2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式 导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦“二次函数与一元二次方程、不等式”第1课时，通过知识回顾（基本不等式）衔接新知，以校园宣传栏镶边问题导入，搭建“温故知新—合作探究—典例精析”的学习支架，引导学生理解三者联系。 突出“三个二次”数形结合思想，以实际情境问题驱动探究，典例与达标题梯度设计，助力学生通过图象直观想象解集几何意义，提升数学抽象与逻辑思维素养，培养自主学习与合作探究能力。

人教a版（2019）高中数学必修第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式（第1课时） 精品导学案（含解析） 💫数学人教A版（2019）必修一💫 课 题 二次函数与一元二次方程、不等式 课 时 第1课时 班 级 ________________ 姓 名 ________________ 🎯 课标要求 1. 知识目标：理解一元二次不等式的定义，掌握一元二次不等式解集与相应一元二次方程、二次函数图象之间的关系。 1. 能力目标：能借助二次函数图象求解一元二次不等式，掌握”三个二次”相互转化的数形结合思想。 1. 核心素养：通过观察、分析、归纳一元二次不等式解集规律，提升数学抽象与直观想象素养。 ⭐ 重点难点 学习重点 学习难点 一元二次不等式的解法；“三个二次”之间的联系。 利用二次函数图象理解一元二次不等式解集的几何意义；含参数的一元二次不等式分类讨论。 📖 预习导学 请认真阅读教材，完成以下预习内容： ◆ 一、知识回顾（温故） 1. 基本不等式最值模型： （1）积定和最_____，当且仅当_____时取等； （2）和定积最_，当且仅当_____时取等。 1. 基本不等式求最值三条件：一_____、二_____、三_____。 1. 判断：若 ，则 的最小值为 。（    ） 1. 判断：若 ，则 的最小值为 。（    ） ◆ 二、新知初探（知新） 1. 一元二次不等式：只含_____个未知数，最高次数是_____的整式不等式；一般形式为 或 （）。 1. 二次函数的零点：方程 的实数根，对应抛物线与____轴交点的横坐标。 1. 二次函数 的零点是____和____；不等式 的解集为________。 1. 判别式 （）与解集关系： 与 的关系 的解集 ​ ________________________ ​ ________________________ ​ ________________________ 1. 解二次项系数为负的一元二次不等式时，先把二次项系数化为____数，再按照”求____→画_→写____ “的流程求解。 🌱 温馨提示：判断解集先看”开口方向”与” 符号”，这是决定解集形式的两个关键！ ◆ 三、预习疑惑 🔍 合作探究 ◆ 问题 1：校园宣传栏中的”三个二次” 校园宣传栏长 、宽 。在四周镶嵌宽度为 的装饰边框后，总面积不超过 。请分析： （1）镶嵌后长为________ m，宽为________ m；（用含 的式子表示） （2）列不等式：________________________，化为标准形式（）：________________________； （3）这个不等式的解集与对应的二次函数图象有什么关系？试画图说明。 💬 【小组讨论】 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间有何联系？用一句话概括。 ◆ 问题 2： 变化时解集的规律 观察三组不等式，结合图象填空（开口均向上）： ① ：两根为_______、_______，解集为____________；改为 “” 解集为____________。 ② ：两根相等为_，解集为_________；改为 “” 解集为___________。 ③ ： ____ ，解集为____________；改为 “” 解集为____________。 【结论】 当 时， 则”大取两边小取中间”； 则 为挖点、 为空； 则 为 、 为空。 💡 典例精析 例 1  解不等式 。 【思路】求方程两根 → 开口向上 → 大于取两边。 解： 例 2  解不等式 。 【思路】先化二次项系数为正（注意不等号变向！），再按步骤求解。 解： ✏️ 当堂达标 （建议用时：10 分钟   满分：40 分） 1. 下列不等式中，是一元二次不等式的是（    ）（5 分） A.      B.      C.      D. 2. 不等式 的解集为（    ）（5 分）     A.          B.     C.          D. 3. 不等式 的解集为（    ）（5 分）     A.          B.          C.          D. 4. （多选）若不等式 的解集为 ，则正确的是（    ）（8 分）     A.      B.      C.      D. 5. 解下列不等式：（每题 8 分，共 16 分） （1）； （2）。 📝 课堂小结 & 课后作业 知识框架 课后作业 一元二次不等式 定义：一个未知数，最高次数为2   三个二次的联系：   函数图象 ↔ 方程的根 ↔ 不等式解集   解法步骤：       ① 化正（）   ② 求根（ 判断）      ③ 画图（开口+交点）④ 写解集（>取两边，<取中间） 解不等式：    (1)     (2)     (3) 🌟 学习反思 今日收获： ________________________________________________ 存在困惑： ________________________________________________ 📖 答案与解析 ✅ 使用建议：先独立完成学案全部题目，再对照答案批改；用红笔订正错题，并在易错点处做笔记。 一、预习导学 · 参考答案 【知识回顾】 1. （1）小；两数相等   （2）大；两数相等 1. 正；定；等 1. √  （满足”一正二定三相等”， 时取等） 1. ×   （等号取不到，因为 时 ） 【新知初探】 1. 一； 1. 1. ；； 1. ：   ：   ： 1. 正；方程的根；函数图象；不等式的解集 二、合作探究 · 参考解答 【问题 1】 （1）； （2）；   （3）不等式的解集对应抛物线在 轴下方（含交点）部分的横坐标范围。 小组讨论参考：方程的根是图象与 轴交点的横坐标，不等式解集是图象在 轴上方/下方对应的 的范围。 【问题 2】 ① 、；； ② ；； ③ ；； 三、典例精析 · 详细解答 例 1  解不等式 。 解：解方程 ，     ，     ，即 ，。     因为 ，抛物线开口向上，大于取两边，     所以不等式的解集为 。 例 2  解不等式 。 解：原不等式两边同乘 ，得 （注意不等号方向改变！）。     解方程 ，     ，     ，即 ，。     因为 ，抛物线开口向上，小于取中间，     所以 的解集为 ，     即原不等式的解集为 。 💡 方法提炼：解一元二次不等式”四字诀”—— ①化（）②求（根与 ）③画（简图）④写（解集）。 口诀：“大于取两边，小于取中间”（仅适用于 且 的情形）。 四、当堂达标 · 答案与解析 1. 答案：B  （5 分）     解析：A 为三次不等式，C 为分式不等式，D 为一次不等式。只有 B 满足”一个未知数、最高次数为 2、整式不等式”三个条件。 2. 答案：B  （5 分） 解析： 的两根为 和 ，开口向上，“> 取两边”， 故解集为 。 3. 答案：C  （5 分）     解析：原不等式化为 ，即 。只有 时等号成立，故解集为 。 4. 答案：ABCD  （8 分）     解析：由解集 可知 ，且 、 是方程 的两根。     由韦达定理：，，解得 ，。     验证：（A对），（B对），（C对），（D对）。故选 ABCD。 5. 解不等式：（每题 8 分，共 16 分） （1）     解：原不等式化为 ，     ，     ，即 ，。     因为 ，开口向上，“ 取中间”，     故解集为 。 （2）     解：原不等式化为 ，     ，     方程 无实根，     又 ，抛物线开口向上且与 轴无交点，     故 的解集为 ，即原不等式解集为 。 ⚠️ 易错点对查表 ① 二次项系数为负时，一定要先化为正，同时不等号方向改变！ ② 时，“”解集为 ，“”解集为 ，切勿混淆。 ③ 用”大于取两边，小于取中间”口诀的前提是 且 ，两个条件缺一不可！ 五、课后作业答案 (1) 因式分解：x2+3x−4=(x+4)(x−1) 解对应方程 (x+4)(x−1)=0，得 x=−4或 x=1 二次项系数为正，抛物线开口向上，大于零的部分在两根之外 解集：(−∞, −4)∪(1, +∞) 即 x<−4或x>1。 (2) −x2+3x−2≥0 两边同乘 −1，注意不等号方向改变： x2−3x+2≤0 因式分解：x2−3x+2=(x−1)(x−2) 对应方程根为 x=1和 x=2 二次项系数为正，抛物线开口向上，小于等于零的部分在两根之间（含端点） 解集：[1, 2] 即 1≤x≤21≤x≤2。 (3) 2x2+x+1<0 计算判别式：Δ=12−4⋅2⋅1=1−8=−7<0 二次项系数 2>0，抛物线开口向上且与 x轴无交点，故函数值恒大于 0 所以不等式 <0无解 解集：∅ 常见题型速记表 题型 示例 解法关键 型 ​ 求两根 → 开口向上，> 取两边，< 取中间 型 ​ 配方 → 为 ， 为 型 ​ 算 → 时 解集为 ， 为 学科网（北京）股份有限公司 $人教a版（2019）高中数学必修第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式（第1课时） 精品导学案 💫数学人教A版（2019）必修一💫 课 题 二次函数与一元二次方程、不等式 课 时 第1课时 班 级 ________________ 姓 名 ________________ 🎯 课标要求 1. 知识目标：理解一元二次不等式的定义，掌握一元二次不等式解集与相应一元二次方程、二次函数图象之间的关系。 1. 能力目标：能借助二次函数图象求解一元二次不等式，掌握”三个二次”相互转化的数形结合思想。 1. 核心素养：通过观察、分析、归纳一元二次不等式解集规律，提升数学抽象与直观想象素养。 ⭐ 重点难点 学习重点 学习难点 一元二次不等式的解法；“三个二次”之间的联系。 利用二次函数图象理解一元二次不等式解集的几何意义；含参数的一元二次不等式分类讨论。 📖 预习导学 请认真阅读教材，完成以下预习内容： ◆ 一、知识回顾（温故） 1. 基本不等式最值模型： （1）积定和最_____，当且仅当_____时取等； （2）和定积最_，当且仅当_____时取等。 1. 基本不等式求最值三条件：一_____、二_____、三_____。 1. 判断：若 ，则 的最小值为 。（    ） 1. 判断：若 ，则 的最小值为 。（    ） ◆ 二、新知初探（知新） 1. 一元二次不等式：只含_____个未知数，最高次数是_____的整式不等式；一般形式为 或 （）。 1. 二次函数的零点：方程 的实数根，对应抛物线与____轴交点的横坐标。 1. 二次函数 的零点是____和____；不等式 的解集为________。 1. 判别式 （）与解集关系： 与 的关系 的解集 ​ ________________________ ​ ________________________ ​ ________________________ 1. 解二次项系数为负的一元二次不等式时，先把二次项系数化为____数，再按照”求____→画_→写____ “的流程求解。 🌱 温馨提示：判断解集先看”开口方向”与” 符号”，这是决定解集形式的两个关键！ ◆ 三、预习疑惑 🔍 合作探究 ◆ 问题 1：校园宣传栏中的”三个二次” 校园宣传栏长 、宽 。在四周镶嵌宽度为 的装饰边框后，总面积不超过 。请分析： （1）镶嵌后长为________ m，宽为________ m；（用含 的式子表示） （2）列不等式：________________________，化为标准形式（）：________________________； （3）这个不等式的解集与对应的二次函数图象有什么关系？试画图说明。 💬 【小组讨论】 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间有何联系？用一句话概括。 ◆ 问题 2： 变化时解集的规律 观察三组不等式，结合图象填空（开口均向上）： ① ：两根为_______、_______，解集为____________；改为 “” 解集为____________。 ② ：两根相等为_，解集为_________；改为 “” 解集为___________。 ③ ： ____ ，解集为____________；改为 “” 解集为____________。 【结论】 当 时， 则”大取两边小取中间”； 则 为挖点、 为空； 则 为 、 为空。 💡 典例精析 例 1  解不等式 。 【思路】求方程两根 → 开口向上 → 大于取两边。 解： 例 2  解不等式 。 【思路】先化二次项系数为正（注意不等号变向！），再按步骤求解。 解： ✏️ 当堂达标 （建议用时：10 分钟   满分：40 分） 1. 下列不等式中，是一元二次不等式的是（    ）（5 分） A.      B.      C.      D. 2. 不等式 的解集为（    ）（5 分）     A.          B.     C.          D. 3. 不等式 的解集为（    ）（5 分）     A.          B.          C.          D. 4. （多选）若不等式 的解集为 ，则正确的是（    ）（8 分）     A.      B.      C.      D. 5. 解下列不等式：（每题 8 分，共 16 分） （1）； （2）。 📝 课堂小结 & 课后作业 知识框架 课后作业 一元二次不等式 定义：一个未知数，最高次数为2   三个二次的联系：   函数图象 ↔ 方程的根 ↔ 不等式解集   解法步骤：       ① 化正（）   ② 求根（ 判断）      ③ 画图（开口+交点）④ 写解集（>取两边，<取中间） 解不等式：    (1)     (2)     (3) 🌟 学习反思 今日收获： ________________________________________________ 存在困惑： 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