精品解析：北京市顺义区第一中学2026-2027学年高三上学期8月月考数学试题

2026——2027学年顺义一中高三8月月考试卷 数学 2026.8 （时间120分钟　满分150分） 本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题　共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 设是等差数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，且，则的最小值（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数满足，且，当时，，则（ ） A. B. C. D. 6. 将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得到函数的图象.再将的图象向右平移个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合.则可以是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，对于，，且，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 记无穷等比数列前项的和为，若，则“公比”是“对任意，存在正整数，当时，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 激活函数在神经网络中的核心作用是引入非线性变换，使神经网络能够学习和逼近复杂函数关系，从而解决线性模型无法处理的非线性问题.其中，就是一个常见的激活函数，它可以将输入的实数输出到区间上.若希望输出的值增加，即，则与的最小值最接近的是（ ） （参考数据：，，） A. 0.51 B. 0.69 C. 0.92 D. 1.10 10. 已知函数，其中，，.给出下列四个命题：①存在实数，，使的值域为；②存在实数，，，使有8个零点；③对于任意实数，存在，使曲线是轴对称图形；④对于任意实数，存在，使有3个极大值点.其中全部正确命题是（ ） A. ①②③ B. ②③ C. ③④ D. ②③④ 第二部分（非选择题　共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知A组：2，3，4，5；B组：，7，8，9，A组数据的平均数是______；若A，B两组数据的方差相等，则______. 12. 二项式的展开式中的常数项为________． 13. 已知等比数列的前项和为，首项与公比分别为，，则满足的一组，的取值是________，________. 14. 已知函数. ①函数的零点个数为________； ②若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则实数的取值范围是________. 15. 已知数列是单调递增的无穷数列，是单调递减的无穷数列.有以下四个结论：①存在数列和，使得；②存在数列和，使得；③对于任意无穷等差数列，总存在和使得；④对于任意无穷单调等比数列，总存在数列和数列使得.其中，所有正确结论的序号是________. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知数列是公差不为零的等差数列，，，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 17. 已知函数在时取得极小值4. （1）求实数，的值； （2）求函数在区间上的最值. 18. 某运动品牌拟推出一款青少年新品跑鞋.在前期市场调研时，从某市随机调查了名中小学生对黑、白两种颜色的新品跑鞋的购买意愿，统计数据如下（单位：人）： 颜色 小学生 初中生 高中生 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意 黑色 白色 假设所有中小学生的购买意愿相互独立，用频率估计概率. （1）从该市全体中小学生中随机抽取人，估计其愿意购买黑色新品跑鞋的概率； （2）从该市的初中生、高中生两个不同群体中各自随机抽取人，记为这人中愿意购买白色新品跑鞋的人数.求的分布列和数学期望； （3）假设该市学校内的小学生、初中生和高中生的人数之比为，从学校的全体中小学生中随机抽取人，将其愿意购买黑色新品跑鞋的概率估计值记为，试比较与（1）中的的大小.（结论不要求证明） 19. 2026年暑假国产动画电影再次掀起热潮，下图是A，B两部动画电影第一天至第十三天上映期间的综合票房（亿元）及综合票房占比.其中条形图表示综合票房占比，折线图为综合票房（亿元）. A动画影片综合票房及占比 B动画影片综合票房及占比 （1）从A动画电影上映后的十三天中随机选取一天，求该天电影综合票房超过2亿元的概率； （2）从B动画片上映后的十三天中随机选取2天，设为电影综合票房占比超过70%的天数，求的分布列及数学期望； （3）设A，B两部动画电影第一天至第十三天上映期间综合票房的平均数分别为和，方差分别为和，试比较和，和的大小（只需写出结论）. 20. 已知函数. （1）若，求在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）当时，证明：对于任意的，，均有. 21. 已知函数，是的导函数. （1）若在处的切线斜率为2，求的值； （2）若当时，恒成立，求的取值范围； （3）设在处取得最大值.直线是曲线在点处的切线，且与轴交于点，为坐标原点.是否存在点，使的面积为？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026——2027学年顺义一中高三8月月考试卷 数学 2026.8 （时间120分钟　满分150分） 本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题　共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，， 所以. 2. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，，， 又，，故B正确； 对于C，当时，符合，但，故C错误； 对于D，当时，，故D错误． 故选：B． 3. 设是等差数列的前项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列前n项和公式，结合题设条件列方程组求解首项和公差，再由通项公式计算. 【详解】设等差数列的首项为，公差为，其前项和为（）. 由化简得第一个方程： ，，代入比例式得：  ， 整理得，即 ①. 由化简得第二个方程： ， 由通项公式得，，因此： ②. 将①代入②，得，解得，代入①得. 由通项公式得. 4. 已知，且，则的最小值（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】且，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，的最小值为. 5. 已知函数满足，且，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断出函数为奇函数，再判断出函数的周期为，由此求解即可. 【详解】因为， 所以函数为奇函数， 又因为， 所以函数的周期为，且当时，， 所以. 6. 将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得到函数的图象.再将的图象向右平移个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合.则可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据函数的伸缩变换和平移变换推导得出，再逐一验证选项是否满足该恒等式即可. 【详解】将图象上点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，可得； 根据函数平移“左加右减”的规则，将向右平移个单位长度，所得函数为， 由题意该函数与重合，因此有恒等式：   选项A：，则，不满足恒等式，A错误； 选项B：，则，不满足恒等式，B错误； 选项C：，则，不满足恒等式，C错误； 选项D：，则，满足恒等式，D正确. 7. 已知函数，对于，，且，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数函数的运算性质即可判断①，利用对数函数的单调性即可判断②，利用基本不等式和对数运算即可判断③，构造函数，利用导数证明不等式即可判断④. 【详解】对于①：，故①正确； 对于②：由在单调递增，所以，故②正确； 对于③：由，又在单调递增，， 所以，故③错误； 对于④：即，不妨设， 所以，令，则， 即，所以，等价于在恒成立， 令，所以，令，所以，当时，， 所以在单调递减，所以，所以， 所以在单调递减，所以，所以， 所以，故④正确. 8. 记无穷等比数列前项的和为，若，则“公比”是“对任意，存在正整数，当时，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列前项的和公式，分别对以及两种情况进行讨论，结合充分条件以及必要条件的定义以及反证法，判断“公比”与“对任意，存在正整数，当时，”之间的关系. 【详解】当时，等比数列的前项的和为， 因为，对于任意，取正整数，当时，； 当时，等比数列的前项的和为， 对于任意，取正整数，则当时，. 故当时，对任意，存在正整数，当时，成立， 充分性成立； 若任意，存在正整数，当时，成立， 若，则，当为正偶数时，，这与题设矛盾； 若，则， 则当为正偶数时，，这也与题设矛盾； 若时，等比数列的前项的和为，同理有， 这也与题设矛盾， 综上，公比必定成立，故必要性成立. “公比”是“对任意，存在正整数，当时，”的充要条件. 9. 激活函数在神经网络中的核心作用是引入非线性变换，使神经网络能够学习和逼近复杂函数关系，从而解决线性模型无法处理的非线性问题.其中，就是一个常见的激活函数，它可以将输入的实数输出到区间上.若希望输出的值增加，即，则与的最小值最接近的是（ ） （参考数据：，，） A. 0.51 B. 0.69 C. 0.92 D. 1.10 【答案】B 【解析】 【分析】由，结合建立等式，通过变形和对数运算求出的表达式，再根据函数单调性求出其最小值. 【详解】. 因为，所以， ，， ，， 所以，. 令，则，且. 因为，所以. . 令， 则. 由，得， 当时，，所以，所以在上单调递增； 当时，，所以，所以在上单调递减. 所以在处取得极小值，即最小值，最小值为. 因此与的最小值最接近的是. 10. 已知函数，其中，，.给出下列四个命题：①存在实数，，使的值域为；②存在实数，，，使有8个零点；③对于任意实数，存在，使曲线是轴对称图形；④对于任意实数，存在，使有3个极大值点.其中全部正确命题是（ ） A. ①②③ B. ②③ C. ③④ D. ②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】举反例判断①，利用函数的性质结合函数图象判断②，对目标函数合理转化并利用轴对称的定义得到判断③，利用导数并结合零点存在性定理得到有2个极小值点，1个极大值点，进而得到的极值点情况判断④即可. 【详解】对于①，令，则，而，故①错误， 对于②，令，可得， 则，若有8个零点， 可得有4个零点， 且也有4个零点， 令，，，此时变为如下， 为， 令， 则研究与以及的交点即可， 如图，作出符合题意的图形， 此时与以及共有8个交点， 即存在实数，使有8个零点，故②正确， 对于③，令， 若曲线是轴对称图形，则是轴对称图形， 设的对称轴是，可得， 而 ， 可得，解得，故③正确， 对于④，由题意得， 当时，，当时，， 而，，， 对于任意实数，只需， 则，，， 结合零点存在性定理得存在作为零点， 且，，， 令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 可得有2个极小值点，1个极大值点， 又，所以， 有3个极大值点，故④正确. 【点睛】本题主要考查多项式函数的图像变换、函数值域、零点、对称性与极值，易忽略原函数自带零点对值域的限制，以及不理解绝对值翻折会将原函数小于零的极小值点转化为极大值点，解题要多借助图象直观分析，不能只依靠代数推导. 第二部分（非选择题　共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知A组：2，3，4，5；B组：，7，8，9，A组数据的平均数是______；若A，B两组数据的方差相等，则______. 【答案】 ①. ##3.5 ②. 6或10 【解析】 【分析】先根据平均数公式计算A组的平均数，再计算A组的方差，利用两组方差相等列方程求解的取值. 【详解】A组的平均数：. A组的方差：    . 设B组的平均数为，则. 由题意知，则  ， 整理得，即，解得或，经检验均符合要求. 12. 二项式的展开式中的常数项为________． 【答案】60 【解析】 【分析】利用展开式的通项公式，可求常数项. 【详解】展开式的通项为． 令，得，则的常数项为． 故答案为：． 13. 已知等比数列的前项和为，首项与公比分别为，，则满足的一组，的取值是________，________. 【答案】 ①. （答案不唯一）. ②. 【解析】 【分析】由等比数列的求和公式求解即可. 【详解】当时，与已知矛盾， 故, 由等比数列的求和公式可知：, 所以， 解得， 因为与无关， 故可取任意非零实数， 取（答案不唯一）. 14. 已知函数. ①函数的零点个数为________； ②若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则实数的取值范围是________. 【答案】 ①. ②. . 【解析】 【分析】①分段函数零点分段求解，注意零点要落在对应定义域内. ②方程有三个不同的根等价于直线与函数图象有个不同的交点，比较分段点处左右函数值大小，结合图象单调性得到参数范围. 【详解】①当时，若，由可得，符合题意， 若，则，即函数在上无零点； 当时，， 若，由得，符合题意， 若，则，即函数在上无零点； 当时，若，由可得，舍去； 若，由得，符合题意. 综上所述，函数的零点个数为个. ②如下图所示，当时，若要满足题意，需要，解得； 当时，， 此时函数在上单调递增，在上单调递减， 故不存在，使得关于的方程有三个不同的根； 当时，若要满足题意，需要，解得或（舍去）. 综上所述，实数的取值范围为. 15. 已知数列是单调递增的无穷数列，是单调递减的无穷数列.有以下四个结论：①存在数列和，使得；②存在数列和，使得；③对于任意无穷等差数列，总存在和使得；④对于任意无穷单调等比数列，总存在数列和数列使得.其中，所有正确结论的序号是________. 【答案】②③④ 【解析】 【分析】因递增数列与递减数列不可能对所有的正整数都相等，即可判断①；取，计算和即可判断②；设，分别取即可判断③；对无穷单调等比数列按首项正负、公比大小分四类，每类都构造出递增数列和递减满足，从而证明判断④. 【详解】对于①：假设存在单调递增数列和单调递减数列，使得， 因为递增，所以为单调递增数列；因为递减， 所以单调递减数列，递增数列与递减数列不可能对所有正整数都相等，故①错误； 对于②：构造例子：令，， 则，满足，故②正确； 对于③：设（为公差）， 取，由于且， 所以单调递增，单调递减，且，故③正确； 对于④：设无穷等比数列的公比为，首项为，所以，由于单调，则必有， 又因为单调等比数列各项同号，所以可分或两种情况, 当时： 情形一： 令，则，且为单调递增数列，为单调递减数列， 故时，总存在单调递增数列和单调递减数列使得； 情形二： 令，则，因为，，故递增； 又，故递减， 所以对于，总存在单调递增数列和单调递减数列使得； 当时： 情形一： 令，则， 因为，所以递增，递减， 所以对于，总存在单调递增数列和单调递减数列使得； 情形二： 令，则， 因为，故递增，递减， 所以对于，总存在单调递增数列和单调递减数列使得； 综上，对于任意无穷单调等比数列，总存在单调递增数列和单调递减数列使得，故④正确. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知数列是公差不为零的等差数列，，，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用，，成等比数列，运用等比中项建立方程，求出公差，得到数列的通项公式； （2）数列拆分为等差数列与等比数列，分组求和分别计算两部分再相加，得到数列的前项和. 【小问1详解】 设等差数列公差为，， 所以，，， 因为，，成等比数列，所以， 即，解得：或（舍）， 因为，所以， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 17. 已知函数在时取得极小值4. （1）求实数，的值； （2）求函数在区间上的最值. 【答案】（1）， （2）最大值为，最小值为 【解析】 【小问1详解】 由得，， 因为函数在时取得极小值4，所以，即，解得. 【小问2详解】 由（1）题知，，令，得，， 令，得或，所以在上单调递增， 令，得，所以在上单调递减，如图所示， 因为，，，， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 18. 某运动品牌拟推出一款青少年新品跑鞋.在前期市场调研时，从某市随机调查了名中小学生对黑、白两种颜色的新品跑鞋的购买意愿，统计数据如下（单位：人）： 颜色 小学生 初中生 高中生 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意 黑色 白色 假设所有中小学生的购买意愿相互独立，用频率估计概率. （1）从该市全体中小学生中随机抽取人，估计其愿意购买黑色新品跑鞋的概率； （2）从该市的初中生、高中生两个不同群体中各自随机抽取人，记为这人中愿意购买白色新品跑鞋的人数.求的分布列和数学期望； （3）假设该市学校内的小学生、初中生和高中生的人数之比为，从学校的全体中小学生中随机抽取人，将其愿意购买黑色新品跑鞋的概率估计值记为，试比较与（1）中的的大小.（结论不要求证明） 【答案】（1） （2）的分布列为： 期望为 （3） 【解析】 【分析】（1）统计愿意购买黑色跑鞋的总人数，用频率估计概率得； （2）先求初中生、高中生愿意购买白色跑鞋的概率，确定的所有可能取值，计算各取值对应概率得到分布列，再计算数学期望； （3）计算各学段愿意购买黑色跑鞋的概率，结合人数权重计算后比较与的大小. 【小问1详解】 由表格数据可知，名被调查学生中愿意购买黑色新品跑鞋的人数为， 用频率估计概率，可得. 【小问2详解】 用频率估计概率：从初中生中随机抽取人，愿意购买白色新品跑鞋的概率为； 从高中生中随机抽取人，愿意购买白色新品跑鞋的概率为. 由题意的可能取值为、、，且两人购买意愿相互独立. ， ，. 因此的分布列为 数学期望. 【小问3详解】 各学段愿意购买黑色新品跑鞋的概率分别为： 小学生：，初中生：，高中生：. 又该市学校内的小学生、初中生和高中生的人数之比为， 所以，而，故. 19. 2026年暑假国产动画电影再次掀起热潮，下图是A，B两部动画电影第一天至第十三天上映期间的综合票房（亿元）及综合票房占比.其中条形图表示综合票房占比，折线图为综合票房（亿元）. A动画影片综合票房及占比 B动画影片综合票房及占比 （1）从A动画电影上映后的十三天中随机选取一天，求该天电影综合票房超过2亿元的概率； （2）从B动画片上映后的十三天中随机选取2天，设为电影综合票房占比超过70%的天数，求的分布列及数学期望； （3）设A，B两部动画电影第一天至第十三天上映期间综合票房的平均数分别为和，方差分别为和，试比较和，和的大小（只需写出结论）. 【答案】（1）； （2）分布列如下： 0 1 2 ； （3），. 【解析】 【分析】（1）数据中有6天电影综合票房超过2亿元，从而得到概率； （2）求出的可能取值和对应的概率，得到分布列和数学期望； （3）计算出两部电影的票房数据平均数，并根据图形中数据的波动情况，得到方差的大小关系 【小问1详解】 从A动画电影上映后的13天中，有6天电影综合票房超过2亿元， 故该天电影综合票房超过2亿元的概率为； 【小问2详解】 B动画片上映后的13天中，超过70%的天数有7天， 故的可能取值为0,1,2， 则，，， 所以的分布列如下： 0 1 2 则； 【小问3详解】 ， ， 所以， 由图可知，A动画电影综合票房数据中，除个别数据外大小变化幅度较小，所以. 20. 已知函数. （1）若，求在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）当时，证明：对于任意的，，均有. 【答案】（1） （2）若，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 若，则在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减. （3） 因为，所以对于任意的，， 等价于. 由（2）得，. 令， 则 当时，，所以， 所以，单调递增，即在上单调递增. 令，则. 因为，所以，所以，即. 所以是增函数. 所以，即， 即 故原命题得证. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，求得在处的切线的斜率，从而求得相应的切线方程； （2）令，得或，通过讨论与的大小关系，分析的正负，从而得到的单调性； （3）因为，所以对于任意的，，等价于.令，利用导数可得单调递增，即在上单调递增；令，利用导数可证是增函数，从而得，即 【小问1详解】 若，则，所以. ， 所以在处的切线的斜率为， 所以在处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 函数的定义域为， . 令，得或. 若，则， 所以当或时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 若，则， 所以当或时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，若，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 若，则在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 略 21. 已知函数，是的导函数. （1）若在处的切线斜率为2，求的值； （2）若当时，恒成立，求的取值范围； （3）设在处取得最大值.直线是曲线在点处的切线，且与轴交于点，为坐标原点.是否存在点，使的面积为？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） （3）不存在满足条件的点. 由题意知，令，所以， 因为在处取得最大值，即在处取得最大值， 所以，得，所以， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 故在处取到极大值，也是最大值，即在处取得最大值， 故满足题意，所以，， 因为直线是曲线在点处的切线， 所以切线斜率为， 由点斜式方程得切线方程：， 令，代入切线方程可得， 故，所以， 令，所以， 当时，，所以在上单调递增， 故，故，所以， 令，即， 因为当时，，故，故方程无解，因此不存在满足条件的点. 【解析】 【分析】（1）利用导数几何意义，将代入导函数，由切线斜率列方程即可求解； （2）先分离参数，再构造新函数求导研究单调性，通过零点存在定理确定极大值点，求出函数的最小值即可求出的取值范围； （3）先利用极值必要条件求出并进行验证满足题意，再写出切线方程求出，建立面积的方程，借助函数单调性即可判定方程无解. 【小问1详解】 因为， 由题意得，代入得：，解得. 【小问2详解】 当时，恒成立，即，整理得， 设，则， 设，则，所以在上单调递减， 又因为， 所以存在唯一，使得， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 又因为，当时，，故，因此，即. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $