精品解析：广东省汕头市潮阳实验学校2025—2026学年 八年级数学上学期期末练习

广东省汕头市潮阳实验学校2025—2026学年度八年级数学第一学期期末练习 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列长度的三条线段能够成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 4，5，8 C. 4，5，9 D. 5，6，11 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式，，，，中，分式的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C D. 6. 若可以配成一个完全平方公式，则m的值为（    ） A. B. C. 16 D. 7. 如图，在和中，已知，在不添加任何辅助线的前提下，要使，只需再添加的一个条件不可以是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，，若，， 则等于（ ） 　 A. B. C. D. 9. 如图，四边形中，，，M，N分别是，上的点，当的周长最小时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直），使从点到的路径最短的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是______． 12. 若分式无意义，则x的值为________． 13. 如图，在中，，，点在边上，，射线，垂足为点，点是射线上的一动点，点在线段上，当的值最小时，则________． 14. 若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是______． 15. 如图，在中，，，为中点，，分别是，两边上的动点，且，下列结论： ①； ②的周长不变； ③； ④，分别表示和的面积，则． 其中正确的结论序号是______ 三、解答题（每小题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 先化简，再求值：，其中x＝． 18. 已知：如图，点E，C线段上，且，，．求证． 四、解答题（每小题9分，共27分） 19. 如图，在△ABC中，∠A>∠B． （1）作边AB的垂直平分线DE，与CB、AB分别交于点D、E（用尺规作图，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接AD，若∠B=50°，求∠ADC的度数． 20. 如图，在中，于点D，E为上一点，连结，，. （1）求证：≌； （2）若，求的度数. 21 观察下列各式 …… 请根据你发现的规律完成下列各题： （1）根据规律可得___________（其中n为正整数）； （2）计算：； （3）①计算：； ②计算：． 五、解答题（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求多项式的最小值． 解：．因所以 当时，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： （1）【理解探究】 已知代数式，则A的最小值为__________； （2）【类比应用】 张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由； （3）【拓展升华】 已知实数x和y满足，求的最大值． 23. 在平面直角坐标系中，点，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作交y轴于点E． （1）如图①，若点C的坐标为，求证：，并直接写出点E的坐标； （2）如图②，若点C在x轴正半轴上运动，且，其它条件不变连接，求证：平分； （3）在（2）条件下，当时，试探究线段、、的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省汕头市潮阳实验学校2025—2026学年度八年级数学第一学期期末练习 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列长度的三条线段能够成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 4，5，8 C. 4，5，9 D. 5，6，11 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，即三角形任意两边之和必须大于第三边，两边之差小于第三边，据此逐项判断即可求解﹒ 【详解】解：A. ∵，∴三条线段不能组成三角形，不合题意； B. ∵，∴三条线段能组成三角形，符合题意； C. ∵，∴三条线段不能组成三角形，不合题意； D. ∵，∴三条线段不能组成三角形，不合题意； 故选：B 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，同底数幂相除，积的乘方，据此相关性质内容进行逐项计算，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C 3. 下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键． 根据因式分解的定义，判断哪个选项的变形是将多项式化为整式乘积的形式． 【详解】解：因式分解是将多项式化为几个整式积的形式， 选项A、右边是，是和的形式，不是积的形式，故不是分解因式， 选项B、右边是，含有和的形式，不是乘积的形式，故不是分解因式， 选项C、右边是，是整式积的形式，且左边等于右边，故是分解因式， 选项D、右边是，但左边，故不是分解因式， 故选：C． 4. 下列各式，，，，中，分式的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解决本题的关键． 根据分式的定义（分母中含有字母的式子）逐一判断各式即可． 【详解】解：由题意得，：分母为1，无字母，不是分式； ：分母含字母，是分式； ：分母含字母和，是分式； ：分母为常数，无字母，不是分式； ：分母5为常数，无字母，不是分式． ∴分式有2个． 故选B． 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是多项式的因式分解，掌握其运算法则是解决此题关键．首先根据多项式乘多项式的运算法则计算已知等式的右边，再根据系数相等可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ，，故A正确． 故选：A． 6. 若可以配成一个完全平方公式，则m的值为（    ） A. B. C. 16 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式的特点是解题的关键； 根据完全平方式得出，即可求解． 【详解】解：∵ 是一个完全平方式， ∴可设为 ， ∴， 解得：． 故选：D． 7. 如图，在和中，已知，在不添加任何辅助线的前提下，要使，只需再添加的一个条件不可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，明确不能证明三角形全等是解题的关键． 由于，而为公共边，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：∵，， ∴A．当添加时，由可证明，故不符合题意； B．当添加时，由不能证明，故符合题意； C．当添加时，由可证明，故不符合题意； D．当时,，由可证明，故不符合题意． 故选B． 8. 如图，，，若，， 则等于（ ） 　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，结合图形根据线段的和差计算即可． 【详解】解：∵，，  ∴， ∴． 故选：B． 9. 如图，四边形中，，，M，N分别是，上的点，当的周长最小时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作点C关于的对称点E，关于的对称点F，则，，可得，即可得当E、M、N、F在同一条直线上时，的最小值等于线段的长，根据四边形中，，得，根据三角形内角和定理得，根据等边对等角得，，即可得，根据三角形内角和定理即可得． 【详解】解：如图所示，作点C关于的对称点E，关于的对称点F， 则，， ∴， ∴当E、M、N、F在同一条直线上时，的最小值等于线段的长， ∵四边形中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题，三角形内角和定理，等边对等角，解题的关键是理解题意，利用对称性构造最短路径． 10. 如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直），使从点到的路径最短的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了两点之间线段最短，掌握最短路径的计算方法是解题的关键． 求的最小值，因为是定值，则当的值最小时即可，将线段沿着方向，平移得到，当点重合时，点三点共线，此时的值最小，由此即可求解． 【详解】解：从点到的路径为的值， ∵是定值， ∴当的值最小时，从点到的路径最短， 如图所示，将线段沿着方向，平移得到，点与点重合， 当时，点三点共线，， ∴由两点之间线段最短得，的值最小， 故选：D ． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称点的坐标特点． 根据关于轴对称点坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变． 【详解】解：点关于轴对称， 横坐标取相反数为，纵坐标不变为， 因此对称点的坐标为． 故答案为：． 12. 若分式无意义，则x的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据分式无意义的条件，即可求解． 【详解】根据题意得∶， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了分式无意义的条件，熟练掌握分式无意义的条件是分式的分母等于0是解题的关键． 13. 如图，在中，，，点在边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点在线段上，当的值最小时，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、轴对称的性质、直角三角形的性质，由题意可得，，作点关于的对称点，连接，由轴对称的性质可得，，从而可得，当、、三点共线且时，的值最小，即此时最小，证明、、三点共线，求出，再由直角三角形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴为等边三角形， ∴，， 如图，作点关于的对称点，连接， ， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴当、、三点共线且时，的值最小，即此时最小， ∵， ∴、、三点共线， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程． 先通过分母变形化简分式方程，再求解得到x关于m的表达式，根据解为正数及分母不为零的条件列不等式求m的取值范围 【详解】解：原方程可化为， 即， 两边同乘得， 整理得， 解得： 可知且， ∵关于的分式方程的解为正数， ∴， ∵分子为负， ∴分母，即； 由得，解得， 综上且． 故答案为：且． 15. 如图，在中，，，为中点，，分别是，两边上的动点，且，下列结论： ①； ②的周长不变； ③； ④，分别表示和的面积，则． 其中正确的结论序号是______ 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识点．等腰直角三角形的性质证明，从而得出是等腰直角三角形，即可对结论进行逐一判断． 【详解】解：∵，，为中点，， ∴， ，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故结论①正确； ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵点是边上的动点， ∴的长度是变化的， ∴的值是变化， ∴的周长是变化的，故结论②错误； ∵， ， ∴，故结论③正确； ∵的面积， 当时，的值最小， 此时，， 当点与或重合时，最大为， ∴，故结论④正确； ∴正确的结论有①③④． 故答案为：①③④． 三、解答题（每小题7分，共21分） 16 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂和零指数幂等知识点，正确计算是解题的关键． 分别计算有理数的乘方，绝对值，算术平方根，零指数幂和负整数指数幂，再进行有理数的混合运算． 详解】解： ． 17. 先化简，再求值：，其中x＝． 【答案】 【解析】 【分析】先对题目中的式子进行化简，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝， 当x＝时，原式＝． 【点睛】本题考查分式运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 18. 已知：如图，点E，C在线段上，且，，．求证． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据等式的性质得出，然后根据证明，最后根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 四、解答题（每小题9分，共27分） 19. 如图，在△ABC中，∠A>∠B． （1）作边AB的垂直平分线DE，与CB、AB分别交于点D、E（用尺规作图，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接AD，若∠B=50°，求∠ADC的度数． 【答案】（1）见解析；（2）∠ADC的度数为100°． 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的作法，作出图形即可； （2）由于DE是AB的垂直平分线，得到AD＝BD，根据等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠B＝50°，由三角形的外角的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）如图，DE为所求； （2）∵DE是AB的垂直平分线， ∴ AD＝BD， ∴ ∠DAB＝∠B＝50°， ∴ ∠ADC＝∠DAB+∠B＝100° 答：∠ADC的度数为100°． 【点睛】本题考查了作图−基本作图，线段垂直平分线的性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 20. 如图，在中，于点D，E为上一点，连结，，. （1）求证：≌； （2）若，求的度数. 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题. （1）利用HL证明，即可； （2）利用得，从而求得，利用勾股定理求得，再利用等积法求解即可. 【小问1详解】 证明：， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：， ，， ， ， ， . 21. 观察下列各式 …… 请根据你发现的规律完成下列各题： （1）根据规律可得___________（其中n为正整数）； （2）计算：； （3）①计算：； ②计算：． 【答案】（1） （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）观察所给式子的特点，等号右边x的指数比等号左边x的最高指数大1，然后写出即可； （2）根据所给式子的规律，把x换为3即可， （3）配成上述结构式子，利用总结规律直接写出结果； 【小问1详解】 【小问2详解】 = 【小问3详解】 ① = =； ② = = = 【点睛】本题考查了平方差公式的推广，要读懂题目信息并总结出规律，具有规律性是特殊式子的因式分解，解题的关键是找出所给范例展示的规律． 五、解答题（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： （1）【理解探究】 已知代数式，则A的最小值为__________； （2）【类比应用】 张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由； （3）【拓展升华】 已知实数x和y满足，求的最大值． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式的应用． （1）仿照材料的方法将代数式变形为，再利用非负数的性质即可求出最小值； （2）用长方形面积公式分别表示出甲乙两块菜地的面积，再利用作差法比较大小即可得出结论； （3）从给定方程中表示出y，代入得到二次表达式，再配方求最大值． 【小问1详解】 解：， 因为所以，当时，， 因此有最小值，最小值为，即的最小值为， A的最小值为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：，理由如下： 甲菜地的面积， 乙菜地的面积， ， 因为，所以， 即， 所以； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， 当时，取最大值， 故的最大值为． 23. 在平面直角坐标系中，点，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作交y轴于点E． （1）如图①，若点C的坐标为，求证：，并直接写出点E的坐标； （2）如图②，若点C在x轴正半轴上运动，且，其它条件不变连接，求证：平分； （3）在（2）的条件下，当时，试探究线段、、的数量关系，并证明． 【答案】（1）； （2）见解析； （3），见解析 【解析】 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行求解． （1）先根据判定，得出，再根据点的坐标为，得到，进而得到点的坐标； （2）先过点作于点，作于点，根据，得到，且，再根据，，得出，进而得到平分； （3）结论：．在上截取，连接，根据判定，再根据三角形外角性质以及三角形内角和定理，求得，，证明即可解决问题． 【小问1详解】 如图①，，， ， 又， ， ，， ， ， ， 又点的坐标为， ， 点的坐标为． 【小问2详解】 如图②，过点作于点，作于点， ， ，且， ，， ， 平分． 【小问3详解】 结论：． 理由：如所示，在上截取，连接， ，， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $