第17课时 3.1.1.2函数的概念导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦“函数的概念及其表示”第一课时，核心涵盖区间表示数集、函数定义域（解析式与抽象函数）、函数值计算及同一函数判定。课堂导入可通过复习初中函数概念，结合区间概念引入，搭建从具体数集到抽象区间表示的学习支架，衔接前后知识。 资料特色为分层跟踪训练（基础、能力、拓展）适配不同学生，典例精析分题型并附反思与方法总结，强化数学抽象（区间理解、同一函数判定）和数学运算（定义域、函数值求解）素养，培养逻辑思维，提升自主学习能力，便于教师差异化教学。

3.1函数的概念及其表示 3.1.1函数的概念 第一课时函数的概念 【学习目标】 ①会判断两个函数是否为同一个函数； ②能正确使用区间表示数集； ③会求一些简单函数的定义域与函数值； ④通过对区间概念的理解，判断两个函数为同一函数，提升数学抽象素养； ⑤通过求一些简单函数的函数值，提升直观想象、数学运算素养. 【学习重点】 掌握区间表示数集的规则，能根据解析式、抽象复合函数两类题型求定义域，会计算函数值，并依据定义域与对应关系判断两个函数是否为同一函数。 【学习难点】 理解抽象复合函数定义域中“自变量仅指、同一下括号内整体取值范围不变”的核心逻辑，区分化简前后函数定义域变化，准确辨析易混淆的同一函数判定题型. 一、核心知识梳理（必背必会） 1.区间的概念 （1）一般区间的表示 设，且，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半闭半开区间 半开半闭区间 （2）特殊区间的表示 定义 符号 数轴表示 2.求函数定义域的注意事项 （1）分式的分母不为0； （2）偶次根式的被开方数大于等于0； （3）零次幂的底数不为0； （4）实际问题对自变量的限制； （5）若函数由几个式子构成，求其定义域时要满足各个式子都有意义. 3.函数相等的判定 由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域.因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这来个函数是同一个函数. 两个函数如果仅有对应关系相同，但定义域不同，那么它们不是同一个函数. 二、典例精析 题型1 用区间表示集合 例1．将下列集合用区间表示出来： (1)； (2)或； (3)且； (4). 思路分析：用区间表示集合，核心是分清开区间、闭区间，不含端点用圆括号，包含端点用方括号；多个不连续部分用∪连接；挖去单点时拆成两段区间. 规范解答：(1)用区间表示为； (2)或用区间表示为； (3)且用区间表示为； (4)用区间表示为. 反思领悟：用区间表示数集的关键点 （1）区间左端点值小于右端点值； （2）区间两端点之间用“，”隔开； （3）含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号； （3）以“”“”为区间的一端时，这端必须用小括号. 题型2 求函数的定义域 类型1 已知解析式求函数定义域 例2．求下列函数的定义域： (1) (2)； (3) (4)； 思路分析：求函数定义域，就是找使函数表达式有意义的x取值集合；多个限制条件同时成立，列不等式组，取各个条件解集的交集. 规范解答： （1）要使函数式有意义，则，解得， 所以原函数的定义域为． （2）要使函数式有意义，则，解得， 所以原函数的定义域为． （3）要使函数有意义，则，解得且， 所以函数的定义域为． （4）要使函数有意义，则，解得且， 所以函数的定义域是. 反思领悟：求函数的定义域应关注三点 （1）要明确使各函数有意义的条件是什么，关键是三种情形：①分式分母不为0；②偶次根式被开方数非负；③零次幂的底数不为0； （2）不对解析式化简变形，以免定义域变化； （3）当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合. 类型2 求抽象函数的定义域 例3．（1）已知函数的定义域为，求的定义域； （2）已知函数的定义域为，求的定义域. 思路分析：由两个原则”定义域指的取值范围””对同一个，括号内整体的取值范围不变”分析求解. 规范解答： （1）的定义域为， 要使有意义，须使，即或， 函数的定义域为{，或}. （2）的定义域为，即其中的函数自变量的取值范围是， 令，，的定义域为， 函数的定义域为. 方法总结： （1）若已知函数的定义域为，则复合函数的定义域有不等式求出； （2）若已知函数的定义域为，则的定义域为在时的值域. 题型3 求函数值或自变量的值 例4．已知函数，求： (1)、的值； (2)当时，的值. 思路分析： （1）就是把解析式中的替换成进行代入计算； （2）已知函数值求自变量，则把函数解析式等于给定数值，解方程求出. 规范解答： （1）令时，得：， 令时，得：， 因此，，. （2）由，得：，解得：， 因此，当 时，. 方法总结： （1）求函数值：将解析式中所有全部替换成，按代数式运算规则计算。 （2）已知求：把函数表达式等于，解关于的方程. （3）已知与，求的值应遵循由里往外的原则. 题型4 判断同一函数 例5．试判断下列各组函数是否表示同一个函数． （1）与； （2）与； （3）与； （4），与，. 思路分析：先求定义域，再判断对应法则；只要定义域不同，直接判定不是同一函数；定义域相同再化简比较解析式. 规范解答： （1）函数，定义域为，而函数的定义域为，定义域不同，所以它们不是同一个函数； （2）因为，，对应关系不同，所以它们不是同一个函数． （3）因为定义域为，，两个函数的对应关系、定义域均相同，所以它们是同一个函数； （4）因为，，，，两个函数的对应关系不同，所以它们不是同一个函数． 反思领悟：判断两个函数是否为同一个函数的步骤： （1）求定义域：不对解析式变形，直接根据限制条件求解定义域； （2）看对应关系：将解析式化简，比较对应关系是否一致； （3）结论：定义域不同，两函数不同；对应关系不同，两函数不同;定义域相同，对应关系相同，两函数相同. 三、分层跟踪训练 【基础过关】（全员必做） 1．区间对应的不等式是（   ） A． B． C． D． 答案：A 解析：根据区间表示括号的意义可知区间对应的不等式是， 故选：A. 2．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 答案：C 解析：集合，，则． 3．若函数，，则（    ） A．10 B．9 C．8 D．6 答案：A 解析：因为，所以，又，所以. 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 答案：C 解析：函数的定义域为，则，所以函数的定义域为； 若函数有意义，则，解得． 则函数的定义域为. 5．函数 的定义域为（ ） A． B． C． D． 答案：B 解析：要使函数有意义，则， 所以函数定义域为. 6．下列表示为同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 答案：B 解析：对于A：函数的定义域为R，函数的定义域为，A错误； 对于B：函数与的定义域都为R，且对应法则相同，B正确； 对于C：函数的值域为，函数的值域为R，C错误； 对于D：函数的定义域为R，函数的定义域为，D错误. 故选：B 7．函数的定义域是________ 答案： 解析：要使函数有意义，需同时满足以下条件： ，，解得且. 因此函数的定义域为. 8．求下列函数的定义域： (1)； (2)已知函数的定义域为，则函数的定义域. 解析：（1）要使函数有意义，只需，解得：或且 所以函数定义域为且或. （2）由题意知，所以，即的定义域为， 所以，解得. 故函数的定义域是. 【能力提升】（多数必做） 8．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 答案：A 解析：函数的定义域为，当时，， 则函数的定义域为，在函数中，， 解得且，所以函数的定义域为. 故选：A 9．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 答案：A 解析：由题意可知，或，又， 则. 故选：A 10．不等式的解集用区间表示为__________. 答案： 解析：由得，即， 即，得， 故不等式的解集为. 故答案为： 11．设函数定义域为集合，值域为集合，函数，集合. (1)求A，B； (2)若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围． 解析：（1）由，解得， 所以， 由， 所以． （2）因为“”是“”充分不必要条件， 所以且， 由，可得， 所以，即， 当时，与题意不符， 所以实数的取值范围为. 12．设函数. (1)若的定义域为，求实数的值； (2)若，，且，求的最大值. 解析：（1）因为的定义域为，所以关于的不等式的解集为， 所以和是方程的两根，且，根据韦达定理， 可得，解得. （2）因为，所以，整理得. 又，，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最大值为24. 【拓展拔高】（学有余力选做） 13．已知函数对任意实数，，都有成立. (1)求和的值； (2)若，，求的值. 解析：（1）因函数对任意实数，，都有成立， 则取得：，解得， 取得：，解得， 所以，. （2）因函数对任意实数，，都有成立，且，， 则， 所以. 四、课时小结 (1) 核心概念：区间表示数集；具体函数定义域求解；抽象函数定义域求解；函数值的计算；同一函数的判定； (2) 工具：区间、集合、不等式组；解方程；转化与化归思想； (3) 解题核心：具体函数定义域抓住根式、分式、零次幂的限制条件取不等式组交集；抽象函数定义域牢记定义域指的范围，同一括号内整体取值不变；同一函数判定需定义域与对应关系均相同，注意分式化简前后定义域变化. 五、课后反思 错题记录： 薄弱点记录： 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1函数的概念及其表示 3.1.1函数的概念 第一课时函数的概念 【学习目标】 ①会判断两个函数是否为同一个函数； ②能正确使用区间表示数集； ③会求一些简单函数的定义域与函数值； ④通过对区间概念的理解，判断两个函数为同一函数，提升数学抽象素养； ⑤通过求一些简单函数的函数值，提升直观想象、数学运算素养. 【学习重点】 掌握区间表示数集的规则，能根据解析式、抽象复合函数两类题型求定义域，会计算函数值，并依据定义域与对应关系判断两个函数是否为同一函数。 【学习难点】 理解抽象复合函数定义域中“自变量仅指、同一下括号内整体取值范围不变”的核心逻辑，区分化简前后函数定义域变化，准确辨析易混淆的同一函数判定题型. 一、核心知识梳理（必背必会） 1.区间的概念 （1）一般区间的表示 设，且，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 ________ 开区间 ________ 半闭半开区间 ________ 半开半闭区间 ________ （2）特殊区间的表示 定义 符号 数轴表示 ________ ________ ________ ________ ________ 2.求函数定义域的注意事项 （1）分式的分母______； （2）偶次根式的被开方数__________； （3）零次幂的底数______； （4）实际问题对自变量的限制； （5）若函数由几个式子构成，求其定义域时要满足________都有意义. 3.函数相等的判定 由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域.因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域____，并且对应关系________，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这来个函数是同一个函数. 两个函数如果仅有对应关系相同，但定义域不同，那么它们不是同一个函数. 二、典例精析 题型1 用区间表示集合 例1．将下列集合用区间表示出来： (1)； (2)或； (3)且； (4). 反思领悟：用区间表示数集的关键点 题型2 求函数的定义域 类型1 已知解析式求函数定义域 例2．求下列函数的定义域： (1) (2)； (3) (4)； 反思领悟：求函数的定义域应关注三点 类型2 求抽象函数的定义域 例3．（1）已知函数的定义域为，求的定义域； （2）已知函数的定义域为，求的定义域. 方法总结： 题型3 求函数值或自变量的值 例4．已知函数，求： (1)、的值； (2)当时，的值. 方法总结： 题型4 判断同一函数 例5．试判断下列各组函数是否表示同一个函数． （1）与； （2）与； （3）与； （4），与，. 反思领悟：判断两个函数是否为同一个函数的步骤： 三、分层跟踪训练 【基础过关】（全员必做） 1．区间对应的不等式是（   ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 3．若函数，，则（    ） A．10 B．9 C．8 D．6 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．函数 的定义域为（ ） A． B． C． D． 6．下列表示为同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 7．函数的定义域是________ 8．求下列函数的定义域： (1)； (2)已知函数的定义域为，则函数的定义域. 【能力提升】（多数必做） 8．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 9．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 10．不等式的解集用区间表示为__________. 11．设函数定义域为集合，值域为集合，函数，集合. (1)求A，B； (2)若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围． 12．设函数. (1)若的定义域为，求实数的值； (2)若，，且，求的最大值. 【拓展拔高】（学有余力选做） 13．已知函数对任意实数，，都有成立. (1)求和的值； (2)若，，求的值. 四、课时小结 五、课后反思 错题记录： 薄弱点记录： 学科网（北京）股份有限公司 $