180°． （1）求证：CB＝CD； （2）若AB＝8，BE＝2，求AD的长． 21．（9分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC于点G，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F． （1）求证：BE＝CF； （2）如果AB＝20，AC＝8，求AE的长． 五．解答题（共2小题，满分27分） 22．（13分）如图1，已知△ABC与△ADE摆放在一起，点A、C、E在同一直线上，其中∠ACB＝30°，∠DAE＝45°，∠BAC＝∠D＝90°．如图2，固定△ABC，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE＝α（0°＜α＜180°）．（1）当∠CAD＝15°时，α＝　 　 °； （2）在旋转过程中，试探究∠CAD与∠BAE之间的关系； ①当0°＜α≤45°时，　 　 ． ②当45°＜α≤90°时，　 　 ． ③当90°＜α＜180°时，　 　 ． （3）当△ADE的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角α所有可能的度数． 23．（14分）“转化”和“类比迁移”是解决数学问题的重要思想方法，前者通过构造图形全等转化线段或角，将零散的线段或角集中在一个图形上；后者通过观察图形的变化与联系，适当添加辅助线，把类似的图形类比迁移应用到不同情境中． 【等边三角形】（1）如图1，在等边△ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，且满足DE＝EF，∠DEF＝60°，求证：△BDE≌△CEF．小宁仔细审题后发现关键的一步是推导出等角，他的做法是：因为∠DEF＝60°，所以∠BED+∠CEF＝120°…，请你继续完成证明； 【直角三角形】（2）如图2，若把（1）中的等边△ABC改成Rt△ABC，且∠A＝90°，∠B＝60°，其他条件不变，试探究线段BD、BE、CE之间满足的数量关系，并说明理由； 【任意四边形】（3）如图3，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝60°，BC＝CD．过点C分别作AB，AD的垂线，垂足分别为M，N，若BM＝6，DN＝2，请直接写出的值． 2025-2026学年广东省汕头市潮阳实验学校八年级（上）周测数学试卷 一．选择题（共15小题，满分45分，每小题3分） 1．（3分）小亮有两根长度为5cm和9cm的木棒，他想钉一个三角形木框，现桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择（　　） A．3cm B．4cm C．9cm D．16cm 【分析】根据三角形三边关系得出第三边的取值范围，判断即可． 【解答】解：由三角形三边关系可知，第三边的取值范围为：9﹣5＜x＜9+5， 即：4＜x＜14， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解本题的关键． 2．（3分）如图，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，CG⊥CB，垂足分别为点D、E、F、C，△ABC中BC边上的高是（　　） A．CF B．BE C．CG D．AD 【分析】根据三角形的高的定义判断． 【解答】解：∵AD⊥BC， ∴△ABC中BC边上的高是AD， 故选：D． 【点评】本题考查的是三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 3．（3分）如图2所示的三角形ABC是太原市最高的跨汾河大桥（如图1）的部分平面示意图．若∠B＝∠C，∠A＝36°，则∠B的度数为（　　） A．52° B．62° C．72° D．82° 【分析】根据三角形内角和定理得∠B+∠C+∠A＝180°，由∠A＝36°，∠B＝∠C，可得2∠B＝180°﹣∠A，从而计算出结果． 【解答】解：根据三角形内角和定理得， ∠B+∠C+∠A＝180°， ∵∠A＝36°，∠B＝∠C， ∴2∠B＝180°﹣∠A， ∴． 故选：C． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，准确计算角度是解题的关键． 4．（3分）如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，若∠BAE＝110°，则∠CBF+∠ACD的度数为（　　） A．290° B．250° C．110° D．70° 【分析】根据三角形的外角的性质得到∠BAE＝∠ACB+∠ABC＝110°，根据平角的定义即可得到结论． 【解答】解：∵∠BAE＝110°， ∴∠BAE＝∠ACB+∠ABC＝110°， ∴∠CBF+∠ACD＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB＝360°﹣（∠ACB+∠ABC）＝360°﹣110°＝250°， 故选：B． 【点评】本题考查了三角形外角的性质，平角的定义，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． 5．（3分）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是△ABC的（　　） A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、中线、高线 D．角平分线、高线、中线 【分析】根据三位同学的折纸示意图，结合三角形角平分线、中线和高线的定义求解． 【解答】解：由图①的折叠方式可知，∠BAD＝∠B′AD， ∴AD是△ABC的角平分线． 由图②的折叠方式可知，∠ADB＝∠ADB′， ∵∠ADB+∠ADB′＝180°， ∴∠ADB＝∠ADB′＝90°， ∴AD⊥BC， ∴AD是△ABC的高线． 由图③的折叠方式可知，BD＝CD， ∴AD是△ABC的中线． 只有D符合题意，ABC不符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高线，轴对称的性质等知识点，熟知三角形角平分线、中线和高线的定义是解题的关键． 6．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线BP、CP交于点P，PE⊥AC于点E．若△ABC的面积为10，△BPC的面积为7，PE＝4，则△ABC的周长为（　　） A．8 B．10 C．11 D．12 【分析】连接AP，过点P作PF⊥BC于点F，PG⊥AB，交AB的延长线于G，根据角平分线的性质得到PG＝PF＝PE＝4，根据三角形面积公式分别求出BC、AB+AC，再根据三角形周长公式计算即可． 【解答】解：如图，连接AP，过点P作PF⊥BC于点F，PG⊥AB，交AB的延长线于G， ∵∠ABC和∠ACB的外角平分线BP、CP交于点P，PE⊥AC，PF⊥BC于点F，PG⊥AB， ∴PG＝PF＝PE＝4， ∵△BPC的面积为7， ∴BC×4＝7， ∴BC， ∵△ABC的面积为10， ∴AB×4AC×4﹣7＝10， ∴AB+AC， ∴△ABC的周长＝AB+AC+BC12． 故选：D． 【点评】本题考查的是角平分线的性质、三角形的面积，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 7．（3分）如图，将△ABC纸片沿DE进行折叠，使点A落在四边形BCED的外部点A'的位置，若∠A＝35°，则∠1﹣∠2的度数为（　　） A．35° B．60° C．75° D．70° 【分析】根据多边形内角与外角的性质和三角形内角和定理即可求解． 【解答】解：如图， ∵△ABC纸片沿DE进行折叠，点A落在四边形BCED的外部点A'的位置， ∴∠4＝∠5，∠3＝∠2+∠DEC， ∵∠1+∠4+∠5＝180°， ∴∠1+2∠4＝180°， ∴∠1＝180°﹣2∠4， ∵∠3+∠DEC＝180°， ∴∠2＝∠3﹣∠DEC＝2∠3﹣180°， ∴∠1﹣∠2＝180°﹣2∠4﹣2∠3+180°＝360°﹣2∠4﹣2∠3＝2∠A， ∴∠1﹣∠2＝2×35°＝70°， 故选：D． 【点评】本题考查了折叠的性质，多边形内角与外角的性质和三角形内角和定理，解题的关键是根据折叠的性质找出图中角度之间的关系． 8．（3分）下列长度的三条线段可以组成三角形的是（　　） A．3，4，2 B．12，5，6 C．2，5，9 D．5，2，7 【分析】用两条短边之和是否大于第三边即可判断． 【解答】解：A．∵3+2＞4，故能构成三角形，符合题意； B．∵5+6＜12，故不能构成三角形，不符合题意； C．∵2+5＜9，故不能构成三角形，不符合题意； D．∵5+2＝7，故不能构成三角形，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是理解三角形两边之和大于第三边． 9．（3分）已知三角形的三边长3，7，a，则的值为（　　） A．7 B．﹣7 C．13﹣2a D．2a﹣13 【分析】根据三角形三边关系，二次根式性质和绝对值的性质进行判断即可． 【解答】解：∵三角形的三条边长分别为3、7、a， ∴7﹣3＜a＜7+3， 即4＜a＜10， ∴a﹣4＞0，a﹣10＜0， ∴a﹣3＞0， ∴． 故选：A． 【点评】本题主要考查了三角形和非负数．熟练掌握三角形三边关系，二次根式性质和绝对值的性质是解决问题的关键． 10．（3分）如图，在四边形ABDC中，AB＝AC，∠BAC＝124°，点B关于AD的对称点E恰好落在边CD上，连接AE，若AF为△ACE的角平分线，则△ADB的度数为（　　） A．24° B．28° C．30° D．38° 【分析】连接BE，依据垂直平分线的性质可得AB＝AE，从而得到AC＝AE，根据等腰三角形“三线合一”性质，可得∠CAF＝∠EAF，AF⊥DE，所以，根据直角三角形性质可得∠ADE的度数，根据轴对称的性质可得∠ADB的度数． 【解答】解：连接BE， ∵点B关于AD的对称点E恰好落在CD上， ∴AD垂直平分BE， ∴AB＝AE，DE＝DB， ∴∠EAD＝∠BAD，∠EDA＝∠BDA， ∵AB＝AC， ∴AC＝AE， 又∵AF为△ACE的角平分线，∠AFE＝90°， ∴∠CAF＝∠EAF，AF⊥DE， ∴∠EAF+∠DAE＝∠CAF+∠BAD， ∴， ∴∠ADE＝90°﹣62°＝28°， ∴∠ADB＝∠ADE＝28°． 故选：B． 【点评】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟知以上知识是解题的关键． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）等腰三角形两边分别为3厘米和8厘米，则它的周长为　19　 厘米． 【分析】给出等腰三角形有两条边长分别为3cm和8cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【解答】解：∵等腰三角形两边分别为3厘米和8厘米，且3+3＝6＜8， ∴等腰三角形三边不可能是3厘米，3厘米，8厘米， ∴等腰三角形三边为3厘米，8厘米，8厘米， ∴三角形的周长为19厘米． 故答案为：19． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 12．（3分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交线段AB，BC于点M，P，AC的垂直平分线分别交线段AC，BC于点N，Q，BC＝10，△APQ的周长为16，则PQ的长度为　3　 ． 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到PA＝PB，QA＝QC，再根据三角形周长公式计算得到答案． 【解答】解：∵MP是AB的垂直平分线， ∴PA＝PB， ∵QN是AC的垂直平分线， ∴QA＝QC， ∵△APQ的周长为16， ∴QA+PA+QP＝16， ∴QC+PB+QP＝16， ∴QP+PC+BQ+QP+QP＝16， ∴BC+2QP＝16， ∵BC＝10， ∴QP＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 13．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，过点B作BD⊥AB，且BD＝AB，延长BC至点E，使，连接DE并延长交AC边于点F，若DE＝EF，则AC＝　12　 ． 【分析】过点D作DG⊥BE交BE的延长线于点G，分别利用AAS证明出△ABC≌△BDG和△CFE≌△GDE，然后利用线段和差即可得解． 【解答】解：如图，过点D作DG⊥BE交BE的延长线于点G， ∵BD⊥AB， ∴∠ABC＝90°﹣∠DBC＝∠BDG， ∵AB＝BD，∠ACB＝90°＝∠G， ∴△ABC≌△BDG（AAS）， ∴DG＝BC＝6，BG＝AC， 在△CFE和△GDE中， ， ∴△CFE≌△GDE（AAS）， ∴， ∴CG＝CE+EG＝3+3＝6， ∴AC＝BG＝BC+CG＝6+6＝12， 故答案为：12． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 14．（3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，且DE＝DG，S△ADG＝24，S△AED＝18，则△DEF的面积为　3　 ． 【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线的性质得到DH＝DF，进而证明Rt△DEF≌Rt△DGH，根据全等三角形的性质得到△DEF的面积＝△DGH的面积，根据题意列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，过点D作DH⊥AC于H， ∴DH＝DF， 在Rt△DEF和Rt△DGH中， ， ∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL）， ∴S△DEF＝S△DGH， 设S△DEF＝S△DGH＝S， 同理可证：Rt△ADF≌Rt△ADH， ∴S△ADF＝S△ADH， ∵S△ADG＝24，S△AED＝18， ∴24﹣S＝18+S， 解得：S＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，添加辅助线构造出全等三角形并利用角平分线的性质是解题的关键． 15．（3分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AE⊥BC于点E．若△ABC的面积为24，AE＝6，则BD的长为　4　 ． 【分析】利用三角形中线定义及三角形面积求出BD长． 【解答】解：∵AD为BC边上的中线， ∴S△ABDS△ABC24＝12， ∴BD•AE＝12， ∵AE＝6， ∴BD＝4． 【点评】本题考查了用三角形中线求三角形面积、三角形外角性质、直角三角形性质，掌握这几个知识点的熟练应用是解决此题的关键． 三．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分） 16．（7分）如图，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠ACB＝50°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求∠BPC的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：∵BP平分∠ABC （已知）， ∴∠PBC80°＝40°． 同理可得∠PCB＝　25°　 ． ∴∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（ 　三角形内角和定理　 ）， ∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB（等式的性质）． ∴∠BPC＝　115　 °． 【分析】根据角平分线的定义以及三角形内角和定理解决问题即可． 【解答】解：∵BP平分∠ABC（已知）， ∴∠PBC∠ABC80°＝40°． 同理可得∠PCB＝25°． ∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（三角形内角和定理）， ∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB（等式的性质） ＝180°﹣40°﹣25°． ＝115°． 故答案为：BP平分∠ABC，25°，三角形内角和定理，115． 【点评】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 17．（7分）已知在△ABC中，AB＝20，BC＝8，AC＝2m． （1）求m的取值范围； （2）若△ABC是等腰三角形，求△ABC的周长． 【分析】（1）根据三角形三边关系求解即可； （2）分BC＝AC，AB＝AC两种情况讨论即可． 【解答】解：（1）已知在△ABC中，AB＝20，BC＝8，AC＝2m， ∴20﹣8＜2m＜20+8， 解得：6＜m＜14； （2）△ABC是等腰三角形，分两种情况讨论： 当AB＝AC时，得：2m＝20， 解得：m＝10， 此时△ABC的周长＝20+20+8＝48； 当BC＝AC时，得：2m＝8， 解得m＝4； ∵6＜m＜14， ∴此种情况不合题意， 综上所述，m的值为10，△ABC的周长为48． 【点评】本题考查了勾股定理，三角形三边关系，等腰三角形的性质，掌握三角形三边关系是解题的关键． 18．（7分）如图，线段AB，CD交于点O，连接AD，CB，AD＝CB，∠DAB＝∠BCD．求证：OA＝OC． 【分析】根据全等三角形的判定与性质求证即可． 【解答】证明：在△OAD和△OCB中， ， ∴△OAD≌△OCB（AAS）， ∴OA＝OC． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 四．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分） 19．（9分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°． （1）尺规作图：作∠ACB的角平分线交AB于O；（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）若AC＝6，求BO的长． 【分析】（1）根据角平分线的作法作图即可； （2）根据三角形内角和求出∠ACB，根据角平分线得出，继而利用含30度角的直角三角形的性质以及等角对等边求出，OC＝2OB，然后利用勾股定理可得结果． 【解答】解：作∠ACB的角平分线交AB于O，如图所示： ； （2）∵∠A＝30°，∠B＝90°，AC＝6， ∴，∠ACB＝60°， 又∵OC平分∠ACB， ∴， ∴OC＝2OB， 在Rt△BOC中，OB2+BC2＝OC2，即：OB2+32＝4OB2， 解得：． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图，角平分线的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，解题的关键是掌握角平分线的作法，熟连运用相关知识进行角和边的转化． 20．（9分）如图，AC平分∠DAB，连接CD，CE⊥AB于点E，∠B+∠ADC＝180°． （1）求证：CB＝CD； （2）若AB＝8，BE＝2，求AD的长． 【分析】（1）作CF⊥AD交AD的延长线于点F，根据角平分线的性质定理证明CE＝CF，再证∠CDF＝∠B，△CDF≌△CBE（AAS），即可证明CB＝CD； （2）由△CDF≌△CBE得DF＝BE＝2，再证Rt△AEC≌Rt△AFC（HL），得出AF＝AE＝6，即可求解． 【解答】（1）证明：如图，CE⊥AB，AC平分∠DAB，作CF⊥AD交AD的延长线于点F， ∴CE＝CF， ∵∠CDF+∠ADC＝180°，∠B+∠ADC＝180°， ∴∠CDF＝∠B， 在△CDF和△CBE中， ， ∴△CDF≌△CBE（AAS）， ∴CB＝CD； （2）解：∵AB＝8，BE＝2， ∴AE＝AB﹣BE＝8﹣2＝6， ∵△CDF≌△CBE， ∴DF＝BE＝2， 在Rt△AEC和Rt△AFC中， ， ∴Rt△AEC≌Rt△AFC（HL）， ∴AF＝AE＝6， ∴AD＝AF﹣DF＝6﹣2＝4． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 21．（9分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC于点G，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F． （1）求证：BE＝CF； （2）如果AB＝20，AC＝8，求AE的长． 【分析】（1）连接DB、DC，结合等腰三角形的三线合一，得出DB＝DC，再证明Rt△BDE≌Rt△CFD即可得出结论； （2）由（1）可得出CF＝BE，且AE＝AF＝AC+CF，而CF＝BE＝AB﹣AE，代入可求 【解答】（1）证明：连接DB、DC， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF， ∵DG⊥BC且平分BC于点G， ∴DB＝DC， 在Rt△BDE和Rt△CFD中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴BE＝CF； （2）解：由（1）知BE＝CF， 且在△ADE和△ADF中 ∴△ADE≌△ADF（AAS）， ∴AE＝AF＝AC+CF， 而CF＝BE＝AB﹣AE， ∴AE＝AC+AB﹣AE， ∴2AE＝AC+AB＝8+20＝28， ∴AE＝14． 【点评】本题主要考查三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的三线合一，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 五．解答题（共2小题，满分27分） 22．（13分）如图1，已知△ABC与△ADE摆放在一起，点A、C、E在同一直线上，其中∠ACB＝30°，∠DAE＝45°，∠BAC＝∠D＝90°．如图2，固定△ABC，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE＝α（0°＜α＜180°）．（1）当∠CAD＝15°时，α＝　30　 °； （2）在旋转过程中，试探究∠CAD与∠BAE之间的关系； ①当0°＜α≤45°时，　∠BAE﹣∠CAD＝45°　 ． ②当45°＜α≤90°时，　∠BAE+∠CAD＝45°　 ． ③当90°＜α＜180°时，　∠CAD﹣∠BAE＝45°　 ． （3）当△ADE的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角α所有可能的度数． 【分析】（1）根据旋转角的定义进行计算即可； （2）根据旋转过程中各个角之间的变化关系进行解答即可； （3）在旋转过程中，画出△ADE的一边与△ABC的某一边平行（不共线）的所有可能出现的情况图，再根据各个角之间的关系进行计算即可． 【解答】解：（1）如图2，当∠CAD＝15°时， ∠CAE＝∠DAE﹣∠CAD＝45°﹣15°＝30°， 即α＝30°， 故答案为：30； （2）①当0°＜α≤45°时，如图2，∠CAD＝45°﹣α，∠BAE＝90°﹣α， ∴∠BAE﹣∠CAD＝90°﹣α﹣45°+α＝45°， 故答案为：∠BAE﹣∠CAD＝45°； ②当45°＜α≤90°时，如图3， ∠CAD+∠DAE+∠BAE＝90°， 即∠BAE+∠CAD＝90°﹣45°＝45°， 故答案为：∠BAE+∠CAD＝45°； ③当90°＜α＜180°时，如图4， ∠CAD＝α﹣45°，∠BAE＝α﹣90°， ∴∠CAD﹣∠BAE＝α﹣45°﹣α+90°＝45°， 故答案为：∠CAD﹣∠BAE＝45°； （3）当DE∥AB时，如图， 此时旋转角α，即∠CAE＝45°； 当DE∥BC时，如图： 此时旋转角α，即∠CAE＝45°+60°＝105°； 当DE∥AC时，如图： 此时旋转角α，即∠CAE＝90°+45°＝135°； 当AD∥BC时，如图： ∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB＝30°， ∴∠CAE＝∠DAE﹣∠DAC＝45°﹣30°＝15°； 当AE∥BC时，如图： ∵AE∥BC， ∴∠EAB＝∠B＝60°， ∴∠EAC＝∠EAB+∠BAC＝60°+90°＝150°； 综上所述，当△ADE的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，旋转角α为45°或105°或135°或15°或150°． 【点评】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，掌握平行线的性质，三角形内角和定理是正确解答的关键． 23．（14分）“转化”和“类比迁移”是解决数学问题的重要思想方法，前者通过构造图形全等转化线段或角，将零散的线段或角集中在一个图形上；后者通过观察图形的变化与联系，适当添加辅助线，把类似的图形类比迁移应用到不同情境中． 【等边三角形】（1）如图1，在等边△ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，且满足DE＝EF，∠DEF＝60°，求证：△BDE≌△CEF．小宁仔细审题后发现关键的一步是推导出等角，他的做法是：因为∠DEF＝60°，所以∠BED+∠CEF＝120°…，请你继续完成证明； 【直角三角形】（2）如图2，若把（1）中的等边△ABC改成Rt△ABC，且∠A＝90°，∠B＝60°，其他条件不变，试探究线段BD、BE、CE之间满足的数量关系，并说明理由； 【任意四边形】（3）如图3，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝60°，BC＝CD．过点C分别作AB，AD的垂线，垂足分别为M，N，若BM＝6，DN＝2，请直接写出的值． 【分析】（1）由等边三角形的性质得出∠B＝∠C，再由三角形外角的定义得出∠BDE＝∠CEF，即可证得△BDE≌△CEF； （2）在EC取点G，使得∠FGE＝60°，连接FG．同（1）得△DBE≌△EGF，由全等三角形的性质得出DB＝EG，BE＝FG，由直角三角形性质得出∠C＝30°，由三角形外角的定义和性质可得出∠GFC，由等角对等边可得出FG＝CG； （3）延长AM至点E，连接CE，使得∠E＝60°，延长EC，AD交于点F，连接BD．先证明△BCD和△AEF为等边三角形，由等边三角形的性质进一步证明△ADB≌△FCD，由全等三角形的性质可得出CF＝AD，AB＝FD，同理可证△ADB≌△EBC，△FCD≌△EBC，则AD＝BE＝CF，AB＝FD＝EC，设DN＝a，BM＝3a，AD＝BE＝CF＝x，AB＝FD＝EC＝y，则ME＝x﹣3a，NF＝y﹣a，由含30度直角三角形的性质即可得出答案． 【解答】（1）证明：∵∠DEF＝60°， ∴∠BED+∠CEF＝120°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∴∠BDE+∠BED＝120°， ∴∠BDE＝∠CEF， 在△BDE与△CEF中， ， ∴△BDE≌△CEF（AAS）， （2）解：CE＝BE+BD． 理由：如图（2），在EC取点G，使得∠FGE＝60°，连接FG， 同（1）得△DBE≌△EGF， ∴DB＝EG，BE＝FG，∠FGE＝∠B＝60°， ∴∠C＝30°， ∵∠EGF＝∠C+∠GFC，即60°＝30°+∠GFC， ∴∠GFC＝30°， ∴FG＝CG， ∴BE＝FG＝CG． ∴CE＝CG+EG＝BE+BD， （3）解：的值为．理由如下： 延长AM至点E，连接CE，使得∠E＝60°，延长EC，与AD交于点F，连接BD，如图（3）， ∵∠BCD＝60°，BC＝CD， ∴△BCD为等边三角形， ∴CD＝CB＝BD，∠CBD＝∠CDB＝60°， ∵∠E＝60°，∠A＝60°， ∴∠F＝180°﹣∠E﹣∠A＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴△AEF为等边三角形， ∴AE＝EF＝AF， ∵∠CDN+∠BDC＝∠ABD+∠A，∠A＝∠CDB＝60°， ∴∠ABD＝∠CDN， 在△ADB和△FCD中， ， ∴△ADB≌△FCD（AAS）， ∴CF＝AD，AB＝FD， 同理可证：△ADB≌△EBC，△FCD≌△EBC， ∴AD＝BE＝CF，AB＝FD＝EC， ∵BM＝3DN， 设DN＝a，AD＝BE＝CF＝x，AB＝FD＝EC＝y， 则BM＝3a，ME＝x﹣3a，NF＝y﹣a， ∵CM⊥AB，CN⊥AD，∠E＝∠F＝60°， ∴∠ECM＝∠NCF＝30°， ∴EC＝2ME，CF＝2NF， 即，， 解得：， ∴ 【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及性质，等边三角形的判定以及性质，含30度直角三角形的性质，三角形外角的定义和性质，构建等边三角形是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/9/3 20:25:22；用户：夏老师；邮箱：15361225968；学号：65446526 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $