第五章二元一次方程组单元测试 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 北师大版八上二元一次方程组单元卷，以数学文化、创新情境及数学思想为特色，覆盖方程定义、解法、应用等核心内容，适配单元复习，助力抽象能力与模型意识培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题24分|二元一次方程定义、方程组与函数图像关系|第5题以“乌鸦栖树”诗句创设数学文化情境，第6题设计接力解题错误辨析，渗透创新意识| |填空题|8题24分|解的应用、《周髀算经》古算问题|第14题新定义“二倍解方程组”，第12题结合《周髀算经》圭表长度问题，体现文化传承与抽象能力| |解答题|7题72分|实际应用（剪纸礼盒、纪念品销售）、整体代入法|第22题通过纪念品销售问题考查模型意识，第20题明确要求用整体代入法，强化推理思维，贴合核心素养要求|

学科网知识店铺:苍穹精品工作室 原创精品资源，学科网独家享有版权 2026-2027学年八上单元测试—二元一次方程组 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：北师大版 2024八年级上册第5章—二元一次方程组 一、选择题（共24分） 1．（本题3分）下列方程中，属于二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（本题3分）直线和交于点，则关于，的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 3．（本题3分）已知是关于x，y的方程组的解，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 4．（本题3分）把方程化成用含x的代数式表示y的形式，以下各式中正确的是（    ） A． B． C． D． （数学文化·原创）5．（本题3分）阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”大意是：“一群乌鸦在树上栖息，若每棵树上有只，则只没地方去，若每棵树上有只，则剩下一棵树没乌鸦．”设树棵，乌鸦只．依题意可列方程组（　　） A． B． C． D． 6．（本题3分）创新意识 老师设计了一个接力游戏，用合作的方式解方程组，规则是每人只能看到前一人的计算结果，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，过程如图所示，且其中有一位同学的解题步骤出现错误，则解题中出现错误的同学是（   ）    A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 （数学思想·整体思想）7.（本题3分）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为（） A．0 B．1 C．2 D． 8．（本题3分）关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（     ） A．1 B． C． D． 二、填空题（共24分） 9．（本题3分）已知一次函数与的图象的交点坐标为．则关于的方程组的解是_________． 10．（本题3分）若是方程的一个解，则___________ 11．（本题3分）已知关于x、y的二元一次方程组的解是，在关于a、b的二元一次方程组中，则_____ ． 12．（本题3分）《周髀算经》是古老的数理天文学著作，书中记载了一种用于度量日影长度的圭表．已知圭的长度比表的长度长5尺，且圭和表的长度之和为21尺，设圭的长度为尺，表的长度为尺，则可列方程组为___________． 13．（本题3分）方程组的解的情况是_________． （新定义·数学思想）14．（本题3分）在一个二元一次方程组的解中，如果两个未知数的值有2倍关系，那么这个方程组叫做“二倍解方程组”，若关于x、y的方程组是“二倍解方程组”，则a的值为______． 15．（本题3分）关于的方程组的解是正整数，则整数的值为___________． 16．（本题3分）甲、乙两人同时解方程组甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得．原方程组的解为_______． 三、解答题（共72分） 17．（本题10分）解方程组：． 18．（本题10分）年是农历马年，某非遗工坊推出“马年生肖”剪纸礼盒，分为“福马”礼盒和“奔马”礼盒两种．若购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元，购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元．求每个“福马”礼盒和“奔马”礼盒的价格分别是多少元？ 19．（本题10分）下面是小马同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①，得③，…第一步 ②③，得，…第二步 将代入①，得，解得，…第三步 所以原方程组的解为…第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做________消元法． (2)第________步开始出现错误． (3)请求出该方程组正确的解． （数学思想·整体代入）20．（本题10分）先阅读，然后解方程组． 解方程组时，可由①得③，然后再将③代入②，得，求得，从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”． 请用这样的方法解方程组： 21．（本题10分）对于关于，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与_____(填“具有”或“不具有”)“友好关系”； (2)若方程组的解与具有“友好关系”，求的值． 22．（本题10分）为迎接旅游旺季的到来，某商场准备购进一批纪念品进行销售．已知3件甲种纪念品和1件乙种纪念品的总进价为210元；2件甲种纪念品和3件乙种纪念品的总进价为280元．请列方程组解答下列各小题． (1)求甲、乙两种纪念品每件的进价分别为多少元？ (2)已知该商场同时购进甲、乙两种纪念品共25件，总进价恰好为1400元．若甲种纪念品每件的售价为70元，乙种纪念品每件的售价为100元，求商场销售完这25件纪念品共盈利多少元？ 23．（本题12分）函数叫做关于m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B． (1)关于1的对称函数与直线x＝1交于点C； ①；；； ②P为关于1的对称函数图象上一点（点P不与点C重合），当时，求点P的坐标； (2)当时，直线与关于m的对称函数有两个交点时，求m的取值范围； (3)当时，点E是关于m的对称函数图象上的一点，点E的横坐标为m，点F为y轴上一点，点F的坐标为，直接写出是以为直角边的直角三角形时m的值． 学科网（北京）股份有限公司 $学科网知识店铺:苍穹精品工作室 原创精品资源，学科网独家享有版权 2026-2027学年八上单元测试—二元一次方程组 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：北师大版 2024八年级上册第5章—二元一次方程组 一、选择题（共24分） 1．（本题3分）下列方程中，属于二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断方程是否为整式方程，再依次根据未知数个数、含未知数项的次数筛选符合条件的选项． 【详解】解：A. 是整式方程，含有2个未知数，且含未知数的项的次数均为1，属于二元一次方程； B. 不是整式方程，不属于二元一次方程； C. 含有3个未知数，不属于二元一次方程； D. 中含未知数的项的次数为2，不属于二元一次方程． 2．（本题3分）直线和交于点，则关于，的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解，利用该性质即可求解． 【详解】∵直线和交于点， ∴关于，的方程组的解就是两直线的交点坐标，即． 3．（本题3分）已知是关于x，y的方程组的解，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据方程组解的定义，将已知解代入方程组，即可求出a和b的值，进而计算得到的值． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴将代入方程组，得， 解得， ∴． 4．（本题3分）把方程化成用含x的代数式表示y的形式，以下各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程，把看作未知数，看作已知数即可求出． 【详解】解：∵， ∴两边同乘3去分母，得， ∴移项，得， ∴合并同类项，得， ∴系数化为1，得，即． 故选：C． （数学文化·原创）5．（本题3分）阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”大意是：“一群乌鸦在树上栖息，若每棵树上有只，则只没地方去，若每棵树上有只，则剩下一棵树没乌鸦．”设树棵，乌鸦只．依题意可列方程组（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，正确理解题意，得出方程组是解题的关键．分别根据两种乌鸦栖息的情况，建立乌鸦数量与树的数量的等量关系即可． 【详解】解：根据题意可列方程组为． 故选：B． 6．（本题3分）创新意识 老师设计了一个接力游戏，用合作的方式解方程组，规则是每人只能看到前一人的计算结果，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，过程如图所示，且其中有一位同学的解题步骤出现错误，则解题中出现错误的同学是（   ）    A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组，根据等式的性质和四位同学的求解过程逐步检查即可． 【详解】解：由①得，显然甲同学正确 将③代入②得，显然乙同学正确 去分母得，显然丙同学错误， 由解得，代入③，得，显然丁同学正确， 故解题中出现错误的同学是丙， 故选：C． （数学思想·整体思想）7.（本题3分）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为（） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题利用整体思想，将方程组两个方程相加，构造出含的式子，再代入已知条件即可求出的值． 【详解】解： ①②得：， 整理得 ∵ ∴ 解得． 8．（本题3分）关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】先联立两个方程组中不含参数的方程求出公共解，再将公共解代入含参数的方程，通过整体相加求出的值． 【详解】解：∵两个方程组有相同的解， ∴公共解满足方程组， 解得， 将代入， 得， ，得， 两边同时除以8，得． 二、填空题（共24分） 9．（本题3分）已知一次函数与的图象的交点坐标为．则关于的方程组的解是_________． 【答案】 【详解】解：将一次函数移项整理得， 将一次函数移项整理得， 因此题目给出的方程组就是由已知两个一次函数组成的方程组， ∵一次函数与的图象交点坐标为， ∴方程组的解是． 10．（本题3分）若是方程的一个解，则___________ 【答案】1 【详解】解：∵若是方程的一个解， ∴， ∴． 11．（本题3分）已知关于x、y的二元一次方程组的解是，在关于a、b的二元一次方程组中，则_____ ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，平方差公式，正确得出关于、的方程组是解题关键．根据已知得出，由进而得出答案． 【详解】解：关于、的二元一次方程组的解是， 方程组中， ∴． 故答案为：． 12．（本题3分）《周髀算经》是古老的数理天文学著作，书中记载了一种用于度量日影长度的圭表．已知圭的长度比表的长度长5尺，且圭和表的长度之和为21尺，设圭的长度为尺，表的长度为尺，则可列方程组为___________． 【答案】 【分析】本题考查根据实际问题，列方程组，根据题意，圭的长度比表的长度长5尺，可得方程；圭和表的长度之和为21尺，可得方程，从而列出方程组即可． 【详解】解：设圭的长度为尺，表的长度为尺，根据题意得 ． 故答案为： 13．（本题3分）方程组的解的情况是_________． 【答案】 无解 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，理解题意是解题的关键． 通过比较两个方程即可得到结论． 【详解】解：对于方程组 ， 观察两个方程，左边均为 ，但右边分别为 和 ， 由于 ，因此方程组矛盾，无解． 故答案为：无解． （新定义·数学思想）14．（本题3分）在一个二元一次方程组的解中，如果两个未知数的值有2倍关系，那么这个方程组叫做“二倍解方程组”，若关于x、y的方程组是“二倍解方程组”，则a的值为______． 【答案】 或 【分析】根据“二倍解方程组”的定义，方程组的解中两个未知数有2倍关系，即或，分别将两种关系代入原方程组，即可求出的值． 【详解】解：∵关于，的方程组是“二倍解方程组”， ∴分两种情况讨论： 当时，代入得，解得，则， 将，代入，得，解得； 当时，代入，得，解得，则， 将，代入，得，解得， 综上所述，的值为或． 15．（本题3分）关于的方程组的解是正整数，则整数的值为___________． 【答案】或 【分析】先解方程组，用m表示出方程组的解，根据方程组有正整数解得出m的值． 【详解】解： 由②得，， 将代入，得， 解得 ∵方程组的解是正整数， ∴和是正整数 ∴是6和9的正公约数 ∴的值为1或3 当时，； 当时， 故整数的值为或． 16．（本题3分）甲、乙两人同时解方程组甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得．原方程组的解为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解的意义．甲看错①中但②正确，乙看错②中但①正确，分别代入求解和，再解原方程组． 【详解】解：甲的解，代入②得，即， 解得； 乙的解，代入①得，即， 解得； 原方程组为， 由①得③， 将③代入②得，即， 解得， 将代入③得， ∴原方程组的解为． 故答案为：． 三、解答题（共72分） 17．（本题10分）解方程组：． 【答案】 【详解】解：， 将①代入②得，解得， 把代入①，得， ． 18．（本题10分）年是农历马年，某非遗工坊推出“马年生肖”剪纸礼盒，分为“福马”礼盒和“奔马”礼盒两种．若购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元，购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元．求每个“福马”礼盒和“奔马”礼盒的价格分别是多少元？ 【答案】每个“福马”礼盒的价格为元，每个“奔马”礼盒的价格为元． 【分析】本题主要考查二元一次方程组与实际问题，题目中的两个等量关系是：购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元，购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元，可设每个“福马”礼盒和“奔马”礼盒的价格分别为元，元，列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设每个“福马”礼盒和“奔马”礼盒的价格分别为元，元． 根据题意，得 解得 所以，每个“福马”礼盒的价格为元，每个“奔马”礼盒的价格为元． 19．（本题10分）下面是小马同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①，得③，…第一步 ②③，得，…第二步 将代入①，得，解得，…第三步 所以原方程组的解为…第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做________消元法． (2)第________步开始出现错误． (3)请求出该方程组正确的解． 【答案】(1)加减 (2)二 (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题关键． （1）根据加减消元法的定义解答即可得； （2）利用方程②减去方程③的时候出现错误，由此即可得； （3）利用加减消元法解方程组即可得． 【详解】（1）解：这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法， 故答案为：加减． （2）解：由解题的步骤可知，利用方程②减去方程③的时候出现错误，正确的应该是， 所以第二步开始出现错误， 故答案为：二． （3）解：， 由①，得③， ②③，得，解得， 将代入①，得，解得， 所以原方程组的解为． （数学思想·整体代入）20．（本题10分）先阅读，然后解方程组． 解方程组时，可由①得③，然后再将③代入②，得，求得，从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”． 请用这样的方法解方程组： 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的求解，解题的关键是根据题意掌握“整体代入法”； 由题意可知先对①移项得，再将其整体代入②中，即可得到答案． 【详解】解：由①，得③， 把③代入②，得，解得， 把代入③，得，解得， 故原方程组的解为． 21．（本题10分）对于关于，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与_____(填“具有”或“不具有”)“友好关系”； (2)若方程组的解与具有“友好关系”，求的值． 【答案】(1)具有； (2) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法及新定义“友好关系”的应用，关键是理解“友好关系”的本质为，通过解方程组或结合该关系式求解未知量． （1）先求解给定的二元一次方程组，得到、的具体值后，验证是否等于1，即可判断是否具有“友好关系”； （2）将代入方程组，先求出、的值，再代入含的方程计算即可． 【详解】（1）解：解方程组，得， ，满足“友好关系”的定义， 故答案为：具有； （2）解：方程组的解与具有“友好关系”， ， 联立，解得， 将代入方程， 得，解得． 22．（本题10分）为迎接旅游旺季的到来，某商场准备购进一批纪念品进行销售．已知3件甲种纪念品和1件乙种纪念品的总进价为210元；2件甲种纪念品和3件乙种纪念品的总进价为280元．请列方程组解答下列各小题． (1)求甲、乙两种纪念品每件的进价分别为多少元？ (2)已知该商场同时购进甲、乙两种纪念品共25件，总进价恰好为1400元．若甲种纪念品每件的售价为70元，乙种纪念品每件的售价为100元，求商场销售完这25件纪念品共盈利多少元？ 【答案】(1)每件甲种纪念品的进价是50元，每件乙种纪念品的进价是60元 (2)商场销售完这25件纪念品共盈利800元 【分析】（1）设每件甲种纪念品的进价是x元，每件乙种纪念品的进价是y元，根据“3件甲种纪念品和1件乙种纪念品的总进价为210元；2件甲种纪念品和3件乙种纪念品的总进价为280元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该商场购进m件甲种纪念品，n件乙种纪念品，根据“该商场同时购进甲、乙两种纪念品共25件，总进价恰好为1400元”，可列出关于m，n的二元一次方程组，解之可得出m，n的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：设每件甲种纪念品的进价是x元，每件乙种纪念品的进价是y元， 根据题意得， 解得． 答：每件甲种纪念品的进价是50元，每件乙种纪念品的进价是60元； （2）设该商场购进m件甲种纪念品，n件乙种纪念品， 根据题意得：， 解得：， ∴（元）． 答：商场销售完这25件纪念品共盈利800元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 23．（本题12分）函数叫做关于m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B． (1)关于1的对称函数与直线x＝1交于点C； ①；；； ②P为关于1的对称函数图象上一点（点P不与点C重合），当时，求点P的坐标； (2)当时，直线与关于m的对称函数有两个交点时，求m的取值范围； (3)当时，点E是关于m的对称函数图象上的一点，点E的横坐标为m，点F为y轴上一点，点F的坐标为，直接写出是以为直角边的直角三角形时m的值． 【答案】(1)①；2；2；②点P坐标为或或； (2)； (3)或 【分析】（1）把点的横（纵）坐标代入解析式中即可求得点的纵（横）坐标； ②先求得，再根据得到，解得或，再根据解析式求出点P的横坐标即可； （2）先根据关于m的对称函数的解析式， 确定m的取值范围为，再根据一次函数与二元一次方程组的关系确定直线与关于m的对称函数的两个交点的坐标，再根据交点存在确定m的取值范围即可； （3）先求出点E、A的坐标，分为斜边和为斜边两种情况，根据勾股定理列出方程即可求解． 【详解】（1）解：①当时，令，得， 解得， ∴； 当时，令，得， 解得， ∴； 当时，， ∴． ②∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， 当，且时，令，即， 解得， 此时与点C重合，故舍去； 当，且时，令，即， 解得，此时符合题意， ∴； 当，且时，令，即， 解得，此时符合题意， ∴； 当，且时，令，即， 解得，此时符合题意， ∴； 综上所述，点P坐标为或或． （2）解：∵关于m的对称函数的解析式为， ∴该函数图象为两个一次函数图象的一部分结合起来的图象． ∵一次函数图象与x轴最多只有一个交点，且关于m的对称函数与x轴有两个交点， ∴组成该对称函数的两个一次函数图象的部分图象都与x轴有交点． ∵对于，令，即， 解得， ∴必须在的范围之内， ∴； ∵对于，令，即， 解得， ∴必须在的范围之内． ∴； ∴， ∴直线分别与直线和各有一个交点， 对于直线与直线， 联立得， 解得， 对于直线与直线， 联立得，     解得， ∵， ∴必须在的范围之内才能保证直线与直线有交点， ∴， 又∵，， ∴， ∴m的取值范围是； （3）解：∵点E的横坐标为m， ∴点E在的图象上， 把代入得， ∴， 把代入得， 解得， ∴， ∵点A、E、F组成直角三角形，为直角边时，分两种情况讨论： 情况一：为斜边时，则， ∵点F的坐标为， ∴， 解得， 情况二：为斜边时，则， ∴， 解得：m， 综上所述，是以为直角边的直角三角形时，m的值为或． 学科网（北京）股份有限公司 $