第四章 一次函数 单元测试 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册第四章一次函数单元卷，通过10道单选、5道填空、5道解答题，覆盖函数定义、图像性质及实际应用，情境真实且梯度合理，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|自变量取值范围、一次函数识别、图像平移|结合“乌鸦喝水”“阶梯水费”等情境，考查数学眼光观察现实| |填空题|5|函数增减性、实际问题关系式、动点图像|设置“垂距点”新定义，培养数学思维推理能力| |解答题|5|函数图像分析、实际应用建模、综合探究|以“脏脏包利润”“行程问题”为载体，体现数学语言表达现实|

第四章 一次函数 单元测试2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．函数自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．下列函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，梯形上底的长为，下底长为，高为，梯形的面积为，则下列说法不正确的是（  ） A．梯形面积与下底长之间的关系式为 B．当时，，此时它表示三角形面积 C．当每增加时，增加 D．当从变到时，的值从变化到 4．我们都知道“乌鸦喝水”的故事．杯中有一定量的水，假设乌鸦向杯中投放完全相同的石子，在水面高度到达杯口边缘之前，每枚石子都浸没水中，从投放第一枚石子开始记数，水面高度与投入的石子个数之间满足的函数关系是（    ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．其他函数关系 5．将函数的图象向上平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 6．市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费（元）与用水量（吨）的函数关系如图所示．若该用户本月用水18吨，则应交水费（   ） A．元 B．45元 C．元 D．48元 7．如图是一次函数与的图象，则下列结论：①；②；③：④方程的解是，正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．网红“脏脏包”是时下最流行的一款面包，“脏脏包”正如其名，它看起来脏脏的，吃完以后嘴巴和手上会因沾上巧克力而变“脏”，因而得名“脏脏包”．某面包店每天固定制作甲、乙两种款型的脏脏包共200个，且所有脏脏包当天全部售出，原料成本、销售单价及店员生产提成如表所示： 甲（元/个） 乙（元/个） 原料成本 12 8 销售单价 18 12 生产提成 1 0.6 设该店每天制作甲款型的脏脏包x（个），每天获得的总利润为y（元）．则y与x之间的函数关系式为（　　） A．y＝1.6x+680 B．y＝﹣1.6x+680 C．y＝﹣1.6x﹣680 D．y＝﹣1.6x﹣6800 9．甲、乙二人沿相同的路线由到匀速行进，，两地间的路程为．他们行进的路程与乙出发后的时间之间的函数图像如图．根据图像信息，下列说法正确的是（    ） A．甲的速度是 B．乙的速度是 C．乙比甲晚出发 D．乙比甲晚到地 10．如图，在矩形OABC中，已知A（6，0），C（0，4），动点P从点A出发，沿A﹣B﹣C﹣O的路线匀速运动，设动点P的运动时间为t，△OAP的面积为S，则下列能大致反映S与t之间关系的图象是（　　）    A． B． C． D． 二、填空题 11．函数中，y 随x的增大而______________ ． 12．某地的地面温度为，如果高度每升高，气温下降，那么气温t（单位：）与高度h（单位：）之间的关系式为________________． 13．如图①，在直角梯形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD运动至点D停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y．若y关于x的函数图象如图②所示，则△BCD的面积是______． 14．点是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点向轴，轴作垂线段，若垂线段的长度的和为4，则点叫做“垂距点”，例如：如图中的是“垂距点”．①点和点中，为“垂距点”的是点______（填或者）；②若一次函数的图象上存在“垂距点”，则“垂距点”坐标是______． 15．如图，直线分别与轴，轴交于点，，直线分别与轴，轴交于点，．直线与相交于点，已知，则点的坐标是______． 三、解答题 16．如图1，在长方形ABCD中，点P从点B出发，沿B→C→D→A运动到点A停止．设点P的运动路程为x，△PAB的面积为y，y与x的关系图象如图2所示． (1)AB的长度为______，BC的长度为______． (2)求图象中a和b的值． (3)在图象中，当m＝15时，求n的值． 17．甲、乙两地相距120km，现有一列火车从乙地出发，以80km/h的速度向甲地行驶．设x（h）表示火车行驶的时间，y（km）表示火车与甲地的距离． （1）写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数； （2）当x=0.5时，求y的值． 18．已知是的正比例函数，当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)当，求的值． 19．周六，小峰去博物馆参观学习．他从家出发，先去早餐店吃完早餐，然后继续骑自行车去博物馆，参观完博物馆后直接骑自行车回家，如图是小峰离家的距离（）和时间（）之间的关系．根据图象完成下列各题 (1)在这个过程中，自变量是__________，因变量是__________； (2)点A表示的是什么？小峰在博物馆参观了多少分钟？ (3)小峰从博物馆骑自行车回家的平均速度是多少？ 20．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方研究函数的图象和性质，并解决问题． （1）填空： ①当x＝0时，　 　； ②当x＞0时，　 　； ③当x＜0时，　 　； （2）在平面直角坐标系中作出函数的图象； （3）观察函数图象，写出关于这个函数的两条结论； （4）进一步探究函数图象发现： ①函数图象与轴有　　个交点，方程有　　个解； ②方程有　　个解； ③若关于的方程无解，则的取值范围是　 　． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D B B C C A B C 1．【答案】C 【知识点】求自变量的取值范围、二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴ 解得， ∴自变量x的取值范围是． 2．【答案】B 【知识点】识别一次函数 【分析】本题考查了一次函数的定义，解题的关键是掌握一次函数的一般形式（、为常数，）． 根据一次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、，其中的次数是2，不是一次函数，不符合题意； B、，符合一次函数的一般形式，是一次函数，符合题意； C、，分母中含有自变量是，不是一次函数，不符合题意； D、，分母中含有自变量是，不是一次函数，不符合题意． 故选：B． 3．【答案】D 【知识点】用关系式表示变量间的关系、求自变量的值或函数值 【分析】本题考查了变量间的关系，正确理解题意是解题的关键．根据梯形面积公式得出与之间的关系；结合关系式逐项分析即可得解． 【详解】解∶．∵梯形上底的长是，下底的长是，高是， ∴梯形的面积与下底长之间的关系式为：，该项正确，不符合题意； ．当时，，此时它表示三角形面积，该选项正确，不符合题意； ．∵， ∴当每增加时，增加，故该选项正确，不符合题意； ．当时，， 当时，， 当从变到时，的值从变化到，故该选项错误，符合题意； 故选∶． 4．【答案】B 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】本题考查函数关系的识别，根据题意设水面原来高度为b，每枚石子可以使水面上升高度为k，可以得到，即可得出结论． 【详解】解：设水面原来高度为b，每枚石子可以使水面上升高度为k，投放x枚石子后水面高度为y，则，符合一次函数解析式， 故选B． 5．【答案】B 【知识点】一次函数图象平移问题 【详解】解：将函数的图象向上平移2个单位长度，得． 6．【答案】C 【知识点】梯度计价问题 【分析】分和，求得解析式，根据自变量的范围，选择解析式后代入计算解答即可． 本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法，求函数值是解题的关键． 【详解】解：当时，设解析式为， 把代入解析式，得， 解得， 故解析式为 当时，设直线的解析式为，代入，， 得， 解得， 直线的解析式为， ， 故， 故选：C． 7．【答案】C 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、利用图象法解一元一次方程 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，一次函数图象与性质，根据一次函数的性质和一次函数与一元一次方程的关系进行判断即可；准确分析判断是解题的关键． 【详解】∵一次函数＝经过第一、二、四象限， ∴，，故①③正确； ∵直线＝的图象与轴的交点在轴下方， ∴，故②错误； ∵一次函数＝与＝的图象的交点横坐标为3， ∴当时，＝，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，共3个． 故选：C． 8．【答案】A 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用) 【详解】根据总利润＝单个利润×生产的个数，即可求解． 【解答】解：由题意得：y＝（18﹣12﹣1）x+（12﹣8﹣0.6）（200﹣x）＝1.6x+680， 故y与x之间的函数关系式为：y＝1.6x+680， 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 9．【答案】B 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一次函数的图像和性质． 根据图像信息分析结论即可． 【详解】A．由图像可判断，甲一小时走了，故甲的速度是，选项不符合题意． B．由图像可判断，乙4小时走了，故乙的速度是,选项符合题意． C．由图像可判断，乙先出发1小时，选项不符合题意． D．由图像可判断，乙比甲晚到地，选项不符合题意． 故选：B． 10．【答案】C 【知识点】动点问题的函数图象、画一次函数图象 【分析】分三段求解：①当在上运动时；②当在上时；③当在上；分别求出关于的函数关系式即可选出答案． 【详解】解：设的速度为 ①当在上运动时，， 、， ，， ； ②当在上时， ； ③当在上 ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题的关键是根据图形求出关于的函数关系式． 11．【答案】减小 【知识点】判断一次函数的增减性 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，在一次函数中，当时，y 随x的增大而增大，当时，y 随x的增大而减小，据此可得答案． 【详解】解：∵在函数中，， ∴y 随x的增大而减小， 故答案为：减小． 12．【答案】 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】此题主要考查了根据实际问题列一次函数解析式，解决本题的关键是得到高度为千米时的温度的等量关系． 根据气温=地面温度-降低的温度，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：∵高度每升高km，气温下降°C， ∴气温（℃）与高度（km）之间的函数关系式为：， 故答案为：. 13．【答案】3 【知识点】从函数的图象获取信息、动点问题的函数图象 【分析】由图2可知，当到P与C重合时最大，△ABP的面积最大，此时可求得BC=2；然后可知当P在CD上移动时面积不变，可知CD＝5-2＝3，因此可求△BCD的面积． 【详解】解：动点P从直角梯形ABCD的直角顶点B出发，沿BC，CD的顺序运动，则△ABP面积y在BC段随x的增大而增大； 在CD段，△ABP的底边不变，高不变，因而面积y不变化．由图2可以得到：BC=2，CD=3，△BCD的面积是×2×3=3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，理解问题，弄清题意，能够通过图象知道随自变量的增大，函数值是增大还是减小是解题的关键． 14．【答案】 或 【知识点】求点到坐标轴的距离、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查一次函数的定义，点到坐标轴的距离，解题的关键是正确理解题意．①由题意可知点横纵坐标的绝对值的和为4，即可判断点和点中为“垂距点”的是；②设一次函数图象上“垂距点”的坐标是，由题意得，分情况解方程即可． 【详解】解：①由题意可知，过点向轴，轴作垂线段，垂线段的长度的和为，则点是“垂距点”； 过点向轴，轴作垂线段，垂线段的长度的和为，则点不是“垂距点”； ②设一次函数图象上“垂距点”的坐标是， 由题意得， 当且时，即，此时，，解得，符合题意，则，故“垂距点”坐标是； 当且时，即，此时，，解得，不符合题意； 当且时，即，此时，，解得，且，符合题意，则，故“垂距点”坐标是； 综上，一次函数的图象上“垂距点”的坐标是或． 故答案为：；或． 15．【答案】 【知识点】一次函数与几何综合、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】先求出点的坐标，根据，求出点坐标，进而求出直线的解析式，联立两个解析式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，；当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 把代入，得， ∴， 联立，解得， ∴点的坐标是． 16．【答案】(1)8、5 (2)a=18、b=20 (3)12 【知识点】从函数的图象获取信息、动点问题的函数图象 【分析】（1）根据函数图象直接可得答案； （2）利用三角形的面积公式结合图象可得a和b的值； （3）首先确定点P在AD上，求出AP的长，再代入三角形面积公式即可. 【详解】（1）解：由图2知，当x=5时，点P与C重合， ∴BC=5， 当x=13时，点P与D重合， ∴BC+CD=13， ∴CD=8=AB， 故答案为：8，5； （2）当P与C点重合时， ＝， 当点P与A重合时， ＝5＋8＋5＝18； （3）∵ ， ∴此时点P在AD边上，且AP＝3． ∴． 【点睛】题目主要考查函数图象中的动点问题，理解题意，结合函数图象及图形得出相关信息是解题关键． 17．【答案】（1），y是x的一次函数；（2） 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】（1）根据题意，首先计算得出y与x之间的关系式，再根据一次函数的性质分析，即可得到答案； （2）根据（1）的结论，将x=0.5代入到一次函数并计算，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，火车与乙地的距离表示为：80x（km） ∵甲、乙两地相距120km ∴火车与甲地的距离表示为：（km），即； 当火车到达甲地时，即 ∴，即火车行驶1.5h到达甲地 ∴ y是x的一次函数； （2）根据（1）的结论，得：． 【点睛】本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解． 18．【答案】(1) (2) 【知识点】正比例函数的定义、正比例函数的性质 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，正比例函数的定义，掌握正比例函数的定义是解题的关键． （1）根据正比例函数的定义，设，待定系数法求解析式即可求解； （2）将代入中，即可求解． 【详解】（1）解：∵y与x成正比例， ∴设， 将，代入中，得 解得， ∴y关于x的函数表达式为； （2）将代入中，得：， 解得． 19．【答案】(1)小峰离家时间，小峰离家的距离； (2)点A表示17分钟时小峰到达博物馆，此时离家3000米；小峰在博物馆参观了50分钟 (3)． 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了从函数图像中获取信息，解题的关键是找出变化过程中的自变量和因变量． （1）根据图象作答即可； （2）根据图象作答即可 （3）根据图象得出作从博物馆到家的距离和回家的时间，再作答即可． 【详解】（1）解：由题意得：自变量是小峰离家时间，因变量是小峰离家的距离； 故答案为：小峰离家时间，小峰离家的距离； （2）由图知：点A表示17分钟时小峰到达博物馆，此时离家3000米；小峰在博物馆参观了50分钟； （3）由图知：小峰从博物馆骑自行车回家的平均速度为： ． 20．【答案】（1）2；-x+2，x+2； （2）函数y＝|x|+2的图象，如图所示： （3）函数图象关于y轴对称；当x=0时，y有最大值2；（4）①2  2；②1；③． 【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解、利用图象法解一元一次方程、画一次函数图象、绝对值的几何意义 【分析】（1）利用绝对值的意义，分别代入计算，即可得到答案； （2）结合（1）的结论，画出分段函数的图像即可； （3）结合函数图像，归纳出函数的性质即可； （4）结合函数图像，分别进行计算，即可得到答案； 【详解】解：（1）①当x＝0时，； ②当x＞0时，； ③当x＜0时，； 故答案为：2；x+2；x+2； （2） 略 （3）函数图象关于y轴对称； 当x=0时，y有最大值2．（答案不唯一） （4）①函数图象与轴有2个交点，方程有2个解； ②方程有1个解； ③若关于的方程无解，则的取值范围是． 故答案为：2；2；1；． 【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质，绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握题意，正确的画出图像． 学科网（北京）股份有限公司 $