第一章 集合与常用逻辑用语知识清单-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学知识清单系统梳理了集合与常用逻辑用语知识体系。从集合的含义与表示出发，明确元素特性与表示方法，进而掌握集合间的关系及运算，最后过渡到充分条件、必要条件与量词的逻辑用语，形成递进的学习支架。 知识链路按教材节次清晰呈现，标注重点难点易错点并配表格对比。通过明确概念内涵与逻辑联系，帮助学生用数学眼光抽象研究对象，用数学思维构建逻辑体系，培养数学语言表达与推理论证能力，适合课前预习与单元复习。

第一章　集合与常用逻辑用语 人教版A版·高中数学·必修第一册　知识点清单（纯知识点，不含习题） 说明：本清单按教材节次梳理核心知识点，标注【重点】【难点】【易错】，适合课前预习与单元复习。 1.1　集合的概念 一、元素与集合 ▪ 集合：把一些确定的、互不相同的对象看作一个整体，这个整体叫做集合（简称集）。 ▪ 元素：集合中的每一个对象都叫做这个集合的元素。 ▪ 表示约定：集合通常用大写拉丁字母 A,B,C… 表示；元素通常用小写拉丁字母 a,b,c… 表示。 【重点】元素的三个特性（判断“能否构成集合”的依据）： ▪ 确定性：给定一个集合，任何一个对象是否属于它都是确定的（如“较大的数”不能构成集合）。 ▪ 互异性：集合中的元素互不重复，相同元素只算一个。 ▪ 无序性：集合中的元素没有顺序，{1,2,3} 与 {3,2,1} 是同一个集合。 【重点】元素与集合的关系（属于 / 不属于）： ▪ 属于：若 a 是集合 A 的元素，记作 a∈A（读作“a 属于 A”）。 ▪ 不属于：若 a 不是集合 A 的元素，记作 a∉A。 【易错】“属于 ∈”用于元素与集合之间，“包含于 ⊆”用于集合与集合之间，二者不可混用。例如 1∈{1,2}，而 {1}⊆{1,2}；不能写成 1⊆{1,2} 或 {1}∈{1,2}。 【重点】常用数集及记法（务必记牢）： ▪ N：非负整数集（自然数集），包含 0。 ▪ N* 或 N+：正整数集（不含 0）。 ▪ Z：整数集。 ▪ Q：有理数集（有限小数与无限循环小数）。 ▪ R：实数集（有理数与无理数统称为实数）。 【易错】0∈N 但 0∉N*；自然数集包含 0，正整数集不包含 0。填空时“0 是否属于 N*”常错。 二、集合的表示方法 ▪ 列举法：把集合的元素一一列举出来，用花括号 { } 括起来。例：{1,2,3}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}。元素顺序无关，重复元素只写一个。 ▪ 描述法：形如 {x∈A | P(x)}，表示集合 A 中具有共同特征 P(x) 的元素 x 的全体。其中竖线“|”也可用冒号“:”或分号“;”代替。 ▪ 省略写法：当 x∈R 或 x∈Z 从上下文明显时，可简写为 {x | P(x)}。例：{x | x<10}。 【难点】列举法适合元素个数有限且较少的情形；描述法适合元素有无穷多个或无法一一列举的情形（如不等式解集、全体奇数 {x∈Z | x=2k+1,k∈Z}）。要会根据共同特征选择恰当的表示法。 表示法 形式 适用情形 示例 列举法 把元素一一列举，用 { } 括起 元素有限且较少 {1,2,3}；{0,1} 描述法 {x∈A | P(x)}（| 可换 : 或 ;） 元素无穷多或难一一列举 {x∈R | x<10}；{x∈Z | x=2k+1,k∈Z} 1.2　集合间的基本关系 ▪ 子集：若集合 A 的任意一个元素都是集合 B 的元素，则称 A 是 B 的子集，记作 A⊆B（读作“A 包含于 B”，或“B 包含 A”）。 ▪ 相等：A⊆B 且 B⊆A ⇔ A=B。 ▪ 真子集：A⊆B，且存在 x∈B 使 x∉A，则称 A 是 B 的真子集，记作 A⊊B（读作“A 真包含于 B”）。 ▪ 空集：不含任何元素的集合，记作 ∅。规定：空集是任何集合的子集（∅⊆A），是任何非空集合的真子集。 【重点】集合关系的重要性质： ▪ 反身性：A⊆A（任何集合是它本身的子集）。 ▪ 传递性：若 A⊆B 且 B⊆C，则 A⊆C。 ▪ 空集：∅⊆A；若 A≠∅，则 ∅⊊A。 【易错】① 包含关系 {a}⊆A 与属于关系 a∈A 不同：前者是集合与集合，后者是元素与集合。例如 a∈{a,b}，而 {a}⊆{a,b}。② 空集是任何集合的子集，所以 ∅⊆{0} 成立，但 ∅∈{0} 不成立（{0} 的元素只有 0）。③ 子集包含“相等”的情形；真子集不包含相等。 关系 文字语言 符号 说明 子集 A 的任一个元素都是 B 的元素 A⊆B A 在 B 内（可相等） 真子集 A⊆B 且 B 中至少有元素不在 A 中 A⊊B A 真包含于 B（不相等） 相等 A⊆B 且 B⊆A A=B 两集合元素完全相同 空集 不含任何元素的集合 ∅ ∅⊆A；∅⊊A(A≠∅) 1.3　集合的基本运算 ▪ 并集：由所有属于 A 或属于 B 的元素组成的集合，记作 A∪B = {x | x∈A 或 x∈B}。 ▪ 交集：由所有属于 A 且属于 B 的元素组成的集合，记作 A∩B = {x | x∈A 且 x∈B}。 ▪ 全集：含所研究问题涉及的所有元素的集合，通常记作 U（全集随研究问题而定）。 ▪ 补集：全集 U 中不属于 A 的所有元素组成的集合，记作 ∁UA = {x | x∈U 且 x∉A}。 【重点】集合运算的性质： ▪ 并集：A∪A=A；A∪∅=A。 ▪ 交集：A∩A=A；A∩∅=∅。 ▪ 补集：∁U(∁UA)=A；A∪(∁UA)=U；A∩(∁UA)=∅。 【难点】集合中元素的个数（容斥原理）：含有限个元素的集合叫有限集，card(A) 表示集合 A 中元素的个数。 ▪ 两个集合：card(A∪B) = card(A) + card(B) − card(A∩B)。 ▪ 三个集合：card(A∪B∪C) = card(A)+card(B)+card(C) − card(A∩B) − card(B∩C) − card(A∩C) + card(A∩B∩C)。 【易错】求并集的元素个数时，公共元素只能算一次，所以必须减去 card(A∩B)；用 Venn 图分区域填数（先填交集区）可避免重复或遗漏。 运算 定义 符号表示 并集 由属于 A 或属于 B 的元素组成 A∪B={x | x∈A 或 x∈B} 交集 由属于 A 且属于 B 的元素组成 A∩B={x | x∈A 且 x∈B} 补集 U 中不属于 A 的元素组成 ∁UA={x | x∈U 且 x∉A} 1.4　充分条件与必要条件 ▪ 命题：可以判断真假的陈述句。中学数学许多命题可写成“若 p，则 q”的形式，其中 p 叫条件，q 叫结论。 ▪ 充分条件与必要条件：若 p⇒q（即“若 p 则 q”为真），则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。 ▪ 若 p⇏q，则 p 不是 q 的充分条件，q 也不是 p 的必要条件。 ▪ 充要条件：若 p⇒q 且 q⇒p，记作 p⇔q，则 p 是 q 的充要条件（p 与 q 互为充要条件）。 【重点】条件关系的四种判定（核心方法）：设 A={x | x 满足 p}，B={x | x 满足 q}，则 ▪ p 是 q 的充分不必要条件 ⇔ A⊊B（由 p 可推 q，由 q 推不出 p）。 ▪ p 是 q 的必要不充分条件 ⇔ B⊊A。 ▪ p 是 q 的充要条件 ⇔ A=B。 ▪ p 是 q 的既不充分也不必要条件 ⇔ A⊈B 且 B⊈A。 【难点】判定“p 是 q 的什么条件”，方向不能反：看 p⇒q（充分性）和 q⇒p（必要性）哪个成立。可转化为集合的包含关系来判断。 【易错】① 充分性的意思是“有 p 就足够推出 q”，并不意味着只有 p 才能推出 q（结论 q 的充分条件一般不唯一）。② 数学中每条判定定理都给出相应结论的一个充分条件；每条性质定理都给出相应结论的一个必要条件。③ 举反例是判断假命题的重要方法。 p 是 q 的… 推出关系 集合关系 充分不必要条件 p⇒q 且 q⇏p A⊊B 必要不充分条件 q⇒p 且 p⇏q B⊊A 充要条件 p⇒q 且 q⇒p A=B 既不充分也不必要条件 p⇏q 且 q⇏p A⊈B 且 B⊈A 1.5　全称量词与存在量词 ▪ 全称量词：“所有的”“任意一个”等，符号 ∀。含全称量词的命题叫全称量词命题，形式：∀x∈M, p(x)。 ▪ 存在量词：“存在一个”“至少有一个”等，符号 ∃。含存在量词的命题叫存在量词命题，形式：∃x∈M, p(x)。 ▪ 真命题的判定：全称量词命题要对 M 中每一个元素都成立；存在量词命题只需在 M 中找到一个元素使 p(x) 成立即可。 【重点】命题的否定（含一个量词）： ▪ 全称量词命题 ∀x∈M, p(x) 的否定是：∃x∈M, ¬p(x)（量词由“∀”变“∃”，结论 p(x) 变否定）。 ▪ 存在量词命题 ∃x∈M, p(x) 的否定是：∀x∈M, ¬p(x)（量词由“∃”变“∀”，结论 p(x) 变否定）。 ▪ 一个命题与它的否定一真一假，不能同真也不能同假。 【难点】含一个量词的命题否定时，量词必须改变（全称 ↔ 存在），且只对结论 p(x) 否定，量词后的范围 M 不变。 【易错】“若 p 则 q”形的（省略量词的）全称命题，其否定不是“若 p 则 ¬q”，而是“存在满足 p 的对象，使 ¬q 成立”。例如“对任意 x>1，2x+1>5”的否定是“存在 x>1，使 2x+1≤5”。 命题类型 形式 否定形式 量词变化 全称量词命题 ∀x∈M, p(x) ∃x∈M, ¬p(x) ∀ → ∃ 存在量词命题 ∃x∈M, p(x) ∀x∈M, ¬p(x) ∃ → ∀ 本章主线：集合的含义与表示 → 集合间的关系 → 集合的运算；常用逻辑用语（充分条件/必要条件/充要条件、全称量词/存在量词及其否定）是数学表达与推理论证的基本语言。 学科网（北京）股份有限公司 $