精品解析：北京市丰台区第二中学2026-2027学年高三上学期8月检测数学试题

丰台二中2027届高三数学8月检测练习 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列函数中，奇函数且单调递增的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数．若，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则（ ） A. 是减函数，且曲线存在对称轴 B. 是减函数，且曲线存在对称中心 C. 是增函数，且曲线存在对称轴 D. 是增函数，且曲线存在对称中心 7. 设，，，．若，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数（，）的部分图象如图所示，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 我国新能源汽车技术世界领先，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口．Peukert于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为Peukert常数．为了测算某蓄电池的Peukert常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间．则该蓄电池的Peukert常数大约为（ ）（参考数据：，） A. B. C. D. 10. 函数在上有定义，若对任意，，有，则称在上具有性质．设在上具有性质，现给出如下命题： ①在上是增函数； ②在上具有性质； ③若在处取得最大值1，则，； ④对任意，，，，有． 其中真命题的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数的定义域为___________；值域为____________． 12. 在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边与以原点为圆心的单位圆交于点，则______；______． 13. 在的展开式中，的系数为60，则实数______. 14. 已知函数的最小值为，则______；的最大值是______． 15. 设函数给出下列四个结论： ①当时，函数在上单调递减； ②若函数有且仅有两个零点，则； ③当时，若存在实数，使得，则的取值范围为； ④已知点，函数的图象上存在两点，关于坐标原点的对称点也在函数的图象上．若，则． 其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）当时，求的取值范围． 17. 已知函数（），． （1）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求，的值； （2）当时，求函数在区间上的最大值． 18. 设函数（，）． （1）若，求的值． （2）已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求，的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 19. 已知函数． （1）若曲线在点处切线与直线平行，求的值； （2）若曲线与直线有两个不同交点，求的取值范围． 20. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：函数有唯一极值点； （3）求证：． 21. 设数列（它指无穷数列，，，…）满足，，且，，使得． （1）直接写出，的取值范围； （2）（ⅰ）若数列的某一项（），求证：（）； （ⅱ）记（），（），求证（；）； （3）设（）是已知数，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰台二中2027届高三数学8月检测练习 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由不等式解得，则 又，则. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出，再结合共轭复数的性质即可求解. 【详解】已知，则， 所以，，故C正确. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据同角三角函数平方关系，结合必要不充分性的判断即可求解. 【详解】由，则，故充分性不成立， 由，则，故必要性成立， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 4. 下列函数中，奇函数且单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】对于A，且定义域为R，函数是奇函数； 求导得，由于，故，等号仅在处成立，因此在上单调递增，符合. 对于B，且定义域为R，函数是奇函数， 取，有，不是单调递增函数，排除. 对于C，是奇函数，在整个定义域上不单调，如但，排除. 对于D，且定义域为R，函数是奇函数， 求导得，当时，函数存在递减区间，不满足单调递增，排除. 5. 已知函数．若，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，是函数最小值、是函数最大值，所求最小值为该正弦型函数的半周期. 【详解】已知，周期，  由题意，，可知为函数最小值，为函数最大值， 正弦型函数相邻的最大值点与最小值点的水平距离最小值为半周期，即，故的最小值为，故B正确. 6. 已知函数，则（ ） A. 是减函数，且曲线存在对称轴 B. 是减函数，且曲线存在对称中心 C. 是增函数，且曲线存在对称轴 D. 是增函数，且曲线存在对称中心 【答案】D 【解析】 【分析】先判断定义域是否关于原点对称，进而利用函数对称中心定义判断对称中心，再由指数函数的单调性结合复合函数单调性可判断函数的单调性. 【详解】函数定义域为R，关于原点对称，满足，所以曲线存在对称中心， 函数，在上单调递增，在上单调递增，所以是增函数. 7. 设，，，．若，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先通过指数与对数的互化求出，再利用基本不等式求的最大值，结合对数函数的单调性即可得到所求最大值. 【详解】由，可得，同理，，可得， 因此，，故， 因为，，所以，化简得，即，当且仅当时等号成立， 因为对数函数在定义域上单调递增，所以当取最大值3时，取得最大值， 即的最大值为1. 8. 已知函数（，）的部分图象如图所示，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由相邻最值点求周期与 ，再由最大值点及 求 ，代入求值． 【详解】由图可知， 与 分别为相邻的最小值点、最大值点，所以 ，故 ， 所以． 又由图知 ，于是 ，其中 为整数． 结合 ，得 ，故 ． 因此 ． 9. 我国新能源汽车技术世界领先，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口．Peukert于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为Peukert常数．为了测算某蓄电池的Peukert常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间．则该蓄电池的Peukert常数大约为（ ）（参考数据：，） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用电池容量不变建立关于 Peukert 常数 的方程，再取常用对数，结合参考数据求出 ． 【详解】由 ，且两次放电时电池容量相同，得 ，即 两边取常用对数，得 ． 由参考数据 ，，得 10. 函数在上有定义，若对任意，，有，则称在上具有性质．设在上具有性质，现给出如下命题： ①在上是增函数； ②在上具有性质； ③若在处取得最大值1，则，； ④对任意，，，，有． 其中真命题的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设条件，分别举出反例，说明①和②都是错误的；同时证明③和④是正确的． 【详解】对于①，函数，它在上满足，具有性质，但在上不是增函数，①不正确； 对于②，取，它在上满足，具有性质， 但，取，则 左边， 右边，此时左边，不满足性质的不等式，②不正确； 对于③，， 又在上的最大值为1，即，，故， 从而，所以，③正确； 对于④，， ，④正确． 故命题③④正确，即选项D正确. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数的定义域为___________；值域为____________． 【答案】 ①. . ②. . 【解析】 【分析】根据根式及分式的要求即可求得定义域；由函数解析式即可求得值域． 【详解】函数 所以定义域为 ，即 所以定义域为 因为 所以， 即值域为 【点睛】本题考查了二次根式及分式的定义域和值域问题，属于基础题． 12. 在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边与以原点为圆心的单位圆交于点，则______；______． 【答案】 ①. ##0.5 ②. 【解析】 【详解】因为圆为单位圆，所以. 由题意可知，点可能位于第一象限或第二象限，，所以. 13. 在的展开式中，的系数为60，则实数______. 【答案】 【解析】 【分析】求出二项展开式的通项，令的指数等于2，求得，再根据展开式中的系数为60，即可得出答案. 【详解】的展开式的通项为， 令，则， 则在展开式中，的系数为， 所以. 故答案为：. 14. 已知函数的最小值为，则______；的最大值是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先代入确定自变量区间，求余弦函数在该区间的最小值得，再分析长度固定为的区间上余弦函数最小值的最大值. 【详解】当时，， 令，则，  在上单调递减，在上单调递增， 因此最小值为，即； 对任意，，故，区间长度为，  是在区间上的最小值， 因为是以周期为的函数，所以不妨考虑时函数的最小值， 当时，在区间端点处取得最小值， 此时最小值为； 当时，因为在上单调递增，在上单调递减， 结合对称性：在处取得最小值， 此时， 当时，因为在上单调递减，在上单调递增， 则在处取得最小值， 则， 当时，因为在上单调递增，在单调递减，结合对称性可知： 在处取得最小值，此时， 故的最大值为. 15. 设函数给出下列四个结论： ①当时，函数在上单调递减； ②若函数有且仅有两个零点，则； ③当时，若存在实数，使得，则的取值范围为； ④已知点，函数的图象上存在两点，关于坐标原点的对称点也在函数的图象上．若，则． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】根据时，即可判断①，求解方程的根，即可求解②，结合函数图象，求解临界状态时，即可求解③，根据函数图象的性质可先判断，继而根据对称性联立方程得，，根据可得，代入即可求解④. 【详解】当时，时，，故在上不是单调递减，①错误； 对于②，当显然不成立，故， 当时，令，即，得，，要使有且仅有两个零点，则，故，②正确， 对于③, 当时,,此时在单调递减，在单调递增，如图： 若，由，故，所以的取值范围为；③正确 对于④,由①③可知：时，显然不成立,故， 要使，关于坐标原点的对称点也在函数的图象上， 则只需要的图象与有两个不同的交点，如图： 故， ， 由对称可得， 化简可得，故， ，化简得 所以 由于均大于0，所以，， 因此 由于，为单调递增函数，且， 此时，因此，④正确， 故答案为：②③④ 【点睛】方法点睛：函数零点问题常用的方法和思路 （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）当时，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 ， 令，则， 故单调递增区间为. 【小问2详解】 时，，故， 故，故的取值范围是. 17. 已知函数（），． （1）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求，的值； （2）当时，求函数在区间上的最大值． 【答案】（1） ， （2） 【解析】 【分析】（1）利用公共交点处函数值相等、公共切线斜率（导数值）相等列方程组求解参数； （2）替换参数后求导，判断函数在上的单调性，进而求得最大值. 【小问1详解】 对两函数求导得：，. 由两曲线在交点处有公共切线，可得：  ， 代入函数计算：，，所以， 而，，所以. 联立方程组，解得，. 【小问2详解】 当时，， 设， 则. 令，解得两根，. 因为，所以，两个零点都在处. 由于二次函数开口向上，则时，， 即在上单调递增，所以最大值为. 18. 设函数（，）． （1）若，求的值． （2）已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求，的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2）条件①无法使函数存在；选择条件②或③时，， 【解析】 【分析】（1）把代入的解析式求出，再由即可求出的值； （2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把的解析式化简，根据在上的单调性及函数的最值可求出，从而求出的值；把的值代入的解析式，由和即可求出的值；若选条件③：由的单调性可知在处取得最小值，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同． 【小问1详解】 因为，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 因为，所以的最大值为，最小值为. 若选条件①：因为的最大值为，最小值为， 所以无解，故条件①不能使函数存在； 若选条件②：因为在上单调递增，且，， 所以，所以，，所以. 又因为，所以，所以， 所以，因为，所以. 所以，； 若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最小值，即. 以下与条件②相同． 19. 已知函数． （1）若曲线在点处切线与直线平行，求的值； （2）若曲线与直线有两个不同交点，求的取值范围． 【答案】（1） （2）的取值范围是 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，切线斜率等于函数在切点处的导数值，结合平行直线斜率为1列方程求解； （2）将交点问题转化为函数图象交点问题，构造辅助函数，通过导数分析函数单调性与最值，结合函数趋势确定参数范围. 【小问1详解】 对求导，得，  曲线在处切线与平行，故切线斜率为1， 即，代入得， 由于，故恒成立，因此； 【小问2详解】 曲线与有两个不同交点， 等价于方程有两个不同实根，整理得， 设，问题转化为与直线有两个不同交点， 对求导得， 因恒成立， 故：当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 因此在处取最小值，， 又和时，， 故：当时，有两个不同实根； 当时仅有1个实根； 当时无实根， 综上，的取值范围为. 20. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：函数有唯一极值点； （3）求证：． 【答案】（1） （2）令，则， 因为，所以恒成立，即在上单调递减， ，， 根据零点存在性定理，存在唯一的使得， 当时，，即，单调递增， 当时， ，即，单调递减， 所以在处取得极大值，且为唯一极值点，得证. （3）要证，即， 因为，所以有， 因为，所以有， 所以原不等式转化为证明，即证， 下证: 因为，即证，令， 则，令，解得或(舍)， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，故恒成立， 下证， 令，则，令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ，故恒成立， 综上，，所以原不等式成立，得证. 【解析】 【分析】（1）通过求函数值确定切点，求导数确定切线斜率，最后代入点斜式得出切线方程. （2）对导函数的分子构造辅助函数，利用单调性和零点存在定理证明导函数有且仅有一个变号零点，从而确认唯一极值点。 （3）将复杂的不等式等价变形以分离对数与指数部分，并引入中间量将其拆分为两个基础不等式分别证明. 【小问1详解】 由题意得， 则，， 所以其切线方程为，整理得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 设数列（它指无穷数列，，，…）满足，，且，，使得． （1）直接写出，的取值范围； （2）（ⅰ）若数列的某一项（），求证：（）； （ⅱ）记（），（），求证（；）； （3）设（）是已知数，求的最小值． 【答案】（1）的取值范围是，的取值范围是. （2）（ⅰ）先证明对任意，都有． 当时，，结论成立． 假设． 由题意，是的算术平均数，其中． 这些数均不大于1，且其中，所以． 由数学归纳法，对任意，均有． 已知，故，于是时结论成立． 若存在使，取满足条件的最小，则． 而是前面连续若干项的算术平均数，参与平均的各项均不大于1，且其中，所以，与矛盾． 因此对任意非负整数，都有． （ⅱ）对作数学归纳法． 当时，，且，，所以. 假设时结论成立，其中． 记，． 由递推条件，存在，使． 由归纳假设得. 当时，. 由归纳假设和上式，. 又，所以． 另一方面，且, 所以． 当时，由上式可得； 当时，． 综上，.其中为正整数． （3） 【解析】 【分析】（1）通过列出和时的所有值情况，直接计算出，的取值范围， （2）（ⅰ）采用反证法，由某项等于1的假设逆推得出与已知条件相矛盾的结论，从而证明该数列项的值必在内，（ⅱ）通过对参数进行分类讨论并结合作差法，即可求证双侧不等式成立， （3）利用第（2）问的结论构造出不等式求出最小值，随后通过给出具体的值取法来证明该最小值是可取的. 【小问1详解】 由题意得当时，， 若，则， 若，则， 所以的取值范围是， 当时，， 当时， 若，则， 若，则， 若，则， 当时， 若，则， 若，则， 若，则， 所以的取值范围是. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，由题意得，因此， 当时，由上知， 所以， 由上可得，所以， 由于数列中的任意项都有，所以前项的和， 因此， 下证取等: 对于前项，每次均取，此时， 可得且， 对于第项，取，此时， 此时，等号成立， 若，由（1）得， 因此， 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $