第十六章 整式的乘法 知识点总结 单元小测 2026-2027学年人教版数学 八年级上册

**基本信息** 八年级上册整式的乘法单元卷，含知识点系统梳理（含知识结构图、易错警示）及分层测试（基础70%+中档20%+能力10%），答案详解含错因分析，适配单元复习巩固与核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题30分|幂的运算、乘法公式辨析|结合易混点设题，如第4题平方差公式结构判断（推理意识）| |填空题|6题18分|整式除法、公式变形|考查逆向思维，如第13题幂的运算逆用（运算能力）| |解答题|6题52分|计算、化简求值、几何应用、规律探究|综合应用，如20题长方形面积计算（几何直观）、22题规律猜想（创新意识）|

八年级数学（上）· 第十六章 整式的乘法 · 单元小测 第十六章 整式的乘法 单元小测 八年级（上册）· 知识点总结 ＋ 单元测试 ＋ 答案详解 测试范围 整式的乘法（幂的运算、整式乘法、乘法公式、整式除法） 考试时间 90 分钟 试卷满分 100 分（选择题 30 分 ＋ 填空题 18 分 ＋ 解答题 52 分） 难度分布 基础题约 70%，中档题约 20%，能力题约 10% 班级：______________ 姓名：______________ 学号：__________ 得分：__________ 使用建议：先用 25 分钟通读第一部分“知识点全面梳理”，把公式默写一遍；再限时 90 分钟独立完成第二部分“单元小测”；最后对照第三部分逐题订正，把错题的“错因”写在题号旁边。 第一部分 知识点全面梳理 本章围绕“整式的乘法”展开，核心是三组内容：幂的运算法则、整式的乘法法则、两个乘法公式。它们之间的关系如下图所示。 图 1 第十六章知识结构图 一、幂的运算法则 1．同底数幂的乘法 法则：底数不变，指数相加。 （m、n 都是正整数） 推广：。 例：； ； 。 2．幂的乘方 法则：底数不变，指数相乘。 （m、n 都是正整数） 例：； ； 。 3．积的乘方 法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 （n 是正整数） 推广：。 例：； ； 。 4．同底数幂的除法与零指数幂 法则：底数不变，指数相减。 （a≠0，m、n 都是正整数，且 m＞n） 规定：（a≠0），即任何不等于零的数的零次幂都等于 1。 例：； ； 。 5．四个法则的对比（极易混淆，务必逐行比较） 运算 公式 指数如何变 典型正例 同底数幂相乘 相加 同底数幂相除 相减 幂的乘方 相乘 积的乘方 不变，分别乘方 合并同类项 不变，系数相加 6．公式的逆用（简便运算的关键） （1）， ； （2）——当两个幂的指数相同时，可以把底数先乘起来； （3）例：； 。 7．乘方的符号法则 （n 为偶数）； （n 为奇数）。 要特别区分 与 ：前者是 的相反数，后者是 的平方。当 a＝3 时，，而 。 二、整式的乘法 1．单项式乘以单项式 把系数相乘作为积的系数；相同字母的幂按同底数幂相乘；只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式。 例：。 2．单项式乘以多项式 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加——本质是乘法分配律。 例：。 注意：单项式的符号也要参与分配。若单项式带负号，多项式每一项的符号都要改变，共有几项就要写几项，不能漏项。 3．多项式乘以多项式 先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 例：。 常用结论：。一次项系数是 p、q 的和，常数项是 p、q 的积。 三、两个乘法公式 1．平方差公式 文字叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 结构特征：两个括号里有一项完全相同（记作 a），另一项互为相反数（记作 b、-b），结果是“相同项的平方 － 相反项的平方”。 例：； 。 几何解释：在边长为 a 的正方形中剪去一个边长为 b 的小正方形，把剩下的部分沿虚线剪开并重新拼成一个长方形，长为 a＋b，宽为 a－b，面积保持不变。 图 2 平方差公式的几何解释 2．完全平方公式 文字叙述：两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或减去）这两个数积的 2 倍。 口诀：首平方，尾平方，首尾两倍放中央；符号跟着中间走。 例：； 。 几何解释：边长为 a＋b 的大正方形，可以分割成 1 个边长为 a 的正方形、1 个边长为 b 的正方形和 2 个长为 a、宽为 b 的长方形。 图 3 完全平方公式的几何解释 3．完全平方公式的常用变形（求值题的“万能工具”） 已知条件 所求 变形公式 a＋b、ab a－b、ab a＋b、ab a－b、ab a＋b、a－b ab 4．添括号法则 添上括号，若括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都不变号；若括号前面是“－”号，括到括号里的各项都要改变符号。 例：； 。 应用：。 四、整式的除法 1．单项式除以单项式 把系数、同底数幂分别相除作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，连同它的指数一起作为商的一个因式。 例：。 2．多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加。 例：。 易错点：被除式有几项，商就有几项，绝不能漏掉最后一项的商 1（如上例中的 “＋1”）。 五、易错点警示（考前必看） 序号 常见错误写法 正确结果 错在哪里 1 合并同类项时指数不变，只加系数 2 同底数幂相乘应指数相加，不是相乘 3 幂的乘方应指数相乘，不是相加 4 积的乘方，系数也要乘方 5 负数的偶次方为正 6 漏掉中间的 2ab 7 把完全平方与平方差混为一谈 8 负号未与第二项相乘 9 漏项，商应与被除式项数相同 六、本章常用的数学思想方法 1．整体思想：把 、 等看作一个整体，套用乘法公式。例如 。 2．转化思想：多项式乘多项式 → 单项式乘多项式 → 单项式乘单项式，层层转化。 3．配方思想：把 补成 ，用于求最值或证明非负。 4．数形结合：用图形面积验证乘法公式，用公式解决面积问题。 5．逆向思维：公式从右往左用，往往是简便运算与化简的突破口。 第二部分 单元小测（满分 100 分，时间 90 分钟） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把它的代号填在题后的括号内。 1．下列运算中，结果正确的是（ ） A． B． C． D． 2．计算 的结果是（ ） A． B． C． D． 3．计算 的结果是（ ） A． B． C． D． 4．下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ） A． B． C． D． 5．若 ，，则 的值为（ ） A．9 B．20 C．625 D．1 6．已知 ，，则 的值为（ ） A．29 B．49 C．9 D．19 7．若 的积中不含 x 的一次项，则 m 的值为（ ） A．3 B．－3 C．0 D．±3 8．计算 的结果是（ ） A．－4 B．4 C．－1 D．1 9．若 是一个完全平方式，则 k 的值为（ ） A．6 B．－6 C．±6 D．±3 10．一个长方形的长为 ，宽为 ，则这个长方形的面积为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．计算： ____________________． 12．计算： ____________________． 13．若 ，，则 ____________________． 14．已知 ，，则 ____________________． 15．计算： ____________________． 16．若 ，则 __________， __________． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 52 分） 17．（12 分）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 18．（8 分）先化简，再求值： ，其中 ，． 19．（8 分）已知 ，，求下列各式的值： （1）； （2）； （3）． 20．（8 分）如图，一块长方形草坪的长为 米，宽为 米，工人师傅在草坪中间修建了一个边长为 a 米的正方形水池（图中空白部分），其余部分（阴影部分）种植草皮。 第 20 题图 （1）用含 a、b 的代数式表示种植草皮部分的面积（结果化为最简形式）； （2）当 ， 时，求种植草皮部分的面积． 21．（8 分）阅读并解答： （1）已知 ，求 的值； （2）求代数式 的最小值，并写出此时 x 的值． 22．（8 分）观察下列等式： ； ； ； …… （1）根据上述规律，猜想并写出 的结果（n 为正整数）； （2）利用（1）的结论计算：； （3）利用（1）的结论计算：． 第三部分 参考答案与详细解析 一、选择题参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A D B A B A C A 二、填空题参考答案 题号 答案 11 12 13 14 28 15 1 16 ， 三、选择题详细解析 第 1 题　答案：C A 项： 与 是同类项，相加时指数不变、系数相加，，A 错误。 B 项：同底数幂相乘，指数相加，，B 错误。 C 项：幂的乘方，指数相乘，，C 正确。 D 项：同底数幂相除，指数相减，，D 错误。 归纳：加法看“同类项”，乘法看“指数相加”，乘方看“指数相乘”，除法看“指数相减”。四者一字之差，务必分清。 第 2 题　答案：B 积的乘方，把每个因式分别乘方： 注意两点：一是系数 也要乘方，且奇次方结果为负；二是 用的是幂的乘方，指数相乘而不是相加，所以 D 项的 是错的。 第 3 题　答案：A 用多项式乘多项式法则展开： 也可以直接用结论 ：此处 ，，则一次项系数为 ，常数项为 ，故结果为 。 第 4 题　答案：D 能用平方差公式的标志是：两个括号中有一项完全相同，另一项互为相反数。逐项分析： A 项：，是完全平方，不是平方差； B 项：，也是完全平方； C 项：，仍是完全平方； D 项：，其中用到了平方差公式，故选 D。 第 5 题　答案：B 把 逆用同底数幂的乘法法则拆开： 这类题的通法是“见和拆积、见积拆和”，即 ，。 第 6 题　答案：A 由完全平方公式的变形 得： 常见错误是直接写成 ，漏掉了 这一项。 第 7 题　答案：B 先展开：。 “不含 x 的一次项”意味着一次项的系数等于 0，即 ，解得 。 关键提醒：“不含某项”不是“该项不写”，而是“该项系数为 0”。这是本类题的唯一入手点。 第 8 题　答案：A 先把指数拆成相同的部分，再逆用积的乘方公式： 这里用到 ：当两个幂的指数相同时，可以先把底数相乘。 第 9 题　答案：C 是完全平方式，说明它可以写成 的形式。 由 得 ；由 得 。所以 。 易错：只答 6 而漏掉 。凡是“某式是完全平方式，求一次项系数”的题，结果一般有两个，要写成 ±。 第 10 题　答案：A 长方形面积等于长乘宽： 展开时要做到“不重不漏”：前一个括号的每一项都要乘后一个括号的每一项，共 2×2＝4 项，最后合并同类项 。 四、填空题详细解析 第 11 题　答案： 先算乘方，再算乘法： 注意 为正数，系数不要写成 。 第 12 题　答案： 多项式除以单项式，用每一项分别去除： 被除式有 2 项，商也必须有 2 项，第二项的商是 而不是 0。 第 13 题　答案： 把指数中的“差”化为幂的“商”，把系数 2 化为幂的乘方： 本题综合考查同底数幂除法与幂的乘方的逆用，结果保留分数形式即可。 第 14 题　答案：28 由变形公式 得： 也可以这样推：，再有 。 第 15 题　答案：1 设 ，则 ，，于是 本题的关键是用字母代替大数，把 化成平方差的形式，避免繁琐计算。 第 16 题　答案：， 左边展开：。 与右边 比较，对应项系数相等，得 ， 由前式得 ，代入后式得 。 五、解答题详细解析 第 17 题　（12 分，每小题 3 分） （1）先分别算乘方与同底数幂乘法，再合并同类项： 提醒：，，系数都要乘方。 （2）第一部分用平方差公式，第二部分用完全平方公式，注意整体加括号： 易错：去括号时后面三项的符号都要改变，漏改 的符号是最常见的失分点。 （3）先乘方，再乘除，从左到右依次进行： （4）分别展开后合并，注意 ： 第 18 题　（8 分）　答案：化简结果为 ，值为 5 第一步，分别展开中括号内的三部分： 第二步，代回并去括号（注意后两部分前面都是减号）： 第三步，除以 （多项式除以单项式，逐项相除）： 第四步，把 ， 代入化简后的结果： 规范提醒：“先化简，再求值”必须先把式子化到最简，再代入数值；直接代入原式计算既繁琐又容易出错，且不符合题目要求。 第 19 题　（8 分）　答案：（1）13　（2）1　（3）30 （1）利用 ： （2）利用 ： 也可以由（1）的结果推：。 （3）先提取公因式 ，把要求的式子转化为已知条件： 第 20 题　（8 分）　答案：（1） 平方米　（2）80 平方米 （1）种植草皮的面积 ＝ 长方形草坪面积 － 正方形水池面积。 所以种植草皮部分的面积为 平方米。 （2）把 ， 代入（1）的结果： 即当 ， 时，种植草皮部分的面积为 80 平方米。 本题体现“数形结合”：面积问题化为整式运算问题。第（2）问一定要代入化简后的结果，且最后要写单位。 第 21 题　（8 分）　答案：（1）　（2）最小值为 3，此时 （1）把常数 13 拆成 ，再分别配成完全平方： 因为任何数的平方都是非负数，两个非负数的和等于 0，所以它们都等于 0，即 ， 解得 ，，所以 。 （2）对 配方： 因为 ，所以 ；当且仅当 ，即 时，M 取得最小值 3。 配方的口诀：一次项系数的一半的平方，加上又减去。本题是“非负数之和为零”与“配方求最值”两个高频考点的综合。 第 22 题　（8 分） （1）观察三个等式：右边都是 x 的某次幂减 1，且这个次数比左边第二个括号中最高次数大 1。 所以猜想： （2）令 ，。因为 ，所以 即原式的值为 。 （3）令 ，。此时 ，所以 即 ，两边同时除以 2 得 方法总结：这类“求连续幂之和”的题，通法是给原式乘上 凑成已证的恒等式，再把多乘的因数除回去。当底数为 2 时 ，可以直接得出结果，这正是第（2）问比第（3）问简单的原因。 六、评分参考 题型 题号 分值 评分说明 选择题 1 ～ 10 每题 3 分 选对得 3 分，不选、多选、错选均不得分 填空题 11 ～ 16 每题 3 分 第 16 题两空各 1.5 分；结果不化简不得分 解答题 17 12 分 每小题 3 分，运算过程与结果各占一半 解答题 18 8 分 化简正确得 6 分，代入求值正确得 2 分 解答题 19 8 分 （1）3 分，（2）3 分，（3）2 分 解答题 20 8 分 （1）列式 2 分、化简 3 分；（2）3 分，无单位扣 1 分 解答题 21 8 分 （1）4 分（配方 2 分、求值 2 分）；（2）4 分 解答题 22 8 分 （1）3 分，（2）2 分，（3）3 分 —— 本章测试到此结束，祝同学们学有所获！ —— 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $