河北省石家庄市部分学校2026-2027学年第一学期高三年级检测数学试卷

高三数学检测 参考答案 1.【答案】D 【解析】由题意得，：=3+1-1-3引，所以复数2在复平面内对应的点为（1,3》，位于 i 第四象限故选D. 2.【答案】A 【解析】若西数y=cos(2x+p)的图象关于原点对称，则p-低+号ke又，放 9=2机+)，k=Z”是“函数y三c082x+P)的图象关于原点对称”的充分不必要条件 故选A. 3.【答案】B 【解析】由题意得， -ax 的展开式的通明为=C(日(m=c(-ar, 令2r-5=1,解得r=3,所以C(-a)=-80,解得a=2.故选B. 4.【答案】B 【解答】因为a=√6，b=2,所以由正弦定理得， sinAa v6 sinB b 2 因为√3sinA+ sB=2,所以2V2siB=2,即mnB= √ .又因为a>b,所以 2 2 A>B,所以B为锐角，所以B=乃故选B. 5.【答案】C 【解析】设OA=4,OB=b,则OA1OB,以O为坐标原点，OA,OB所在直线分别为 x轴、y轴建立平面直角坐标系，则a=(t,0),b= 0,P=(2,1),所以 p-(a+D)=2+≥2√5，当且仅当21=，即1=5时取等号故选C 2 6.【答案】A 高三数学第1页共10页 【解析】由腿意得，点P的轨选为椭圆，方程为二+二=1.设B(20连接MB,N8,则 1612 四边形MAB为平行四边形，所以Saw=Saue=ABx以w卡2x小因为x≤2V5, 所以SAMw=2yw≤4V5故选A 7.【答案】C 【解析】设圆台的上、下底面的半径分别为1,5，高为h,母线长为1，则 5=5,(5-)广+h=1,π(1+5)=48元，解得万=1,5=5,1=8.将梯形补成边长 为10的等边三角形，所以该等边三角形的内切圆的半径为，-×V10一5=55 又因为？>”，所以圆台加工成一个球体的半径最大值为5V h ,所以球的体积的最大值为 3 5V3 500V5 元故选C 3 27 8.【答案】B 【解析】由题意知，☑，4,4成等差数列，公差为1,44,46成等差数列，公差为2， 4,4g,,成等差数列，公差为4.因为4=1，所以a2=2,4=3,4=a4+2,a6=a4+4, =a+4,4,=4+4.又4+4,43+44,4+4成等比数列，所以 (a4+3)=3(2a4+6),解得44=3，所以4+4=6，a,+a,=12，等比数列的公比为 2,所以4，+=24,4，+40=48.又因为ag=+4,4,=购+4，所以 4=10,a=14,4=18,4=30.故选B. 9.【答案】AB 【解析】对于A,若样本点都在直线上，说明变量x与y完全线性相关，根据相关系数定义， 完全正线性相关时=1，故A正确； 对于B,由5-NO得，P(传×2)=P传>2)P,因tP(-2≤50=n方放B 正确： 高三数学第2页共10页 对于C,根据D(aX+b)=aD(X)可知，样本数据x,x,,xn的方差等于 x1+1,x2+1,,xn+1的方差，故C错误； 对干D,三项分布的方茶公式为D)-m1叭，放D)=3号号放D猫肤 故选AB. 10.【答案】ABD 【解析】对于A,f(x)是定义域为R的奇函数，则f(-x)=-f(x),且f(O)=0,又f(x+1) 为偶函数，则f(x+1)=f(-x+1),即f(x+2)=f(-x),所以f(x+2)=-f(x),所以 f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故A正确： 对于B,由A知fx+2)=f(-x),所以f"(x+2)=-f"(-x),所以f'(x)的图象关于点(1,0)对 称，故B正确： 对于C,因为f(x+1)为偶函数，则f(x)的图象关于直线=1对称，又函数f(x)在[0,1上 单调递增，f(O)=0,所以当x∈[0,2]时f(x)≥0，又因为f(x+4④)=f(x),所以f(x)≥0的 解集为[4k,4k+2](k∈Z),故C错误： 对于D,若f(1)=2,可得f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(2)=f(0)=0,f(4)=f(0)=0, 则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0, 则f(1)+f(2)+f(3)++f(2020)=505x[f(1)+f(2)+(3)+f(4)]=0,故D正确. 故选ABD. 11.【答案】ACD 【解析】对于A,函数g(x)=f(x)+fx)的最小正周期是2π，不妨设0≤x≤2π， ①当0≤x≤π时，g(x)=2f(x)∈[0,2]： ②当π<x≤2r时，g(x)=0, 故函数g(x)的值域是[0,2]，故A正确： 对于B,由sinr+6) +=sim3x可得3x=x+匹+2 kr(keZ)或 6 3-+君(2+(ke2.那们=沿Z)或x=停ez。 6 224 高三数学第3页共10页 又因为x∈[0，，所以x= 12,s 24 x=17,故B错误 5π 24 对于C,当x(任T时，1<c0sr<n<1,因为/)-血r在(-1训上单调道形，所 以f(cosx)<f(simx),当x>0时，令y=sinx-x,则y'=cosx-1≤0恒成立，故 sinx<x在x>0时恒成立，则当x∈ 4π时，snx>0,则sn(sin)<sinx<x=4, 故C正确： 对于D.因为P)=,则r1-y=F四)，则F(刊关于直线=对称，当 x2-x+1 x=亏时，()取最大值1，又y=x-x+1取最小值子，所以此时F)取最大值为 故D正确故选ACD. 12.【答案】(1,2) 【解行】范物线C=2x的熊点为(0》 准线方程为y=名设M6),因为点 M在c,所以Mr为-（号 17 解得=2，代入y=2x2中得，x,=1(负值 己舍去)，所以点M的坐标为(1,2) 9 13.【答案】21n3- 2 【解1击题蓝得.)--习.当x-（3时，7k0)单调适该 当2.0年满描州又/2-®)-2n} =22-号Q所以尚最大位52n3- 9 14【答案】82 高三数学第4页共10页 【解析】如图，作点B在平面a上的投影点E,连接AE和CE,显然BE⊥平面a.作 Ey⊥EA,以E为坐标原点，EA,y,EB所在直线分别为x,y,2轴，建立空间直角坐标系 E-z.由于点B到平面的距离为1，所以BE=AE=1,则A(1,0,0),B(0,0,1),设C(y,0), 4C 4 则4G√-7，sG√可因为8C3所以 7x2+7y2+18x+7=0,所以点C的轨迹为以 ,0为圆心， 4W巨为半径的圆，所以点C的轨迹的长度为1 -π 15.解：（1)由正弦定理得simB+2si1Ac0sC=0,…2分 因为sinB=si(A+C)=sin AcosC+cos AsinC, 所以3 sin Ac0sC+c0 s AsinC=0.…4分 因为A ，所以sinA=cosA, 所以3cosC+sinC=0,所以tanC=-3.…6分 (2)由(1)知3cosC+sinC=0, 又sinC+cos2C=1,则sinC= 3v10 …8分 10 2R=-c 2W24W5 由正弦定理得， sinc 3v10 3, ……10分 10 所以R= 2w5 …11分 3 25 20π 所以△ABC外接圆的面积为S=πR2=π× 9 …13分 3 16.(1)证明：在菱形ABCD中，AB=2,∠DAB=60°， 所以△ABD,△CBD均为等边三角形 因为DA=DC,O为AC的中点， 所以DO LAC 所以AB2+BC2=AC2，,即∠ABC=90°. …4分 高三数学第5页共10页 1 如图，连接BO,则BO=二AC=√2！ 2 又因为AD-DC=2,AC=2√5， 所以AD+DC2=AC2, B 所以AD⊥DC,所以DO=√5 A 又因为BD=2, 所以DO2+BO2=DB2,所以DOLB0.…6分 又AC∩BO=O,且AC,BOC平面ABC, 所以DOL平面ABC.… …7分 (2)解法一：设点C到平面ABD的距离为h, 因为菱形ABCD的边长为2， 所以5ao=)×2x2×n60°=V5. 2 所以.=×VBxh=5 1 3 ,S8c=行×2×2=2.…9分 由(1)知DO⊥平面ABC,DO=√2， 所以2s-V2*2-5.所h- 1 …12分 3 3 3 2W6 h 设直线CD与平面ABD所成的角为0，则sinO= 36 CD 2 31 即直线CD与平面ABD所成角的正弦值为 …15分 3 解法二：由(1)知，OB,OD,OC两两相互垂直，故以O为坐标原点，OC,OB,OD 所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. D 高三数学第6页共10页 则A(-V2,0,0),B(0,2,0),CN5,0,0),D0,0,5), CD=(-20,V2),AB=(（5,V5,0),AD=(50,5)9分 设平面ABD的法向量为n=(x,y,2), :8=0即小2xt5y=0可k=L-,-）.…1分 则 nAD=0,x+2=0, 设直线CD与平面ABD所成的角为日， CD.1 则sin6= cos(D,n)- 2W2V6 ………14分 2×√33 故直线CD与平面ABD所成角的正弦值为Y …15分 3 6,1 n「a2=8, 17.解：(1)由题意得， +解 a2-b2=4, b2=4, 所以椭圆的方程为 =1.…4分 84 (2)联立 十8消去y可得+2F+4物x+2m-8=0,@ 因为直线与椭圆相切，所以=(4)-4(1+2k2）(2m2-8)=0, 整理得8k2=m2-4.②… …6分 -4 因为直线与圆相切，所以 =2,整理得m2-8=4h2-12,③…7分 Vk2+1 [k=0, [k=26, ②与③联立解得 m=2 (舍去)或 =14, 所以直线1的方程为y=26x十14.……9分 (3)设直线1与y轴的交点为P,切点B(,0),则点P的坐标为(0,14) 由(2)问中①式可知，x= 2km 86 7 1+2k3 7%=2 ……………11分 高三数学第7页共10页 则5-0P小k1485-8612分 7 Saw-AxM月pi-a4fxAM=i02246,…4分 所以S四边形ABaM=SAPa0-SAP4M=8V6-4V6=4V6.…15分 18.解：(1)(iD由X~N(300,502),得 P200≤X≤350=P200≤X≤40)+P250≤x<350l-09545+06827=0.8186 2 …4分 (ii)依题意得Y一B10,0.8186),…6分 所以E()=8.186.…8分 (2)若第一次掷出的股子向上的点数是3的倍数，遥控车移动到第一格，其概率为，即 ………………………9分 遥控车移动到第n(2≤n≤49)格的情况是下面两种，且只有两种： 2 ①遥控车先移动到第-2格，又掷出的骰子向上的点数不是3的倍数，其概率为P2 3 ②遥控车先移动到第n-1格，又掷出的骰子向上的点数是3的倍数，其概率为 所以乃，22+见，……11分 3 所以Pn-P1=- 无3a…12分 所以2≤n≤49时，数列2-P是以首项为-月=子公比为-的等比数列， …14分 所以g=(化-只+(gR)-(4-)月-(+（++引1 吉为 1-21-号 高三数学第8页共10页 ,0≤n≤49， 综上，数列{P}的通项公式为Pn= …17分 -5n=50. 19.解：(1)当k=1时，f(x)=e-x,则f(0)=1,f"(x)=e-1,所以f"(0)=0, 所以曲线f(x)在x=0处的切线方程为y=1…3分 (2)若[f(x]>0,则f(x)≥1在[0，+∞)上恒成立 f'(x)=e-k. 当0<k≤1时，f'()=e-k>0在(0，+o)上恒成立， 则函数f(x)在(0，+o)上单调递增 当x≥0时，f(x)≥f(0)=1,符合题意；…6分 当k>1时，可知函数f(x)在(0，nk)上单调递减，在(lnk,+∞)上单调递增， 则f(x)在[0，+o)上的最小值为fn)=e-knk=k(-ln) 设F(k)=kA-nk),F'(k)=-hk<O,所以F(k)在(I,+o)上单调递减， 所以F(k)<F(I)=1,fn)=e血-klnk=k1-n)<l,不符合题意.…9分 综上，k的取值范围为0<k≤1.…I0分 (3)由题意[>0，则c1,解得x心 则函数h(x)的定义域D= 1 Z,十00，k>0.…………11分 当0<1时，函数/)在是+上单调递增。 所以e/2)2-c-11,则U月 又n[kx]>hl=0,所以h(x)>l;…13分 当1<长之时，可知西致/四在血长+)上单润递指 2 Th(a)(0. 由lmk-k 高三数学第9页共10页 可得hk<名，即函数f0在长+ 上单调递增， 所以酒数-训+[a创在[居o上不减 则1，得)-[ 因为1<长品所以字n2, 所以c-1≥c心-1-2-1=1小所以)≥h21.…16分 综上，当0<≤2时，对于x∈D,恒有(92l,…1门分 高三数学第10页共10页高三数学检测 考试说明：1.本试卷共150分。考试时间120分钟。 2.请将各题答案填在答题卡上。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1.已知复数之满足iz=3+i,则复数之在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.“9-2kx+2,k∈Z”是“函数y=0s(2x十g)的图象关于原点对称”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知（-az) 的展开式中x的系数为一80，则a= A.-2 B.2 C.-4 D.4 在△ABC中，内角A,B的对边分别为a,b,若a=厅，力=2,5A十 4. 2 sinB= 2,则B= A. 牙 D. 无或3π 4 4 5.已知非零向世a,b满足a=1,b-},ab=0.若p=2日十，则 a b p·(a十b)的最小值为 A.2 B.2 C.22 D.4 6.已知点P(x,y)满足方程√(x+2)2+y2+√J(x一2)2+y2=8,A(2,0),设点P 的轨迹为曲线C,过原点的直线与曲线C交于M,N两点，则△MAN面积的 最大值为 A.43 B.4 C.83 D.8 7.已知圆台的高为45，上、下底面的半径之比为，圆台的侧面积为48元.现欲 将此圆台加工成一个球体，则得到的球的体积的最大值为 5003 A.24π B.48π C. 27元 D.32√3π 高三数学第1页共4页 8.已知数列{am}(1≤n≤10，n∈N*),其中a1=1,且a-2,ak-1,a3k成等 差数列，公差为2-1(=1,2,3).若将数列{am}中的项分成五组：(a1,a2), (a3,a4),(a5,a6),(a7,a8),(ag,a1o),每组的两个数之和构成一个等比数列， 则a10= A.18 B.30 C.32 D.36 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列命题成立的是 A.若一组样本数据（x,y:)(i=1,2,3,…,n)对应的样本点都在直线y=3x十2 上，则这组样本数据的相关系数r为1 d=(03乙-)d‘4=(Z>)d罢（T0)N4日 C.一组样本数据x1,x2,…,xm的方差小于x1十1，x2十1，…，xm十1的方差 D.若随机变量~B3,),则D()=2 10.已知f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x+1)为偶函数，则 A.f(x+4)=f(x) B.f'(x)的图象关于点(1,0)对称 C.若函数f(x)在[0,1]上单调递增，则不等式f(x)≥0的解集为[0,2] D.若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+·+f(2020)=0 11.已知函数f(x)=sinx,则 A.函数g(x)=f(x)+f(x)的值域是[0,2] B.方程f(女十)=f3x)在[0，x]上有四个实数根 C.当x∈（无x)时，f(eosa)<f(sinx)<lx D.函数F(x)=,(x) x2-x+1 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知抛物线C:y=2x2的焦点为F,点M在C上，且位于第一象限，MF= 1 8,则点M的坐标为 3。 已知函数f)三53x十2，x23，则fx)的最大值 (参考数据：ln2≈0.693) 高三数学第2页共4页 14.已知A是平面α内一定点，B是平面a外一定点，AB=√2，点B到平面a 的距离为1.设平面。内的动点C到点A、点B的距离之比为，则点C的轨 迹的长度为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足b+2 acosC=0, A=开 (1)求tanC; (2)若c=2√2，求△ABC外接圆的面积. 16.(本小题满分15分) 如图1，已知菱形ABCD中，AD=2,∠ABC=120°，沿对角线BD将其翻折， 使AC=2√2，设此时AC的中点为O,如图2. B 图1 图2 (1)证明：DO⊥平面ABC; (2)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值. 17.(本小题满分15分) 已知椭圆C:名+a>6>0)过点(6,1)·有焦点为F2,0),面 x2+(y一4)2=4，直线l:y=kx+m(k>0)与圆、椭圆分别相切于点A,B. (1)求椭圆的方程； (2)求直线l的方程； (3)求四边形ABOM的面积(O为坐标原点). 高三数学第3页共4页 18.(本小题满分17分) 某汽车公司最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对汽车进行了单次最大续 航里程的测试.根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航 里程X近似地服从正态分布N(300,502). (1)(ⅰ)从该汽车公司最新研发的新能源汽车中任取1辆汽车，求它的单次最 大续航里程恰好在200千米到350千米之间的概率； (ⅱ)从该汽车公司最新研发的新能源汽车中随机抽取10辆，设这10辆汽 车中单次最大续航里程恰好在200千米到350千米之间的数量为Y, 求E(Y); (2)为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏抽奖”活动，客户可根据 抛掷骰子（点数从1到6)的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，方格图上 标有第0格、第1格、第2格、…、第50格.遥控车开始在第0格，客户每掷一 次骰子，遥控车向前移动一次，若掷出的骰子向上的点数是3的倍数，遥控车向 前移动一格（从k到k十1），否则，遥控车向前移动两格（从k到k十2），直到遥 控车移到第49格或第50格时，游戏结束.若遥控车最终移动到第49格，可获得 买车九折优惠，若遥控车最终移动到第50格，可获得买车大礼包.设遥控车移 到第n格的概率为Pn(n=0,1,2,…,50),其中P。=1,求数列{Pn}的通 项公式 参考数据：若随机变量服从正态分布N(,o2),则P(μ一o≤≤十o)≈ 0.6827,P(μ-2o≤5≤+2o)≈0.9545，P(μ-3o≤5≤+3o)≈0.9973. 19.(本小题满分17分) 定义：[x]表示不超过x的最大整数，如[0.1]=0，[-1.9]=一2.已知函数 f(x)=e-bx,h(x)=[f(x]+ln[kx],其中k>0. (1)若k=1,求曲线f(x)在x=0处的切线方程； (2)若[f(x)]>0在x∈[0，十∞)上恒成立，求及的取值范围； (3)写出h(x)的定义域D,并证明：当0<长≤2时，对于Vx∈D,恒 有h(x)≥1. 高三数学第4页共4页