北京市丰台区第二中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

2024北京丰台二中高三10月月考 数 学 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（共10题，每小题4分） 1．已知集合，，那么（    ） A． B． C． D． 2．设复数z满足，则z在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 4．下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 5．设，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，点D是BC边的中点，，则用向量，表示为（    ）   A． B． C． D． 7．若函数的部分图象如图所示，则的值是（    ） A． B． C． D． 8．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是．那么后物体的温（单位：℃）可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数．现有46℃的物体，放在10℃的空气中冷却，以后物体的温度是38℃，则k的值约为（    ） A．0.25 B． C．0.89 D． 9．设是公比为的无穷等比数列，为其前n项和，，则“”是“存在最小值”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 10．已知函数的定义域为，存在常数，使得对任意，都有，当时，．若在区间上单调递减，则t的最小值为（    ） A．3 B． C．2 D． 二、填空题（共5题，每题5分） 11．函数的定义域是 ． 12．数列是公差为的等差数列，记的前项和为，且成等比数列，则 ； . 13．已知菱形的边长为，，，则 . 14．设函数 ①给出一个的值，使得的图像向右平移后得到的函数的图像关于原点对称， ； ②若在区间上有且仅有两个零点，则的取值范围是 ． 15．已知函数给出下列四个结论： ①当时，存在最小值； ②当时，存在唯一的零点； ③的零点个数为，则函数的值域为； ④当时，对任意，，. 其中所有正确结论的序号是 . 三、解答题（共6道题） 16．（13分）已知，且. (1)求的值； (2)求的值. 17．（13分）已知等比数列满足，． （1）求的通项公式； （2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求数列的前项和． 条件①：设； 条件②：设． 18．（14分）已知函数． (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)求在区间上的最值，并求出此时对应的的值； (3)若在区间上有两个零点，直接写出的取值范围． 19．（15分）如图，在四棱锥中，平面ABCD，PB与底面ABCD所成角为，底面ABCD为直角梯形，. (1)求PB与平面PCD所成角的正弦值; (2)求平面PCD与平面PBA所成角的余弦值; (3) N为AD中点，线段PC上是否存在动点M（不包括端点），使得点P到平面BMN距离为. 20．（15分）已知二次函数满足，且该函数的图象经过点，在x轴上截得的线段长为4，设. (1)求的解析式； (2)求函数在区间上的最小值； (3)设函数，若对于任意，总存在，使得成立，求a的取值范围. 21．（15分）已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列． (1)判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由； (2)若为连续可表数列，求证：k的最小值为4； (3)若为连续可表数列，且，求证：． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C B C A D A A B 1．B 【分析】求解一元二次不等式从而求解集合，再根据并集的定义求解. 【详解】由，得， 结合，可知. 故选：B. 2．A 【分析】利用复数的乘除法运算法则化简，根据几何意义确定在复平面内对应的点所在象限． 【详解】由， 则在复平面内所对应的点的坐标为，位于第一象限． 故选：A． 3．C 【分析】根据条件，利用三角函数的定义，即可求出结果. 【详解】因为角的终边经过点，所以， 故选：C. 4．B 【分析】分析各选项中函数的定义域、奇偶性、在上的单调性即可判断作答. 【详解】对于A，函数定义域是，不是偶函数，A不是； 对于B，函数定义域为R，是偶函数且在上单调递增，B是； 对于C，函数定义域为R，是偶函数且在上单调递减，C不是； 对于D，函数定义域为R，是偶函数且在上单调递减，D不是. 故选：B 5．C 【分析】借助指数函数与对数函数的单调性可得、、范围，即可得解. 【详解】由，，即， ，故. 故选：C. 6．A 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】，故， 则. 故选：A 7．D 【分析】根据正弦型函数的对称性可得对称中心，即可求得最小正周期，从而可求的值，结合图象代入已知点坐标即可得的值. 【详解】由图可知，所以是的一个对称中心， 由图象可得最小正周期满足：，则，又，所以， 则由图象可得，，所以，，又，所以. 故选：D 8．A 【详解】由题意可知： 当，，时，， 代入公式得：即， 则. 故选：A. 【点睛】本题主要考查指数对数函数的运算，属于简单题. 9．A 【分析】假设，借助等比数列的性质可得其充分性，举出反例可得其必要性不成立，即可得解. 【详解】若，由，则， 故必有最小值，故“”是“存在最小值”的充分条件； 当，时，有， 则有最小值， 故“”不是“存在最小值”的必要条件； 即“”是“存在最小值”的充分而不必要条件. 故选：A. 10．B 【分析】根据函数的周期性和绝对值型函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为存在常数，使得对任意，都有， 所以函数的周期为， 当时，函数在单调递减， 所以当时，函数在上单调递减， 因为在区间上单调递减， 所以有， 故选：B 【点睛】关键点睛：根据函数的周期的性质，结合绝对值型函数的单调性是解题的关键. 11． 【分析】由复合函数、对数函数以及幂函数的定义域即可求解. 【详解】要使函数有意义，当且仅当，解得， 所以函数的定义域是. 故答案为：. 12． 8 【解析】由等比数列的性质得，解出的值，再结合等差数列的前项和公式可得结果. 【详解】因为数列是公差为的等差数列，成等比数列， 所以，即，解得； 所以， 故答案为：8，. 13． 【分析】利用向量的线性运算得到，，再利用数量积的定义及运算，即可求出结果. 【详解】因为，所以，又， 所以， 又菱形的边长为，，所以， 故答案为：. 14． （答案不唯一） 【分析】，则，取计算即可，确定，根据零点个数得到，解得答案 【详解】由题意可得， 因为的图像关于原点对称，所以，即， 当时，； ，则，有且仅有两个零点， 则，解得， 故答案为：（答案不唯一）； 15．②③ 【分析】①根据指数函数、二次函数性质求最值判断；②由函数零点概念求解零点判断；③讨论、、，分析各分段上零点的个数判断；④用特殊值，得到即可判断. 【详解】①当时，， 当时，在上单调递增，故的值域为； 当时，在上单调递减，在上单调递增，， 故的值域为；由知，无最小值，故①错误； ②当时，，令得，所以有唯一的零点0，故②正确； ③至多一个零点，至多有两个零点， 当时，若，则由， 可得或，故恒有两个零点； 时，若，则存在一个零点； 若，不存在零点， 所以时，零点个数可能为2或3个； 若，则，此时，即上无零点， 而，故有一个零点，即； 若，则，此时上，无零点， 时，也无解，故无零点，即； 综上，的值域为，故③正确； ④当时，，则， 所以，故④错误. 故答案为：②③. 【点睛】关键点点睛：对于③，注意结合指数函数、二次函数性质，应用分类讨论分析各分段零点的可能情况. 16．(1) (2) 【分析】（1）利用同角三角函数平方和商数关系可求得，根据两角和差正切公式可求得结果； （2）利用二倍角正弦公式化简所求式子为正余弦的齐次式，由此可配凑成关于的式子来求解. 【详解】（1），，，， . （2）由（1）知：， . 17．（1）；（2）选择条件①，；选择条件②，. 【分析】（1）根据条件列出关于首项与公比的方程，解出方程组即可求出通项； （2）若选择条件①，利用等差数列的前项和公式求和，若选择条件②，利用分组法求和. 【详解】（1）设等比数列的公比为，则，解得， 所以； （2）选择条件①：， 所以； 选择条件②：， 所以. 18．(1)最小正周期为，单调递增区间为； (2)时最小值为；时最大值为1； (3). 【分析】（1）由二倍角正余弦公式、辅助角公式化简函数式，根据正弦型函数性质求最小正周期和递增区间； （2）由（1）及正弦型函数性质求最值即可； （3）问题化为与在区间上有两个交点，数形结合求参数范围. 【详解】（1）因为， 所以最小正周期为，又增区间为， 令得：， 所以的单调递增区间为． （2）因为，所以． 当，即时，取最小值； 当，即时，取最大值1． （3）由题意，与在区间上有两个交点，而在上图象如下：    由图知：，即. 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）以为坐标原点，建立的空间直角坐标系，求得向量，和平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解； （2）由平面的一个法向量，和平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）设，则，则可得平面的一个法向量，通过点到平面距离的公式，得到参数表示的一个代数式，则可得到点到平面BMN距离的范围，即可得到最大值. 【详解】（1） 因为平面，且平面，所以，， 又因为，所以， 因为与底面所成的角为，所以，故， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立的空间直角坐标系，如图所示， 因为，，可得，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为，可得， 取，则，可得， 设PB与平面PCD所成的角为, 则， 所以PB与平面PCD所成角的正弦值为. （2）根据题意，平面的一个法向量， 由（1）知，平面的一个法向量为， 则， 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 第三问改过（3）因为N为AD中点，所以， 设，则， ∴， 设平面的法向量为，则， 令，则，即， ∵， ∴点到平面距离为， 当时，则， ∴，当时取等号， 则， 综上，点到平面距离的取值范围的最大值为. 20．(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据二次函数的对称性及过的点列式求解即可； （2）根据，，分类讨论求解即可； （3）由题意，利用换元法求解函数的最小值，结合（2）中的最小值列不等式求解即可. 【详解】（1）因为，则的图象关于直线对称且在x轴上截得的线段长为4，的图象与x轴的交点分别为，，所以设. 该函数的图象经过点，解得，所以. （2）因为，其对称轴方程为， 当，即时，. 当，即时， 当，即时， 综上所述，当时，， 当时，， 当时，. （3）若对于任意，总存在，使得成立， 等价于 函数， 因为，所以，所以当时，取得最小值 当时，，所以，不成立 当时，，所以， 解得或，所以 当时，，所以，解得，所以 综上所述，a的取值范围是. 【点睛】方法点睛：双变量的任意、存在性问题应转化成函数最值的大小比较问题. 21．(1)是连续可表数列；不是连续可表数列． (2)证明见解析． (3)证明见解析． 【分析】（1）直接利用定义验证即可； （2）先考虑不符合，再列举一个合题即可； （3）时，根据和的个数易得显然不行，再讨论时，由可知里面必然有负数，再确定负数只能是，然后分类讨论验证不行即可． 【详解】（1），，，，，所以是连续可表数列；易知，不存在使得，所以不是连续可表数列． （2）若,设为,则至多，6个数字，没有个，矛盾； 当时,数列，满足，，，，，，，， ． （3），若最多有种，若，最多有种，所以最多有种， 若，则至多可表个数，矛盾, 从而若,则，至多可表个数， 而，所以其中有负的，从而可表1~20及那个负数（恰 21个），这表明中仅一个负的，没有0，且这个负的在中绝对值最小，同时中没有两数相同,设那个负数为 ， 则所有数之和，， ，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足个， （仅一种方式）， 与2相邻， 若不在两端,则形式， 若，则（有2种结果相同，方式矛盾）， ， 同理 ，故在一端，不妨为形式， 若,则 （有2种结果相同，矛盾），同理不行， ，则 （有2种结果相同，矛盾），从而， 由于,由表法唯一知3,4不相邻,、 故只能，①或，② 这2种情形， 对①：，矛盾， 对②：，也矛盾，综上， 当时，数列满足题意， ． 【点睛】关键点睛，先理解题意，是否为可表数列核心就是是否存在连续的几项（可以是一项）之和能表示从到中间的任意一个值．本题第二问时，通过和值可能个数否定；第三问先通过和值的可能个数否定，再验证时，数列中的几项如果符合必然是的一个排序，可验证这组数不合题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$