第五章 二元一次方程组 单元卷 2026－2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦二元一次方程组单元复习，通过基础巩固、情境应用及创新探究，全面考查概念理解、运算能力与模型意识，适配初中数学单元学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二元一次方程定义（1）、解的应用（2）、方程组概念（3）、实际情境建模（6《孙子算经》问题）|基础概念与情境应用结合，考查抽象能力| |填空题|6/18|方程变形（11）、解的关系（13）、配套问题（15茶壶茶杯）|注重运算能力与简单模型意识| |解答题|8/72|解方程组（17）、整体代入法（18）、错解分析（19）、实际应用（20购物/23租车方案）、整体思想探究（24）|分层设计，基础运算（17）与创新探究（24）兼顾，突出模型意识与推理能力|

第五章 二元一次方程组（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列方程中，属于二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2、二元一次方程的正整数解有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 3、下列方程组中是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 4、已知是关于，的二元一次方程的一个解，那么的值为（   ） A．3 B．1 C． D． 5、李明解出方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数▲和■，则两个数▲和■分别为（　　） A．10，4 B．4，10 C．3，10 D．10，3 6、《孙子算经》中有这样一道题：今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？其大意是：现有若干人和车，若3人坐一辆车，则空余两辆车；若2人坐一辆车，则有9人步行，问：人与车各多少？设车有x辆，人有y人，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 7、小明和小亮练习赛跑，如果小明让小亮先跑2秒，那么小明跑6秒就追上小亮，如果小明让小亮先跑16米，那么小明跑8秒就追上小亮．则小明和小亮每秒跑的路程分别为（ ） A. 6米，4米 B. 10米，8米 C. 8米，6米 D. 6米，8米 8、若关于x、y方程组与有相同的解，则的值为（　　） A. 2026 B. -2026 C. 1 D. 9、若关于、的二元一次方程组的解为，则关于、的二元一次方程组的解为（ ） A． B． C． D． 10、如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、把方程写成用含的代数式表示的形式，则 ． 12、已知方程组，则_______________． 13、若二元一次方程组的解与的和等于，则的值为____________． 14、如图，一次函数与的图象交于点，则关于、的方程组的解是 ． 15、中国瓷器以其精湛的工艺和精美的图案享誉世界．某瓷器厂一车间有14名工人，每名工人每天可以加工10只茶壶或30只茶杯． 1只茶壶需要配4只茶杯，为使每天加工的茶壶和茶杯刚好配套，该车间应安排__________名工人加工茶壶． 16、探究不定方程：小聪同学在学习方程过程中，发现三元一次方程组，虽然解不出的具体数值，但可以解出的值．他的思路是：得，所以．根据以上探究，请解决下列问题：已知，则的值为______． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题9分, 22-24，每题11分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、解方程组． 18、阅读理解题． 解方程组：时，可以采用一种“整体代入”的解法： 将方程②变形为：，即：③ 把①代入③得，所以， 把代入①得， 因此，原方程组的解是：． 请你根据上面的理解，运用“整体代入”法解方程组：． 19、在解方程组，甲看错了方程组中的，得到的解为，乙看错了方程组中的，得到的解是． (1)求原方程组中、的值各是多少？ (2)求出原方程组中的正确解． 20、小明的妈妈在菜市场买回2斤萝卜和1斤排骨，准备做萝卜排骨汤，下面是他的爸爸和妈妈的一段对话： 妈妈：今天买了这两样菜共花了14.52元，上个月同等重量的这两样菜要15.6元． 爸爸：电视新闻上说今天的萝卜单价比上个月上涨了20%，排骨单价比上个月下降了10%． 请你根据小明的爸爸和妈妈的对话分别求出今天萝卜和排骨的单价． 21、经营户刘师傅在蔬菜批发市场上了解到以下信息内容： 蔬菜品种 红辣椒 黄瓜 西红柿 茄子 批发价（元公斤） 零售价（元公斤） 刘师傅共用元钱从市场上批发了红辣椒和西红柿共公斤到菜市场去零售，请你根据表中的信息解答下列问题： （1）请计算刘师傅批发红辣椒和西红柿各多少公斤？ （2）若刘师傅当天卖完批发蔬菜，请问他能赚多少钱？ 22、某纸品加工厂利用边角料裁出正方形和长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形的边长相等（如图），再将它们制作成甲乙两种无盖的长方体小盒（如图）．（注：图中向上的一面无盖） （1）如果制作甲、乙两种无盖的长方体小盒各一个，则共需长方形纸片____张，正方形纸片____张； （2）现将张长方形硬纸片和张正方形硬纸片全部用于制作这两种小盒，可以做成甲乙两种小盒各多少个？ 23、已知用2辆型车和1辆型车装满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车装满货物一次可运货11吨，某物流公司现有31吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)一辆型车和一辆型车装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮物流公司设计出所有可行的租车方案． (3)若型车每辆租金1000元/次，型车每辆租金1200元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金费． 24、已知满足求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这种方法利用了“整体思想”．请你利用“整体思想”，解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，则_______，_______； (2)买5支铅笔，2块橡皮，1本日记本共需35元，买4支铅笔，3块橡皮，2本日记本共需47元，求购买11支铅笔，3块橡皮，1本日记本共需多少元． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 二元一次方程组（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列方程中，属于二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，属于二次项，所以不是一次方程，故此选项错误； B．，属于三元一次方程，故此选项错误； C．，属于二元二次方程，故此选项错误； D．，属于二元一次方程，故选项正确． 2、二元一次方程的正整数解有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， 当时，；当时，； 则方程的正整数解有2组， 3、下列方程组中是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．是三元一次方程组，故A不符合题意； B． 是二元二次方程组，故B不符合题意； C．是二元一次方程组，故C符合题意； D．是分式方程组，故D不符合题意． 4、已知是关于，的二元一次方程的一个解，那么的值为（   ） A．3 B．1 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程的一个解， ∴， 解得：， 5、李明解出方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数▲和■，则两个数▲和■分别为（　　） A．10，4 B．4，10 C．3，10 D．10，3 【答案】A 【详解】解：把代入中，得：，解得：， ■， ， ▲． 6、《孙子算经》中有这样一道题：今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？其大意是：现有若干人和车，若3人坐一辆车，则空余两辆车；若2人坐一辆车，则有9人步行，问：人与车各多少？设车有x辆，人有y人，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解∶根据题意，得， 7、小明和小亮练习赛跑，如果小明让小亮先跑2秒，那么小明跑6秒就追上小亮，如果小明让小亮先跑16米，那么小明跑8秒就追上小亮．则小明和小亮每秒跑的路程分别为（ ） A. 6米，4米 B. 10米，8米 C. 8米，6米 D. 6米，8米 【答案】C 【详解】解：设小明的速度为米/秒，小亮的速度为米/秒，则 ，解得， 小明和小亮每秒跑的路程分别为8米，6米， 8、若关于x、y方程组与有相同的解，则的值为（　　） A. 2026 B. -2026 C. 1 D. 【答案】C 【详解】解：由题意，得 ， ，得 ， ∴， 把代入②得 ， ∴， 解得； 将代入，得， ，得， 解得：， 把代入④得， 解得： ． ===1， 9、若关于、的二元一次方程组的解为，则关于、的二元一次方程组的解为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵关于、的二元一次方程组的解为， ∴， ∴关于、的二元一次方程组的解，即， 10、如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由图象可得一次函数的图象与的图象相交于点， ∴方程组的解为， 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、把方程写成用含的代数式表示的形式，则 ． 【答案】 【详解】解：原式为：， 把y移到等号的一边，其它项都移到等号另一边，得， 故答案为：． 12、已知方程组，则_______________． 【答案】8 【详解】解：， ①②得：， 故答案为：8． 13、若二元一次方程组的解与的和等于，则的值为____________． 【答案】 【详解】解：令， 由得，， 由得，， ∴得，， 把代入式，得，解得：， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 14、如图，一次函数与的图象交于点，则关于、的方程组的解是 ． 【答案】 【详解】解：∵一次函数与的图象交于点， ∴关于、的方程组的解是． 故答案为：． 15、中国瓷器以其精湛的工艺和精美的图案享誉世界．某瓷器厂一车间有14名工人，每名工人每天可以加工10只茶壶或30只茶杯． 1只茶壶需要配4只茶杯，为使每天加工的茶壶和茶杯刚好配套，该车间应安排__________名工人加工茶壶． 【答案】6 【详解】解：设名工人加工茶杯，名工人加工茶壶， 根据题意得：， 解得：， 故8名工人加工茶杯，6名工人加工茶壶． 故答案为：6． 16、探究不定方程：小聪同学在学习方程过程中，发现三元一次方程组，虽然解不出的具体数值，但可以解出的值．他的思路是：得，所以．根据以上探究，请解决下列问题：已知，则的值为______． 【答案】1 【详解】解： ，得：， ，得：， ∴， 故答案为：1. 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题9分, 22-24，每题11分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、解方程组． 【答案】 详解】解：， ，得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， ∴这个方程组的解为． 18、阅读理解题． 解方程组：时，可以采用一种“整体代入”的解法： 将方程②变形为：，即：③ 把①代入③得，所以， 把代入①得， 因此，原方程组的解是：． 请你根据上面的理解，运用“整体代入”法解方程组：． 【答案】 【详解】解：     将方程②变形为：，即：③ 把①代入③得， 所以， 把代入①得， 因此，原方程组的解是：． 19、在解方程组，甲看错了方程组中的，得到的解为，乙看错了方程组中的，得到的解是． (1)求原方程组中、的值各是多少？ (2)求出原方程组中的正确解． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：， 将代入②得， 将代入①得， ，． （2）解：由（1）得，， 原方程组为， ①2②，得：， 解得：， 将代入①，得：， 解得：， 原方程组的解为：． 20、小明的妈妈在菜市场买回2斤萝卜和1斤排骨，准备做萝卜排骨汤，下面是他的爸爸和妈妈的一段对话： 妈妈：今天买了这两样菜共花了14.52元，上个月同等重量的这两样菜要15.6元． 爸爸：电视新闻上说今天的萝卜单价比上个月上涨了20%，排骨单价比上个月下降了10%． 请你根据小明的爸爸和妈妈的对话分别求出今天萝卜和排骨的单价． 【答案】萝卜和排骨的单价分别为0.96元、12.6元 【详解】设上个月的萝卜单价为元，排骨单价为元，根据题意得： ， 解这个方程组得， ，， 所以今天萝卜和排骨的单价分别为0.96元、12.6元． 21、经营户刘师傅在蔬菜批发市场上了解到以下信息内容： 蔬菜品种 红辣椒 黄瓜 西红柿 茄子 批发价（元公斤） 零售价（元公斤） 刘师傅共用元钱从市场上批发了红辣椒和西红柿共公斤到菜市场去零售，请你根据表中的信息解答下列问题： （1）请计算刘师傅批发红辣椒和西红柿各多少公斤？ （2）若刘师傅当天卖完批发蔬菜，请问他能赚多少钱？ 【答案】（1）批发红辣椒和西红柿各，公斤； （2）刘师傅能赚元． 【小问1详解】 解：设批发红辣椒和西红柿各，公斤，根据题意得， ， 解这个方程组得， 答：批发红辣椒和西红柿各，公斤； 【小问2详解】 （元）， 答：刘师傅能赚元． 22、某纸品加工厂利用边角料裁出正方形和长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形的边长相等（如图），再将它们制作成甲乙两种无盖的长方体小盒（如图）．（注：图中向上的一面无盖） （1）如果制作甲、乙两种无盖的长方体小盒各一个，则共需长方形纸片____张，正方形纸片____张； （2）现将张长方形硬纸片和张正方形硬纸片全部用于制作这两种小盒，可以做成甲乙两种小盒各多少个？ 【答案】（1）， （2）可以做成甲种小盒个，乙种小盒个． 【小问1详解】 解：∵甲是一个无盖的长方体， ∴需要长方形纸片张，需要正方形纸片张， ∵乙是一个无盖的长方体， ∴需要长方形纸片张，需要正方形纸片张， ∴做甲乙两种纸片供需长方形纸片张，正方形纸片张， 故答案为，； 【小问2详解】 解：设可以做成甲种盒子个，乙种盒子个，根据题意可得， ， 解得：， 答：可以做成甲种小盒个，乙种小盒个． 23、已知用2辆型车和1辆型车装满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车装满货物一次可运货11吨，某物流公司现有31吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)一辆型车和一辆型车装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮物流公司设计出所有可行的租车方案． (3)若型车每辆租金1000元/次，型车每辆租金1200元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金费． 【答案】(1)一辆型车装满货物一次可运货3吨，一辆型车装满货物一次可运货4吨 (2)可租用型车9辆，型车1辆；租用型车5辆，型车4辆；租用型车1辆，型车7辆 (3)最省钱的租车方案为：租用型车1辆，型车7辆，费用为9400元 【详解】（1）解：设一辆型车和一辆型车装满货物一次可分别运货吨，吨， 由题意可得，， 解得：， 答：一辆型车装满货物一次可运货3吨，一辆型车装满货物一次可运货4吨； （2）由题意得：， ，只能取整数 ， 答：可租用型车9辆，型车1辆；租用型车5辆，型车4辆；租用型车1辆，型车7辆； （3）解：由题意可得， ①（元； ②（元； ③（元； 最省钱的租车方案为：租用型车1辆，型车7辆，费用为9400元． 24、已知满足求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这种方法利用了“整体思想”．请你利用“整体思想”，解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，则_______，_______； (2)买5支铅笔，2块橡皮，1本日记本共需35元，买4支铅笔，3块橡皮，2本日记本共需47元，求购买11支铅笔，3块橡皮，1本日记本共需多少元． 【答案】(1)，5 (2)共需58元 【详解】（1）解：， 可得：； 可得：， ∴； （2）解：设每只铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记z元， 由题意可得：， ∴可得， 答：购买11支铅笔、3块橡皮、1本日记本共需58元． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $