重点强化练九　函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数y=Asin(ωx+φ)图象与性质，采用基础选择-中档填空多选-综合解答的三层设计，覆盖从单一概念到复杂应用的知识路径，培养数学抽象、运算推理与几何直观素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|周期、单调区间等单一概念|6道单选聚焦公式直接应用，如第1题周期计算| |中档|函数性质比较、图象变换|2道多选（如第7题两函数性质辨析）+3道填空（如第10题图象变换）| |综合|含参数函数、最值与存在性问题|3道解答题（如第14题含参函数最值及存在性论证）|

重点强化练九　函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质 1.C　[解析] 对于A,函数y=sin的最小正周期为4π,故A错误;对于B,函数y=sin 2x的最小正周期为π,故B错误;对于C,函数y=tan 4x的最小正周期为,故C正确;对于D,函数y=cos的最小正周期为8π,故D错误.故选C. 2.B　[解析] y=sin=-sin,令2kπ+≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),所以函数y=sin的单调递增区间是(k∈Z).故选B. 3.D　[解析] 由题图知f(x)的最小正周期T=-=2π,所以ω===.因为f(0)=tan φ=-,所以φ=-+kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=-,所以ωφ=-.故选D. 4.B　[解析] 因为y=tan x的图象的对称中心为点,k∈Z,所以y=2tan的图象的对称中心为点,k∈Z,所以a=+,k∈Z,又a>0,所以a的最小值为.故选B. 5.C　[解析] 画出函数y=sin x与y=2sin在[0,2π]上的图象,如图所示,由图可知两曲线共有6个交点.故选C. 6.A　[解析] 当1≤k≤1012时,tan∈,由正切函数性质知,此时x逐渐增大,则集合A中至少有1012个元素,即为tan,tan+tan,…,tan+tan+tan+…+tan.当1013≤k≤2023时,因为正切曲线关于点对称,所以tan=-tan,tan=-tan,…,tan=-tan,则当k增加时,元素x与前面的重复,当k=2024时,x=0,当k≥2025时,由正切函数的周期性知,元素x重复出现,则集合A中元素的个数为1013.故选A. 7.BC　[解析] 方法一:f(x)的最小正周期为=π,最大值为1,g(x)的最小正周期为=π,最大值为1,故B,C均正确;因为g(x)=sin=sin 2,所以将f(x)=sin 2x的图象向右平移个单位长度可得g(x)的图象,又<×=,所以f(x)与g(x)的零点不相同,f(x)与g(x)的图象的对称轴不相同,故A,D均不正确.故选BC. 方法二:f(x)的最小正周期为=π,最大值为1,g(x)的最小正周期为=π,最大值为1,故B,C均正确;令f(x)=sin 2x=0,得x=,k∈Z,令g(x)=sin=0,得x=+,k∈Z,故f(x)与g(x)的零点不相同,A不正确;令2x=kπ+,k∈Z,得x=+,k∈Z,令2x-=kπ+,k∈Z,得x=+,k∈Z,故f(x)与g(x)的图象的对称轴不相同,D不正确.故选BC. 8.AB　[解析] 由题可得-=1=,则T==2,所以ω=π,由=,可得f(x)的图象过点,则-1=cos,所以+φ=π+2kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=cos,故C错误;因为f=cos=cos=-sin πx,所以f为奇函数,故A正确;因为f=cos=cos(πx+π)=-cos πx,所以f是偶函数,故B正确;因为f(x)的最小正周期为2,所以f=f=f=cos=cos,f=f=f=cos=cos,又函数y=cos x在(π,2π)上单调递增,所以cos<cos,所以f<f,故D错误.故选AB. 9.-　[解析] 函数y=2sin的周期T==π,初相为,所以频率为,故频率与初相之差为-. 10.sin　[解析] 将f(x)=sin x的图象上每个点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的,得到y=sin 2x的图象,再将得到的图象向左平移个单位长度,得到g(x)=sin 2=sin的图象. 11.　[解析] y=3-sin x-2cos2x=3-sin x-2(1-sin2x)=2sin2x-sin x+1,令sin x=t,t∈[-1,1],则f(t)=2t2-t+1,由二次函数性质得f(t)在上单调递减,在上单调递增,所以f(t)的最小值为f=,而f(-1)=4,f(1)=2,故f(t)∈,即函数y=3-sin x-2cos2x的值域为. 12.解:(1)因为f(0)=cos φ=且0≤φ<π,所以φ=. (2)由(1)知f(x)=cos, 所以g(x)=f(x)+f=cos+cos=cos+cos 2x=cos 2x-sin 2x=cos. 因为x∈R,所以g(x)的值域为[-,]. 令-π+2kπ≤2x+≤2kπ,k∈Z,得-π+kπ≤x≤-+kπ,k∈Z, 令2kπ≤2x+≤π+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤π+kπ,k∈Z, 所以g(x)的单调递增区间为,k∈Z,单调递减区间为,k∈Z. 13.解:(1)因为f(x)=cos ωx(sin ωx+cos ωx)-(ω>0),所以f(0)=cos 0(sin 0+cos 0)-=. (2)①f(x)=sin ωxcos ωx+cos2ωx-=sin 2ωx+×-=sin 2ωx+cos 2ωx=sin,因为函数f(x)的图象关于直线x=-对称, 所以2ω·+=+kπ(k∈Z),解得ω=--k(k∈Z), 又f(x)在上单调,所以解得0<ω≤,所以ω=,所以f(x)=sin, 所以f(x)的最小正周期T==. ②方法一:将函数f(x)的图象向左平移m(0<m<T)个单位长度得到g(x)=f(x+m)=sin=sin的图象. 由0<x<π,得m+<x+<m+,由0<m<,得<m+<,<m+<. 因为g(x)在区间(0,π)上有最小值但没有最大值,所以解得≤m≤. 故m的取值范围为. 方法二:g(x)的图象是由f(x)的图象向左平移m(0<m<T)个单位长度得到的, 作出f(x)=sin的图象,如图所示.因为g(x)在区间(0,π)上有最小值但没有最大值,所以解得≤m≤,故m的取值范围为. 14.解:(1)令f(x)=sin=0,则2x+=kπ(k∈Z),解得x=kπ-(k∈Z), 所以y=f(x)的零点是x=kπ-(k∈Z). (2)g(x)=2sin2x+acos x+1=2(1-cos2x)+acos x+1=-2cos2x+acos x+3, 设t=cos x,则g(x)=φ(t)=-2t2+at+3=-2++3,t∈[-1,1], 当≤-1,即a≤-4时,h(a)=φ(-1)=1-a; 当-1<<1,即-4<a<4时,h(a)=φ=+3; 当≥1,即a≥4时,h(a)=φ(1)=1+a, 所以h(a)= (3)由题意可知y=f(x)+1的最小值不小于y=g(x)的最小值, 因为-1≤sin≤1,所以f(x)+1的最小值是0. g(x)=-2cos2x+acos x+3=-2++3,若>0,即a>0,则当cos x=-1时,g(x)取得最小值,g(x)min=1-a,所以1-a≤0,且a>0,故a≥1; 若≤0,即a≤0,则当cos x=1时,g(x)取得最小值,g(x)min=1+a,所以1+a≤0,且a≤0,故a≤-1. 综上所述,实数a的取值范围为(-∞,-1]∪[1,+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $ 重点强化练九　函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质 一、选择题:本题共6小题,每小题5分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.下列函数中,最小正周期为的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.y=sin B.y=sin 2x C.y=tan 4x D.y=cos 2.函数y=sin的单调递增区间是 (　 ) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 3.[2026·湖北随州高一检测] 已知函数f(x)=tan(ωx+φ)的部分图象如图所示,则ωφ= (　 ) A. B. C.- D.- 4.[2025·全国一卷] 已知点(a,0)(a>0)是函数y=2tan图象的一个对称中心,则a的最小值为 (　 ) A. B. C. D. 5.[2024·新课标Ⅰ卷] 当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin的交点个数为 (　 ) A.3 B.4 C.6 D.8 6.设集合A=,则集合A中元素的个数为 (　 ) A.1013 B.1014 C.2024 D.2025 二、选择题:本题共2小题,每小题6分,共12分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 7.[2024·新课标Ⅱ卷] 对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin,下列说法正确的有 (　 ) A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 8.[2026·延安高一期末] 函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则(　 ) A.f是奇函数 B.f是偶函数 C.f(x)=cos D.f>f 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 9.函数y=2sin的频率与初相之差为　　　　.  10.将函数f(x)=sin x的图象上每个点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的,再将得到的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,则g(x)=　　　　　　　.  11.函数y=3-sin x-2cos2x的值域为　　　　.  四、解答题:本题共3小题,共43分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 12.(13分)[2025·全国二卷] 已知函数f(x)=cos(2x+φ)(0≤φ<π),f(0)=. (1)求φ; (2)设函数g(x)=f(x)+f,求g(x)的值域和单调区间. 13.(15分)[2026·嘉兴高一期末] 已知函数f(x)=cos ωx(sin ωx+cos ωx)-(ω>0). (1)求f(0)的值. (2)若函数f(x)的图象关于直线x=-对称,且f(x)在区间上单调. ①求f(x)的最小正周期T; ②将函数f(x)的图象向左平移m(0<m<T)个单位长度后得到函数g(x)的图象,若g(x)在区间(0,π)上有最小值但没有最大值,求m的取值范围. 14.(15分)已知函数f(x)=sin,g(x)=2sin2x+acos x+1(a∈R). (1)求y=f(x)的零点; (2)设函数g(x)的最大值为h(a),求h(a)的解析式; (3)若任意x1∈R,存在x2∈R,使f(x1)+1≥g(x2),求实数a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $