第五章 二元一次方程组 单元小测 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册第五章二元一次方程组单元卷，含知识点总结与易错警示，覆盖全章核心知识，适配单元复习，助力巩固概念与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二元一次方程判断、解的检验、解法选择|注重概念辨析，考查抽象能力| |填空题|6/24|方程定义应用、解的代入、参数问题|强化基础，培养符号意识| |解答题|7/66|解方程组（代入/加减）、应用题（行程/销售/数字）、拼图问题|综合应用，发展模型意识与几何直观|

北师大版数学　八年级上册 第五章　二元一次方程组　单元小测 知识点总结 ＋ 单元测试 ＋ 答案与解析 班级：＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿　学号：＿＿＿＿＿＿　得分：＿＿＿＿＿＿ 【使用说明】本卷依据北师大版数学八年级上册第五章「二元一次方程组」编写，覆盖「认识二元一次方程组」「求解二元一次方程组」「应用二元一次方程组」（鸡兔同笼、增收节支、里程碑上的数、打折销售）「二元一次方程与一次函数」「三元一次方程组」等全部内容，不涉及本章以外的知识。 全卷分三部分：第一部分为知识点总结；第二部分为单元小测，满分 分，建议用时 分钟；第三部分为参考答案与解析。 第一部分　知识点总结 知识点 1　二元一次方程与二元一次方程组 1．二元一次方程　含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 次的整式方程，叫做二元一次方程。 三个必备条件（缺一不可）： （1）含有两个未知数； （2）未知数的项的次数都是 ； （3）是整式方程（分母中不能含有未知数）。 例如 、 都是二元一次方程； 而 （ 的次数是 ）、（不是整式方程）、（次数是 ）都不是。 2．二元一次方程组　由两个二元一次方程组成的方程组，叫做二元一次方程组。 注意：方程组中一共只含有两个未知数，但并不要求每个方程都同时含有这两个未知数。例如 也是二元一次方程组。 3．方程组的解　使方程组中每一个方程都成立的一对未知数的值，叫做这个二元一次方程组的解。 注意：二元一次方程的解有无数对，而二元一次方程组的解通常只有一对。 检验方法：把这对值分别代入两个方程，只有两个方程同时成立才是方程组的解。 知识点 2　解二元一次方程组的两种方法 核心思想：消元——把「二元」转化为「一元」。 方法一　代入消元法 步骤： 第一步　从一个方程中用含一个未知数的式子表示另一个未知数（选系数为 或 的那个未知数最简便）； 第二步　把这个式子代入另一个方程，得到一元一次方程； 第三步　解这个一元一次方程； 第四步　把求得的值回代，求出另一个未知数； 第五步　把结果写成 ， 的形式。 例　解方程组 把 ① 代入 ②，得 ， 去括号得 ，即 ，所以 ； 把 代入 ①，得 。 所以原方程组的解是 ，。 方法二　加减消元法 步骤： 第一步　观察两个方程中同一未知数的系数，若相同或互为相反数可直接加减；否则给方程两边同乘适当的数，使某个未知数的系数相同或互为相反数； 第二步　两个方程相减（系数相同时）或相加（系数互为相反数时），消去一个未知数； 第三步　解得到的一元一次方程，再回代求另一个未知数。 例　解方程组 因为 的系数互为相反数，① ② 得 把 代入 ①，得 ，即 ，所以 。 所以原方程组的解是 ，。 选择方法的经验： （1）某个未知数的系数是 或 优先用代入法； （2）某个未知数的系数相同或互为相反数 优先用加减法； （3）两种情况都不满足时，用加减法并先把系数通分（乘成最小公倍数）。 知识点 3　二元一次方程组的应用 解应用题的五个步骤（「审、设、列、解、答」） 第一步　审：审清题意，找出两个等量关系； 第二步　设：设两个未知数（一般直接设所求的量）； 第三步　列：根据两个等量关系列出方程组； 第四步　解：解方程组； 第五步　答：检验结果是否符合实际，然后作答。 常见题型与等量关系 （1）鸡兔同笼（数量与总量） （2）行程问题 图 5-1　相向而行（路程之和）与同向而行（路程之差） 相遇问题：； 追及问题：； 顺流逆流：，。 （3）增收节支（百分数）　设原来的量为 ，增长 后为 ，减少 后为 。 （4）打折销售 （5）里程碑上的数（数字问题）　一个两位数，十位数字为 、个位数字为 ，则这个数是 交换十位数字与个位数字后得到的新数是 。 （6）配套问题　按比例配套，如 个桌面配 条桌腿，则 图 5-2　拼图问题：，且大长方形的高为 知识点 4　二元一次方程与一次函数 1．二元一次方程与一次函数的关系　二元一次方程 （）可以变形为 它是一个一次函数。因此： 以二元一次方程的解为坐标的点，都在相应的一次函数的图象上；反过来，这条直线上任意一点的坐标，都是这个二元一次方程的解。 2．用图象法解二元一次方程组　两个二元一次方程分别对应两条直线，方程组的解就是这两条直线的交点坐标。 图 5-3　直线 与 的交点 ，即方程组的解 3．三种位置关系与解的个数 （1）两条直线相交（ 不同） 方程组有唯一一组解； （2）两条直线平行（ 相同、 不同） 方程组无解； （3）两条直线重合（、 都相同） 方程组有无数组解。 知识点 5　三元一次方程组 1．定义　含有三个未知数，每个方程中未知数的项的次数都是 ，且一共有三个方程的方程组，叫做三元一次方程组。 2．解法思路　消元降次： 具体步骤： 第一步　观察三个方程，选定一个最容易消去的未知数； 第二步　用两组方程分别消去这个未知数，得到一个二元一次方程组； 第三步　解这个二元一次方程组； 第四步　把求得的两个值代回原方程，求出第三个未知数。 知识点 6　易错警示 ① 判断二元一次方程时忽略「整式」条件。 不是二元一次方程。 ② 误认为 是二元一次方程。 这一项的次数是 ，不是 。 ③ 代入时忘记加括号。把 代入 必须写成 ，漏掉括号会导致符号错误。 ④ 加减消元时只把一边乘以某个数。方程两边都要乘，等号才成立。 ⑤ 相减时符号出错。① ② 时，要把 ② 中每一项都变号，特别注意常数项。 ⑥ 求出一个未知数后忘记回代。方程组的解必须写出两个未知数的值。 ⑦ 应用题只找到一个等量关系。二元一次方程组需要两个独立的等量关系。 ⑧ 应用题忘记检验实际意义。人数、件数必须是非负整数，价格必须为正。 ⑨ 图象法中把交点的横坐标当作方程组的解。方程组的解是一对数，即交点的横坐标和纵坐标。 ⑩ 写解时格式不规范。应写成 ， 的形式，表示这两个值同时成立。 第二部分　单元小测（满分 分，时间 分钟） 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1． 下列方程中，是二元一次方程的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2． 下列各组数中，是方程组 的解的是（　　） A．，　　B．，　　C．，　　D．， 3． 方程 的正整数解共有（　　） A． 组　　B． 组　　C． 组　　D．无数组 4． 用加减法解方程组 ，最简便的做法是（　　） A．① ②　　B．① ②　　C．① ②　　D．① ② 5． 若 ， 是方程 的解，则 的值是（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 6． 二元一次方程组 的解的情况是（　　） A．有唯一一组解　　B．无解　　C．有无数组解　　D．无法确定 7． 如图，直线 与直线 相交于点 ，则方程组 的解是（　　） 第 7 题图 A．，　　B．，　　C．，　　D．， 8． 某班共有学生 人，其中男生比女生多 人。设男生有 人、女生有 人，则所列方程组正确的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 9． 鸡兔同笼，共有头 个、脚 只。设鸡有 只、兔有 只，则下列方程组正确的是（　　） A．　　B． C．　　D． 10． 若方程组 的解满足 ，则 的值是（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11． 若 是二元一次方程，则 ＿＿＿＿，＿＿＿＿。 12． 已知 ， 是方程 的解，则 ＿＿＿＿。 13． 方程 的所有正整数解共有＿＿＿＿组。 14． 若 ，则 ＿＿＿＿，＿＿＿＿。 15． 一个两位数，十位数字为 、个位数字为 ，则这个两位数可以表示为＿＿＿＿。 16． 若关于 、 的方程组 有无数组解，则 ＿＿＿＿。 三、解答题（本题共 7 小题，共 66 分） 17．（12 分）解下列方程组。 （1）（用代入法） （2）（用加减法） （3） 18．（8 分）已知方程组 。 （1）解这个方程组； （2）求 的值； （3）若这组解也是方程 的解，求 的值。 19．（10 分）某电影院一场电影售出成人票和学生票共 张，成人票每张 元，学生票每张 元，共收入 元。 （1）设成人票售出 张、学生票售出 张，找出题目中的两个等量关系； （2）列出方程组并求解； （3）若下一场把学生票降为每张 元，且两种票的张数都不变，求这一场的总收入。 20．（10 分）、 两地相距 千米。甲从 地出发、乙从 地出发，两人同时出发。 第 20 题图 （1）若两人相向而行， 小时后相遇，列出关于甲的速度 （千米/时）与乙的速度 （千米/时）的方程； （2）若两人同向而行（甲在后、乙在前，甲追乙）， 小时后甲追上乙，再列出一个方程； （3）求甲、乙两人的速度。 21．（10 分）某商店购进甲、乙两种商品。已知购进甲种商品 件、乙种商品 件共需 元；购进甲种商品 件、乙种商品 件共需 元。 （1）求甲、乙两种商品每件的进价； （2）若甲种商品每件售价 元，乙种商品每件售价 元，求商店购进甲、乙两种商品各 件并全部售出后的总利润； （3）若乙种商品按标价 元打八折出售，求每件乙种商品的利润。 22．（8 分）一个两位数，十位数字与个位数字之和是 ；如果把十位数字与个位数字交换位置，得到的新两位数比原两位数大 。 （1）设原两位数的十位数字为 、个位数字为 ，用含 、 的式子表示原两位数和新两位数； （2）列出方程组； （3）求这个两位数。 23．（8 分）解下列问题。 （1）如图，一个大长方形由 个相同的小长方形拼成（上排 个横放，下排 个竖放）。设小长方形的长为 cm、宽为 cm，由「上、下两排的宽度相等」写出一个方程； 第 23 题图 （2）若大长方形的周长为 cm，再列出一个方程； （3）求小长方形的长和宽； （4）求大长方形的面积。 第三部分　参考答案与解析 一、选择题 1．B 【解析】二元一次方程需同时满足三个条件：含两个未知数、未知数项的次数都是 、是整式方程。 A． 这一项的次数是 ，不符合； B．含 、 两个未知数，次数都是 ，且是整式方程，是二元一次方程； C． 的分母含未知数，不是整式方程； D． 的次数是 ，不符合。 2．B 【解析】把各选项代入两个方程逐一检验。 取 ，： 成立； 也成立。 所以 B 是方程组的解。 A 中 ；C 中 成立但 ；D 中 ，都不是。 【易错点】必须两个方程同时成立才是方程组的解，只验证一个方程会误选。 3．C 【解析】由 得 。要求 、 都是正整数，则 当 时，； 当 时，； 当 时，； 当 时，，不合要求。 所以正整数解共有 组。 4．B 【解析】两个方程中 的系数相同（都是 ），所以用 ① ② 可以直接消去 ： 系数相同用减，系数互为相反数用加，这是加减消元法的基本判断。 5．C 【解析】把 ， 代入 ，得 即 ，移项得 ，所以 。 6．C 【解析】把第二个方程 两边同除以 ，得 ，与第一个方程完全相同。 这说明两个方程对应的是同一条直线（两直线重合），所以方程组有无数组解。 【方法总结】判断解的个数，可把两个方程都化成 的形式： 不同则唯一解； 相同、 不同则无解；、 都相同则无数组解。 7．B 【解析】方程组的解就是两条直线交点的坐标。由图可知交点 ，所以方程组的解是 ，。 代入检验： 成立， 也成立。 8．A 【解析】两个等量关系是： 总人数：； 男生比女生多 人：。 所以选 A。 【易错点】「男生比女生多 人」是 ，不要写成 。 9．A 【解析】鸡有 只脚、兔有 只脚。两个等量关系是： 头数：； 脚数：。 所以选 A。选项 B 把鸡兔的脚数弄反了。 10．C 【解析】方法一（直接相加，最简便）：把两个方程相加，得 即 ，两边同除以 得 所以 。 方法二（先解出方程组）：由 ① ② 得 ，；代回 ① 得 。所以 。 【方法总结】求 或 的值时，常常不必解出方程组，把两个方程整体相加或相减往往更快。 二、填空题 11． ；　 【解析】二元一次方程中未知数的次数都必须是 ，所以 由 得 ；由 得 ，所以 。 12． 【解析】把 ， 代入 ，得 即 ，所以 。 13． 【解析】由 得 。要求 、 都是正整数： 当 时，； 当 时，； 当 时，； 当 时，，不是正整数，不合要求。 所以正整数解共有 组。 14． ；　 【解析】绝对值与平方都是非负数，两个非负数的和为 ，只能它们同时为 ： 即 两式相加得 ，所以 ；代回 得 。 15． 【解析】十位数字表示 个十，个位数字表示 个一，所以这个两位数是 。 【易错点】不能写成 ，那表示 与 的乘积。 16． 【解析】方程组有无数组解，说明两个方程实质上是同一个方程。 把第一个方程两边同乘 ，得 。 与第二个方程 对比，得 。 三、解答题 17．（12 分） （1） 把 ① 代入 ②，得 去括号得 ， 合并得 ，所以 。 把 代入 ①，得 。 所以原方程组的解是 ，。 （2） 的系数相同（都是 ），① ② 得 去括号得 ，即 把 代入 ①，得 ，即 ，所以 。 检验 ②： ✓。 所以原方程组的解是 ，。 （3） 为消去 ，把 ① 、② ，得 ③ ④ 得 ，所以 。 把 代入 ①，得 ，即 ，所以 。 所以原方程组的解是 ，。 18．（8 分） （1） 的系数互为相反数，① ② 得 把 代入 ②，得 ，所以 。 所以方程组的解是 ，。 （2） （3）把 ， 代入 ，得 移项得 ，所以 19．（10 分） （1）两个等量关系： ① 票数关系：成人票张数 学生票张数 ； ② 收入关系：成人票收入 学生票收入 元。 （2）设成人票售出 张、学生票售出 张，由题意得 由 ① 得 ，代入 ②，得 去括号得 ， 合并得 ，所以 。 把 代入 ，得 。 所以成人票售出 张，学生票售出 张。 （3）学生票降为每张 元后，总收入为 所以这一场的总收入是 元。 20．（10 分） （1）相向而行时，两人所走的路程之和等于 的距离。 小时后相遇，所以 两边同除以 ，化简得 （2）同向而行时（甲在后追乙），甲比乙多走的路程等于开始时两人的距离 千米。 小时后追上，所以 两边同除以 ，化简得 （3）① ② 得 把 代入 ①，得 ，所以 。 检验：相遇时 ✓；追及时 ✓。 所以甲的速度是 千米/时，乙的速度是 千米/时。 【方法总结】行程问题的两个基本模型：相向相遇看路程之和，同向追及看路程之差。列式后先约分再解，可以大大减少计算量。 21．（10 分） （1）设甲种商品每件进价 元、乙种商品每件进价 元，由题意得 ① ② ，得 两式相减得 把 代入 ①，得 ，即 ，所以 。 所以甲种商品每件进价 元，乙种商品每件进价 元。 （2）甲种商品每件利润为 乙种商品每件利润为 各购进并售出 件，总利润为 （3）打八折即按标价的 出售，所以售价为 每件乙种商品的利润为 【方法总结】遇到两个方程中 、 的系数「交叉对称」（如 、 与 、）时，把两式相加可得 ，相减可得 ，这样解起来更快。 22．（8 分） （1）原两位数的十位数字为 、个位数字为 ，所以 交换十位数字与个位数字后，新数的十位数字是 、个位数字是 ，所以 （2）由「两个数字之和是 」得 由「新数比原数大 」得 去括号、合并得 ，两边同除以 得 （3）① ② 得 把 代入 ①，得 ，所以 。 所以原两位数是 检验： ✓；交换后得 ，而 ✓。 所以这个两位数是 。 【易错点】「新数比原数大 」是新数减原数等于 ，不要写反。写成 会解出负数，不合题意。 23．（8 分） （1）上排是 个小长方形横放，宽度为 ； 下排是 个小长方形竖放，宽度为 。 两排的宽度相等，所以 （2）大长方形的宽为 ，高为上排的高 加下排的高 ，即 。 所以周长为 化简得 ，两边同除以 得 （3）由 ① 得 ，代入 ②，得 两边同乘 ，得 合并得 ，所以 。 把 代入 ①，得 ，所以 。 所以小长方形的长是 cm，宽是 cm。 （4）大长方形的宽为 高为 所以面积为 检验：周长为 cm ✓，与题意相符。 【学后反思】本章可以概括为「消元」两个字： ① 解方程组——代入法与加减法本质相同，都是把二元化为一元。系数为 或 时用代入法，系数相同或互为相反数时用加减法，三元方程组则是「三元 二元 一元」逐步消元。 ② 列方程组——应用题的关键在于找两个独立的等量关系。行程看路程的和与差，销售看利润与进价，数字问题要用 表示两位数。 ③ 数形结合——二元一次方程对应一条直线，方程组的解就是两条直线的交点。这一视角把本章与第四章「一次函数」连了起来。 1 学科网（北京）股份有限公司 $