第二章一元二次函数、方程和不等式 知识清单（默写）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学知识清单聚焦人教版必修一第二章《一元二次函数、方程和不等式》，涵盖等式与不等式性质、基本不等式、二次函数及方程不等式等核心内容，搭建从概念理解到方法应用再到解题实践的递进式学习支架。 清单采用填空与背诵双版本设计，分类梳理知识点，标注高频易错点如“a不小于b”的不等式表述，分解作差法四步骤培养数学思维。通过“1的代换”技巧、二次函数闭区间最值分析等实用设计，帮助学生系统掌握知识，教师可利用其进行针对性教学，提升学习效率。

人教版高中数学必修一 第二章《一元二次函数、方程和不等式》核心知识点默写填空 本资料分为填空默写与背诵版。填空版用于每日打卡自测默写，背诵版方便日常理解记忆； 背诵版同时充当标准答案，学记结合，高效巩固本章知识点。 【填空版】 班级： 姓名： 日期： 知识点每日默写小纸条 等式与不等式的性质 1.我们用不等号 >， ， ， ，≤来表示不等关系。 （1）不等式 a≥b 的含义：a b 或者 a b； （2）不等式 a≤b 的含义：a b 或者 a b。 2.实数大小比较的依据： (1) a−b>0 ⇔ ； (2) a−b=0 ⇔ ； (3) a−b<0 ⇔ b。 3.作差比较法的解题四步骤： ①第一步： ；②第二步： ；③第三步：判断差的 ；④第四步：得出结论。 4.拓展：当两个代数式作差之后得到二次式，经常需要进行 变形，从而快速判断正负。 比较大小：已知 a>2，b>1，则a−b的正负 （能/不能）直接确定。 5.高频易错：①“a 不小于 b” 翻译成不等式是 ；不要误写成 a>b； ②“a 至多为 5” 翻译成不等式 ；“b 至少为-2” 翻译成不等式 ； ③作差法最后判断符号时，结果的正负和减数/被减数顺序 （有关/无关）。 ★练习：①比较大小：(x+3)(x+5) (x+4)²（填 >，<，=）； ②若a−3>0，则a的取值范围 。③作差比较：(a+2)(a-5) (a+1)(a-4)（填>，<，=）。 知识点每日默写小纸条 6.性质 1（对称性）：如果 a>b，那么 ； 7.性质 2（传递性）：如果 a>b，b>c，那么 ； 8.性质 3（可加性）：如果 a>b，那么 a+c> ； 推论：a>b，c>d ⇒ > ； 9.性质 4（可乘性）：如果 a>b，c>0，则 ac> ； 如果 a>b，c<0，则 < ； 10.性质 5（同向可乘）：a>b>0，c>d>0 ⇒ ac bd（填 >，<，=）； 11.性质 6（乘方性质）：a>b>0，n∈N* ⇒ ； 12.性质 7（开方性质）：a>b>0，n∈N* ⇒ ； 13.倒数性质：若 a>b，ab>0，则 。 拓展：不等式两边同时乘一个数的时候，必须先判断这个数的 ，符号正负 （相同/不同），不等号方向变化不一样。 ★易错：①a>b ⇒ ac>bc，该推导 （一定成立 / 不一定成立），缺少 条件。 ②只有两个不等式同为 向不等式（同/不同），才能够直接相加；不能一左一右相加。 练习：若-2<a<3，1<b<2，则 a+b 的取值范围： 。 等式与不等式的性质 1.重要不等式：∀ a,b∈R，有 a2+b2≥ ；当且仅当 时，等号成立。 2.基本不等式：如果 a>0，b>0，那么 ；当且仅当 时，等号成立。 ① 叫做正数 a，b 的 平均数； 叫做正数 a,b 的 平均数。 ②基本不等式文字表述：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数。 拓展：基本不等式使用的两个前提条件： ， ，也就是常说的一正。 3.由基本不等式变形： ≤（a>0，b>0）。 ★易错：重要不等式 a2+b2≥2ab，a,b （需要/不需要）大于 0；范围是 。 练习：①a>0,b>0，若 a+b=6，则 ab 的最大值为 ； ②已知 a>0，则 a+ ≥ ； ③实数 m,n，则 m²+4n² ≥ ；当且仅当 时取等号； ④若 a>0,b>0，ab=16，则a+b的最小值为 。 知识点每日默写小纸条 基本不等式 知识点每日默写小纸条 4.和定积最大：当 a>0,b>0，a+b=S（S 为定值），则 ab ≤ ； 当且仅当 a=b 时，ab 取得最大值 。 5.积定和最小：当 a>0,b>0，ab=P（P 为定值），则 a+b ≥ ； 当且仅当 a=b 时，a+b 取得最小值 。 6.如果等号取不到，则 （可以/不可以）用基本不等式求出最值。 7.最值问题如果 x<0，要先提取负号，构造出大于 的正数，再用基本不等式。 8.同一个式子多次连续使用基本不等式，必须保证每一次的 条件能够同时成立。 练习：①已知 x<0，则 y=x+ 的最大值为 ； ②已知 0<x<4，则 x (8-2x) 的最大值 ； ③已知 x>3，求y= x + 的最小值 ，此时 x= ； ④若 a>0,b>0，a+b=10，则ab最大值= ； ⑤若a>0,b>0，ab=9，则a+b最小值= 。 基本不等式 知识点每日默写小纸条 9.“1” 的代换核心思路：已知条件给出 a+b=1，求 + 的最小值，将 乘以 ， 展开后构造出可以使用基本不等式的结构。 10.使用 “1的代换”，前提仍然保证参与运算的变量 。 11.实际问题解题步骤： ①设出变量；②根据题意列出 关系式； ③利用基本不等式求解 ；④检验 条件，写出答案。 注意：实际应用题求出结果后，必须检验自变量取值 是否符合题意。 12.常见实际题型：周长一定，求矩形面积最 ；面积一定求周长最 。 ★1的代换展开之后，不要急于约分，必须出现“积为 ” 的两项，才能够使用基本不等式。 练习：①已知 a>0，b>0，a+b=1，则 + 的最小值 ； ②用篱笆围一块面积为100m2的矩形菜园，矩形菜园长、宽各 m时，篱笆总长最短。 ③一个矩形周长为 16，则矩形面积最大值为 ；④某工厂要制作一个无盖长方体盒子， 底面积固定36，底面长、宽为正数，则底面周长最小值为 。 基本不等式 1.二次函数一般式： ，其中a≠0；定义域为R（全体实数）。 2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，对称轴直线方程：x= ；顶点坐标 。 3.开口方向：a>0，抛物线开口向 ；a<0，抛物线开口向 。 4.单调性（对称轴分界） ① a>0：区间(-∞, - ]函数单调 ；区间[ ,+∞)函数单调 ； ② a<0：区间(-∞, - ]函数单调 ；区间[ ,+∞)函数单调 。 拓展:①二次函数图象是一条抛物线；抛物线关于 对称。 ②如果抛物线上两点 （横/纵）坐标相等，则两点关于对称轴对称。 ③二次函数 y=ax2+bx+c，|a| 越大，抛物线开口越 ；|a| 越小开口越 。 ★易错：①判断二次函数单调性，必须以 作为分界点；不能直接说函数在全体实数单调 递增或递减。②y=3x2-6x，对称轴为x=1；单调递减区间 ；③已知二次函数图像过两点(2,5) (6,5)，此函数对称轴直线 ；④二次函数 y=-x2+2x-1，开口向下，顶点坐标 。 知识点每日默写小纸条 二次函数与一元二次方程、不等式 知识点每日默写小纸条 5.二次函数3 种解析式： ①一般式： （a≠0）；已知函数图象上任意 个点适合选用。 ②顶点式： （a≠0）；已知顶点坐标 优先选用； ③交点式： （a≠0）；已知抛物线与 x 轴两个交点 , 选用。 6.二次函数在全体实数上的最值： ①a>0，x=- 时，函数取得最 值，无最 值； ②a<0，x=- 时，函数取得最 值，无最 值。 拓展：求闭区间 [m,n] 上二次函数最值， 7.核心判断： 是否落在区间 [m,n] 之内；若对称轴在区间外，则最值出现在区间的 。 ★易错：①二次函数闭区间最值，一定要画图分析对称轴位置；不要直接默认最值一定取在顶点。②求参数类题目，已知函数过某一点，直接把点坐标 列方程求解。 练习：y=2x²-4x-1，x∈[2,4]，最小值 ，最大值 。 二次函数与一元二次方程、不等式 知识点每日默写小纸条 8.一元二次不等式定义：含有 个未知数，并且未知数最高次数是 的不等式。 9.解一元二次不等式 ax2+bx+c>0（a>0）的步骤： ①第一步：解方程 ax2+bx+c=0，求出方程的 ； ②第二步画出二次函数 y=ax²+bx+c 的草图； ③第三步根据图象写出不等式 。 10.Δ=b2−4ac，判别式三种情况： ①Δ>0，方程有 的两个实数根；②Δ=0，方程有 的实数根；③Δ<0，方程没有实数根。 易错：①解一元二次不等式，第一步必须先保证二次项系数 a>0；小于0要两边同乘 ，同时改变 ；②“恒成立” 和 “有解” （是/不是）同一个概念，解题条件不一样。 ★练习：①解不等式 x2−3x+2>0，解集： ； ②若不等式 x2+ax+1>0 对一切 x∈R 恒成立，则实数 a 取值范围 ； ③已知一元二次方程 x²-(m+2) x+2m=0 两根为1和2，则不等式x2-(m+2) x+2m <0 解集 。 二次函数与一元二次方程、不等式 【背诵版】 知识点每日记忆小纸条 等式与不等式的性质 1.我们用不等号 >，<，≠，≥，≤来表示不等关系。 （1）不等式 a≥b 的含义：a 大于 b 或者 a 等于 b； （2）不等式 a≤b 的含义：a 小于 b 或者 a 等于 b。 2.实数大小比较的依据： (1) a−b>0 ⇔ a>b； (2) a−b=0 ⇔ a=b； (3) a−b<0 ⇔ a<b。 3.作差比较法的解题四步骤： ①第一步：作差；②第二步：变形；③第三步：判断差的正负符号；④第四步：得出结论。 4.拓展：当两个代数式作差之后得到二次式，经常需要进行配方变形，从而快速判断正负。 比较大小：已知 a>2，b>1，则a−b的正负不能（能/不能）直接确定。 5.高频易错：①“a 不小于 b” 翻译成不等式是a≥b；不要误写成 a>b； ②“a 至多为 5” 翻译成不等式a≤5；“b 至少为-2” 翻译成不等式b≥−2； ③作差法最后判断符号时，结果的正负和减数/被减数顺序无关（有关/无关）。 ★练习：①比较大小：(x+3)(x+5) < (x+4)²（填 >，<，=）； 若a−3>0，则a的取值范围a＞3。③作差比较：(a+2)(a-5)<(a+1)(a-4)（填 >，<，=）。 知识点每日记忆小纸条 6.性质 1（对称性）：如果 a>b，那么b<a； 7.性质 2（传递性）：如果 a>b，b>c，那么a>c； 8.性质 3（可加性）：如果 a>b，那么 a+c>b+c； 推论：a>b，c>d ⇒ a+c>b+d； 9.性质 4（可乘性）：如果 a>b，c>0，则 ac>bc； 如果 a>b，c<0，则 ac<bc； 10.性质 5（同向可乘）：a>b>0，c>d>0 ⇒ ac>bd（填 >，<，=）； 11.性质 6（乘方性质）：a>b>0，n∈N* ⇒ aⁿ> bⁿ； 12.性质 7（开方性质）：a>b>0，n∈N* ⇒ > ； 13.倒数性质：若 a>b，ab>0，则 <。 拓展：不等式两边同时乘一个数的时候，必须先判断这个数的正负符号，符号正负不同（相同/不同），不等号方向变化不一样。 ★易错：①a>b ⇒ ac>bc，该推导不一定成立（一定成立 / 不一定成立），缺少c>0条件。 ②只有两个不等式同为同向不等式（同/不同），才能够直接相加；不能一左一右相加。 练习：若-2<a<3，1<b<2，则 a+b 的取值范围：1＜a+b＜5。 等式与不等式的性质 1.重要不等式：∀ a,b∈R，有 a2+b2≥2ab；当且仅当a=b时，等号成立。 2.基本不等式：如果 a>0，b>0，那么 ≥ ；当且仅当a=b时，等号成立。 ① 叫做正数 a，b 的算术平均数； 叫做正数 a,b 的几何平均数。 ②基本不等式文字表述：两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。 拓展：基本不等式使用的两个前提条件：a>0，b>0，也就是常说的一正。 3.由基本不等式变形：ab ≤（a>0，b>0）。 ★易错：重要不等式 a2+b2≥2ab，a,b不需要（需要/不需要）大于 0；范围是全体实数。 练习：①a>0,b>0，若 a+b=6，则 ab 的最大值为9；②已知 a>0，则 a+ ≥6； ③实数 m,n，则 m²+4n² ≥4mn；当且仅当m=2n时取等号； ④若 a>0,b>0，ab=16，则a+b的最小值为8 。 知识点每日记忆小纸条 基本不等式 知识点每日记忆小纸条 4.和定积最大：当 a>0,b>0，a+b=S（S 为定值），则 ab ≤； 当且仅当 a=b 时，ab 取得最大值 。 5.积定和最小：当 a>0,b>0，ab=P（P 为定值），则 a+b ≥2； 当且仅当 a=b 时，a+b 取得最小值2。 6.如果等号取不到，则不可以（可以/不可以）用基本不等式求出最值。 7.最值问题如果 x<0，要先提取负号，构造出大于 0的正数，再用基本不等式。 8.同一个式子多次连续使用基本不等式，必须保证每一次的等号成立条件能够同时成立。 练习：①已知 x<0，则 y=x+ 的最大值为-2； ②已知 0<x<4，则 x (8-2x) 的最大值8； ③已知 x>3，求y= x + 的最小值5，此时 x=4； ④若 a>0,b>0，a+b=10，则ab最大值=25；⑤若a>0,b>0，ab=9，则a+b最小值=6。 基本不等式 知识点每日记忆小纸条 9.“1” 的代换核心思路：已知条件给出 a+b=1，求 + 的最小值，将 + 乘以(a+b)， 展开后构造出可以使用基本不等式的结构。 10.使用 “1的代换”，前提仍然保证参与运算的变量大于 0。 11.实际问题解题步骤： ①设出变量；②根据题意列出函数关系式； ③利用基本不等式求解最值；④检验等号成立条件，写出答案。 注意：实际应用题求出结果后，必须检验自变量取值范围是否符合题意。 12.常见实际题型：周长一定，求矩形面积最大；面积一定求周长最小。 ★1的代换展开之后，不要急于约分，必须出现“积为定值” 的两项，才能够使用基本不等式。 练习：①已知 a>0，b>0，a+b=1，则 + 的最小值5+2； ②用篱笆围一块面积为100m2的矩形菜园，矩形菜园长、宽各10m时，篱笆总长最短。 ③一个矩形周长为 16，则矩形面积最大值为16；④某工厂要制作一个无盖长方体盒子， 底面积固定36，底面长、宽为正数，则底面周长最小值为24。 基本不等式 1.二次函数一般式：y=ax2+bx+c，其中a≠0；定义域为R（全体实数）。 2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，对称轴直线方程：x= - ；顶点坐标（- ，）。 3.开口方向：a>0，抛物线开口向上；a<0，抛物线开口向下。 4.单调性（对称轴分界） ① a>0：区间(-∞, - ]函数单调递减；区间[ ,+∞)函数单调递增； ② a<0：区间(-∞, - ]函数单调递增；区间[ ,+∞)函数单调递减。 拓展:①二次函数图象是一条抛物线；抛物线关于对称轴对称。 ②如果抛物线上两点纵（横/纵）坐标相等，则两点关于对称轴对称。 ③二次函数 y=ax2+bx+c，|a| 越大，抛物线开口越窄；|a| 越小开口越宽。 ★易错：①判断二次函数单调性，必须以对称轴作为分界点；不能直接说函数在全体实数单调 递增或递减。②y=3x2-6x，对称轴为x=1；单调递减区间(-∞,1]；③已知二次函数图像过两点(2,5) (6,5)，此函数对称轴直线x=4；④二次函数 y=-x2+2x-1，开口向下，顶点坐标(1,0)。 知识点每日记忆小纸条 二次函数与一元二次方程、不等式 知识点每日记忆小纸条 5.二次函数3 种解析式： ①一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）；已知函数图象上任意 3 个点适合选用。 ②顶点式：y=a(x−h)2+k（a≠0）；已知顶点坐标 (h,k) 优先选用； ③交点式：y=a(x−x1)(x−x2)（a≠0）；已知抛物线与 x 轴两个交点(x1,0),(x2,0)选用。 6.二次函数在全体实数上的最值： ①a>0，x=- 时，函数取得最小值，无最大值； ②a<0，x=- 时，函数取得最大值，无最小值。 拓展：求闭区间 [m,n] 上二次函数最值， 7.核心判断：对称轴是否落在区间 [m,n] 之内；若对称轴在区间外，则最值出现在区间的端点。 ★易错：①二次函数闭区间最值，一定要画图分析对称轴位置；不要直接默认最值一定取在顶点。②求参数类题目，已知函数过某一点，直接把点坐标代入解析式列方程求解。 练习：y=2x²-4x-1，x∈[2,4]，最小值-1，最大值15。 二次函数与一元二次方程、不等式 知识点每日记忆小纸条 8.一元二次不等式定义：含有1个未知数，并且未知数最高次数是2的不等式。 9.解一元二次不等式 ax2+bx+c>0（a>0）的步骤： ①第一步：解方程 ax2+bx+c=0，求出方程的实数根； ②第二步画出二次函数 y=ax²+bx+c 的草图； ③第三步根据图象写出不等式解集。 10.Δ=b2−4ac，判别式三种情况： ①Δ>0，方程有不相等的两个实数根；②Δ=0，方程有两个相等的实数根；③Δ<0，方程没有实数根。 易错：①解一元二次不等式，第一步必须先保证二次项系数 a>0；小于0要两边同乘−1，同时改变不等号方向；②“恒成立” 和 “有解”不是（是/不是）同一个概念，解题条件不一样。 ★练习：①解不等式 x2−3x+2>0，解集：{x|x<1 或 x>2}； ②若不等式 x2+ax+1>0 对一切 x∈R 恒成立，则实数 a 取值范围-2<a<2； ③已知一元二次方程 x²-(m+2) x+2m=0 两根为1和2，则不等式x2-(m+2) x+2m <0 解集{x|1<x<2}。 二次函数与一元二次方程、不等式 学科网（北京）股份有限公司 $