第一章 3. 带电粒子在匀强磁场中的运动-【新课程能力培养】2026-2027学年高中物理选择性必修第二册学习手册（人教版）

N 高中物理选择性必修第二册（人教版） 3.带电粒子在匀强磁场中的运动 解方程。 知识梳理 (1)向心力：qB=m,轨道半径： 川知识点1带电粒子在匀强磁场中的运动」 (2)周期：T= 可见T 1.匀速直线运动：若带电粒子的速度方向与 只与m有关，而与v、r无关。 9 磁场方向 带电粒子所受洛伦兹 (3)运动时间的确定：设粒子在磁场中运动 力为0，带电粒子将以入射速度v做 一周的时间为T,当粒子运动的圆弧 运动。 对应的圆心角为a时，其运动时间为t= 2.匀速圆周运动：若带电粒子垂直于磁场方 a T=a.2mmam 9B (ax用“rad”作 向进入匀强磁场，由于洛伦兹力始终与运 2π gB 动方向 因此不改变速度的大 单位)，=360° 。T(a用“度”作单位)。 小，但时刻改变速度的方向，故带电粒子 做 运动，其规律为 要点突破 F向=F格=qB=m=m生 42 7r; 要点1 带电粒子在有界磁场中运动的 轨道半径r=m ；周期T=2mr=2mm 几种常见情形 gB 可见周期与带电粒子的 无关。 1.直线边界（进出磁场具有对称性，如图所 3.螺旋运动：若带电粒子的速度方向与磁场 示)入射角=出射角，垂直射入垂直射出， 方向成某一角度，带电粒子的运动可以看 弦长为直径。 作是 与 的合运动， 其轨迹是螺旋线。 知识点2带电粒子在有界磁场中做匀 (a) (b) (c) 速圆周运动问题的解题步骤 2.平行边界（存在临界条件，如图所示）速 1.明确圆心的位置：垂直v方向的两直线交 度的偏转角等于圆心角。 点（或与弦的中垂线的交点）。 2.由几何知识确定半径 一般利用三角形中的三角函数公式、正弦 定理、余弦定理、相似比等规律。 3.列向心力方向上的牛顿第二定律方程， 8 第一章安培力与洛伦兹力。 3.圆形边界：若初速度方向指向圆心，则末 面向里。一电子从0 Q 速度方向背离圆心。当轨迹圆半径等于磁 点沿纸面垂直PQ以 左 M 场圆半径时，从同一点沿不同方向射入的 速度o进入磁场 变式训练1题图 同种粒子，射出时方向都相同。反之沿相 若电子在磁场中运动的轨道半径为2d,O 同方向射入的同种粒子，从同一点射出 在MN上，且OO'与MN垂直，下列判断正 边界。 确的是（) A.电子将向右偏转 B.电子打在MN上的点与O'点的距离为d C.电子打在MW上的点与O'点的距离为 V3d D.电子在磁场中运动的时间为 例1 (多选)如图所示， 3vo 平面直角坐标系的第一象 变式训练2 限内有一匀强磁场垂直于 纸面向里，磁感应强度为 例1题图 两个质量相同、所 B。一质量为m、电荷量为g的粒子以速度 带电荷量相等的带电粒 A v从0点沿着与y轴夹角为30°的方向进入 子a、b,以不同的速率 、 磁场，运动到A点时速度方向与x轴的正方 对准圆心0沿着A0方 向射入圆形匀强磁场区 变式训练2题图 向相同，不计粒子的重力，则() A.该粒子带正电 域，其运动轨迹如图所示。若不计粒子的重 力，则下列说法正确的是() B.A点与x轴的距离为mu 2gB A.a粒子带正电，b粒子带负电 C.粒子由O到A经历的时间t=Tm B.a粒子在磁场中所受洛伦兹力较大 3qB C.b粒子的动能较大 D.运动过程中粒子的速度不变 D.b粒子在磁场中运动时间较长 思路点拨 川要点2临界与极值 本题考查了带电粒子在磁场中运动 的周期公式和半径公式，找到圆心，求 当题目中出现最大、最小、恰好、范围 出圆心角是关键。 等词的时候就意味着存在多种可能性或者多 个粒子。 变式训练① 1.临界与极值的条件 (1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在 如图所示，一个理想边界为PQ、MN的 匀强磁场区域，磁场宽度为d,方向垂直纸 磁场中运动的轨迹与边界相切。 学 N 高中物理选择性必修第二册（人教版） (2)当速率v一定时，弧长（或弦长）越 MN成0=60°角方向射出的粒子恰好垂直PQ 长，圆心角越大（前提条件是劣弧）， 射出磁场，则粒子在磁场中运动的最长时间 则带电粒子在有界磁场中运动的时间 为( 越长。 A.Ta B.2V3 ma (3)当速率v变化时，轨迹圆心角越大，运 v 3v 动时间越长。 C.Ana 3v D.2na (4)当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径 时，则以磁场直径的两端点为入射点和 思路点拨 出射点的轨迹对应的偏转角最大。 本题属于临界与极值问题，找出轨 2.分析的方法 迹与磁场边界相切的状态是关键。 (1)当粒子的速度大小相等时，可以通过 “转圆”的方法找到临界或极值，就是 B变式训练③ 选一大小固定的圆绕入射点转出所有的 (多选)如图所示，有一 可能轨迹。如图甲： 个正方形的匀强磁场区域 abcd,e是ad的中点，f是cd 的中点，如果在a点沿对角 线方向以速度”射入一带负 变式训练3题图 电的带电粒子，恰好从e点射出，则() A.如果粒子的速度增大为原来的2倍，将 从d点射出 (2)当粒子的速度方向相同时，可以通过：B.如果粒子的速度增大为原来的3倍，将 “扩圆”的方法找到临界或极值。如图 从f点射出 乙，过垂直于初速度的方向画一直线， C.如果粒子的速度不变，磁场的磁感应强 让圆心在直线上，让圆周过入射点， 度B增大为原来的2倍，也将从d点射出 选不同大小的圆，得出所有可能性。 D.只改变粒子的速度，使其分别从e、d、f 例2如图所示，竖直线MN∥ M X IP 点射出时，从点射出所用的时间最短 PQ,MW与PQ间距离为a,其 0×× 川要点3带电粒子在组合场中的运动！ 间存在垂直纸面向里的匀强磁 B. 场，磁感应强度为B,O是MW N×ax0 1.组合场：指磁场与电场或重力场同时存 上一点，O处有一粒子源，某时例2题图 在，但各位于一定的区域内且并不重叠的 刻放出大量速率均为v（方向均垂直磁场方 情况，带电粒子在一个场中只受一个场力 向)、比荷一定的带负电粒子（粒子重力及： 的作用。 粒子间的相互作用力不计)，已知沿图中与：2.三种场力的特点比较 10 第一章安培力与洛伦滋力。 (1)重力的大小为mg,方向竖直向下，重 垂直初速度方向的匀加速运动；对 力做功与路径无关，其数值除与带电粒 粒子在磁场中做匀速圆周运动，应注 子的质量有关外，还与初、末位置的高 意一定是洛伦兹力提供向心力这一受力 度差有关。 条件。 (2)电场力的大小为gE,方向与电场强度E：(4) 注意确定粒子在组合场交界位置处的速 及带电粒子所带电荷的性质有关，电场 度大小与方向。该速度是联系两种运动 力做功与路径无关，其数值除与带电粒 的桥梁。 子的电荷量有关外，还与初、末位置的：5.解决带电粒子在组合场中运动问题的思路 电势差有关。 方法简化图 (3)洛伦兹力大小为9vB,方向垂直于v和 求 牛顿定律、运 B所决定的平面，无论带电粒子做什么 动学公式 匀变速直线运动 法 运动，洛伦兹力都不做功。 动能定律 中 说明：电子、质子、粒子、带电离子等微 带电粒 常规分解法 观粒子在叠加场中运动时，若试题没有明确 子在分 类平抛运动 求法 特殊分解法 离的电 说明考虑重力时就不计重力，但质量较大的 场、磁 功能关系 质点（如带电微粒）在叠加场中运动时，除 场中运 磁 求法 匀速直线运动 匀速运动公式 试题说明不计重力外，通常都要考虑重力。 动 中 3.带电粒子在组合场中的运动规律 匀速圆周运动 求法 圆周运动公式、 牛顿定律以及 (1)带电粒子在匀强电场中，若初速度与电 几何知识 场线平行，做匀变速直线运动；若初速： 例3如图所示， 度与电场线垂直，做类平抛运动。 在xOy平面内存在 (2)带电粒子在匀强磁场中，若速度与磁感： 匀强电场和匀强磁 ●● 线平行，做匀速直线运动；若速度与磁： 场，匀强电场的场 感线垂直，做匀速圆周运动。 强大小为E,方向 例3题图 4.带电粒子在组合场中运动的处理方法 沿+y方向，匀强磁 (1)分析带电粒子在各种场中的受力情况和：场I和Ⅱ的分界线为平行于x轴的直线，两 运动情况，一般在电场中做类平抛运氵 磁场方向如图所示。在坐标原点O处沿x轴 动，在磁场中做匀速圆周运动。 正向射出质量为m、电荷量为+g的带电粒 (2)正确地画出粒子的运动轨迹图，在画图：子，粒子恰好从两磁场的分界线处的P(2d, 的基础上特别注意运用几何知识，寻找：)点离开电场进入匀强磁场I中，最后刚 关系。 好能从x轴上的N点离开匀强磁场Ⅱ。不计 (3)选择物理规律，列方程。对类平抛运动，：粒子的重力，求： 一般分解为初速度方向的匀速运动和：(1)粒子从O点进入电场时的速度。 学 N 高中物理选择性必修第二册（人教版） (2)）粒子从P点进入磁场I时的速度。 q、质量为m的带正电粒子，以某一初速度 (3)磁场Ⅱ的磁感应强度大小。 垂直边界N及磁场方向射入MN间的磁场区 域。不计粒子的重力，求： (1)要使粒子能穿过磁场I进入磁场Ⅱ，粒 子的初速度o至少应为多少？ (2)若粒子进入磁场I的初速度1=29B山」 m 则粒子第一次穿过磁场I所用时间是 多少？ (3)粒子初速度v为多少时，才可恰好穿过 两个磁场区域？ 思路点拨 本题是三个场构成的组合场问题。 边界处的速度是题目的“纽带”，是解题 的关键。将题目拆分为类平抛运动和两 个匀速圆周运动，按各自的规律列方程 是此类问题的解题思路。 B变式训练④ 如图所示，M、N、P N 为很长的平行边界，MN与 i×I×1×××i 1×× 1×××1 MP的距离分别为l1、l2,其 1××× 1××!×××! 川要点4带电粒子在叠加场中的运动！ 间分别有磁感应强度为B ×BxX,× 1×××1 和B2的匀强磁场区域，磁 ×x××× 1.受力及运动分析 场I和Ⅱ方向垂直纸面向 (1)正确分析带电粒子的受力及运动特征是 变式训练4题图 里，B1≠B2,有一电荷量为 解决问题的前提，带电粒子在叠加场中 12)学 第一章安培力与洛伦兹力。 做什么运动，取决于带电粒子所受的合 3.叠加场的应用实例 外力及其初始状态的速度，因此应把带 装置 原理图 规律 电粒子的运动情况和受力情况结合起来 9+ 速度 若qvB=Eq,即vo= 进行分析。当带电粒子在叠加场中所受 选择 台，粒子做匀速直线 合外力为0时，将处于静止状态或做匀 器 运动 速直线运动（如速度选择器）。 等离子体射入，受洛伦 (2)当带电粒子所受重力与静电力等大、反 兹力偏转，使两极板带 磁流 向，洛伦兹力提供向心力时，带电粒 X 体发 09 正、负电，两极电压为 00。 子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周 电机 U时稳定，片可B 运动。 U=Bdvo (3)当带电粒子所受合外力是变力，且与初 电磁 X D99B,所以心= 速度方向不在一条直线上时，粒子做非 流量 计 匀变速曲线运动，这时粒子的运动轨迹 B,所以Q=足TDU ×bX 4B 既不是圆弧，也不是抛物线，由于带电 当磁场方向与电流方 粒子可能连续通过几个情况不同的叠加 霍尔 向垂直时，导体在与 元件 场区，因此粒子的运动情况也发生相应 磁场、电流方向都垂 直的方向上出现电势差 的变化，其运动过程可能由几种不同的 运动阶段所组成。 例4如图所示，将一束等离子体喷射入磁 2.解决带电粒子在叠加场中运动问题的基本 场，在场中有两块金属板A、B,这时金属 思路 板上就会聚集电荷，产生电压。如果射入 (1)当带电粒子在叠加场中做匀速直线运动： 的等离子体速度均为，，两金属板的板长为 时，就根据平衡条件列方程求解。 L,板间距离为d,板平面的面积为S,匀 (2)当带电粒子在叠加场中做匀速圆周运动强磁场的磁感应强度为B,方向垂直于速度 时，往往同时应用圆周运动知识和平衡：方向，负载电阻为R,电离气体充满两板间 条件列方程联立求解 的空间。当发电机稳定发电时，电流表示 (3)当带电粒子在叠加场中做非匀变速曲线：数为1，那么板间电离气体的电阻率为 运动时，应用动能定理或能量守恒定律 列方程求解。 (4)带电粒子在磁场中做匀变速直线运动 N 时，有两种可能：带电粒子不受洛伦兹 B 力；带电粒子所受的洛伦滋力始终与某 等离子体束 一个力平衡。 例4题图 学 13 高中物理选择性必修第二册（人教版） A Bdv-R B音-R 情境拓展 C.S d Ble-R D弹 自行车速度计利用霍尔效应传感器获知 自行车的运动速率。如图甲所示，自行车前 思路点拨 轮的辐条上安装一块磁铁，轮子每转一圈， 本题需要注意，电源稳定工作时， 这块磁铁就通过传感器一次，传感器会输出 两极板间电压为路端电压，它小于电源 一个脉冲电压。图乙为霍尔元件的工作原理 电动势。本题需利用电动势公式、闭合 图。当磁场靠近霍尔元件时，导体内定向运 电路欧姆定律和电阻定律求解。 动的自由电荷在磁场力作用下偏转，最终使 导体在与磁场、电流方向都垂直的方向上出 B变式训练⑤ 现电势差，即为霍尔电势差。下列说法正确 (多选)质量为m、带电量为q的小球， 的是( ) 从倾角为0的光滑绝缘斜面上由静止下滑， 连接到速度计 传感器 整个斜面置于方向水平向里的匀强磁场中， 其磁感应强度为B,如图所示。若带电小球 霍尔 下滑后某时刻对斜面的作用力恰好为0，下 电源 面说法中正确的是() 乙 ××××××××× ×××××××××× A.自行车的车速不影响霍尔电势差的高低 ××○××××× ☒××××××父 B.图乙中霍尔元件的电流是由正电荷定向 ××X×XX××XX 运动形成的 变式训练5题图 A.小球带正电 C.根据单位时间内的脉冲数和自行车车轮 的辐条数即可获知车速大小 B.小球在斜面上运动时做匀加速直线运动 C.小球在斜面上运动时做加速度增大，而 D.如果长时间不更换传感器的电源，霍尔 速度也增大的变加速直线运动 电势差增加 D.小球在斜面上下滑过程中，当小球对斜 面压力为0时的速率为mgeos0 Bq 14)学高中物理选择性必修第二册（人教版） 【解析】本题考查洛伦兹力的大小与电荷、速度方 向、磁场方向的正确关系。甲中⊥B,乙中)与B夹角 为30°，丙中v与B平行，丁中v与B垂直。 变式训练1B 例2D【解析】电子垂直射人匀强磁场中，由洛 伦兹力提供向心力而做匀速圆周运动，运动时间为= 四，4，且Dh,故A、B错误；由洛伦滋力方向始 终与速度方向垂直，电子在洛伦兹力方向没有位移，所 以洛伦兹力对电子不做功，故C错误；电子垂直射入匀 强磁场中做匀速圆周运动，速度大小不变，D正确。 变式训练2B 情境拓展 AC【解析】根据磁偏角的定义可知，随着地球磁 场的北磁极偏移，太原地区的地磁偏角随之增大，A正 确；电子从赤道上空垂直地面射来，由F洛=qB可知洛 伦兹力随磁感应强度增大而增大，B错误：指南针的N 北极指针指向地磁场的方向，若地磁场发生反转，指南 针的极将指向地球的南极，C正确；由左手定则，地磁 场发生反转后，在赤道上空垂直地面射下的电子将向东 偏转，D错误。 "3.带电粒子在匀强磁场中的运动 知识梳理 知识点1 1.平行匀速直线2.垂直匀速圆周运动速 度3.匀速直线匀速圆周运动 知识点2 3.(1)=m (2)2w 2mm B gB 要点突破 例1BC【解析】根据粒子的运动方向，由左手定 则判断可知粒子带负电，A错误；运动过程中粒子做匀 速圆周运动，速度大小不变，方向变化，D错误：粒子 做圆周运动的半径阳，周期T2 ,从0点到A gB 点速度的偏向角为60°，即运动了67，所以由几何知 识求得点4与x轴的距离为，粒子由0到A经历 的时间=刘治，B、C正确。 变式训练1D 变式训练2C 例2C【解析】当0=60°时，粒子的运动轨迹如图 30 甲所示，由几何关系知a=Rsin30°，即R=2a。设带电粒 子在磁场中运动轨迹所对的圆心角为，则其在磁场中 运动的时间为-云T,即心越大，粒子在磁场中运动的 时间越长，α最大时粒子的运动轨迹恰好与磁场的右边 界相切，如图乙所示，因R=2a,由几何关系可知，此 时圆心角a为1209，即最长运动时间为了，而T2 _4延，所以粒子在场中运动的最长时间为。C 正确。 M ← × B 1×a× 0 知 例2题答图 变式训练3AD 例3 (1)1/2gEa (3)(2 m (2)21V9EL 【解析】(1)如图， 粒子在电场中运动时： 2d-vd,d=af,9E 2 m ●R 解得-V24 N x (2)由动能定理得gEd= 例3题答图 心a.得2V 6 (3)粒子进人磁场 m 1时，==V2区=则粒子从P点进人蓝场1 时的速度方向与分界线的夹角0=45°，由几何关系知 Rcos45°=R-d,解得R=(2+V2)d,由gB=m得，B2= R Q-V2d Em 变式训练4 (bad ()(a m m 例4B【解析】等离子体是在高气压作用下被喷 射人磁场的，所以正离子和电子的运动方向是相同的。 在洛伦兹力的作用下，正离子向极板B方向偏转，负电 子向极板A方向偏转，在极板间建立电场，形成电势 差，在开路状态，当电场力与洛伦兹力平衡时，发电机 电动势恒定，且U=Bd;电路闭合时，U=U外+U=I(R+ HRp号，可得音钟R。 变式训练5BD 情境拓展 A【解析】本题需要根据平衡条件9B=)受及电流 的微观表达式进行推导，得出霍尔电势差U的表达式， 进而得出决定量和无关量。设霍尔电势差为U,则 grB-y号，解得=B加，由电流的微观表达式=neS, 其中n为单位体积内的电子数，e为每个自由电荷的电 量，S为横截面积，v为电子定向移动的速度，解得U= 侧，故电流一定时，霍尔电势老与车速无关，故A正 确；由左手定则可知，形成电流的粒子向外侧偏转，由 图乙可知，外侧为负极，即图乙中霍尔元件的电流I是 由负电荷定向运动形成的，故B错误；设单位时间内的 脉冲数为n',自行车车轮的半径为r,则自行车的速度 为=2m'mn=2n'r,则根据单位时间内的脉冲数和自行 车车轮的辐条数不可计算车速大小，故C错误；如果长 时间不更换传感器的电源，电源内阻增大，电流减小， 由上述分析可知，则霍尔电势差将减小，故D 错误。 >“4.质谱仪与回旋加速器 知识梳理 知识点1 2V mv gB'r2 2U aB 2U Br 知识点2 2.9B 大加速电压 2m 要点突破 例1B【解析】由gU=子2，gB=m号，解得 合V2。又2后V②。，分析各选项可知只 -BV-9 有B正确。 变式训练1ABC 参考答案与解析。 例2C【解析】带电粒子在磁场中运动的周期与 交流电源的周期相同，氚核(H)的质荷比大于a粒子 (e)的质荷比，根据T=2mm,可知氚核在磁场中运动 gB 的周期大，则加速氚核的交流电源的周期较大，根据 gB="严得，最大速度=，则最大动能E=号m n 氚核的质量是α粒子的？，氚核的电量是&粒 子的了，则氚核的最大动能是α粒子的了，即氚核获得 的最大动能较小。故C正确，A、B、D错误。 变式训练2AC 情境拓展 0器2)河 (3)2ra 【解析】(1)甲离子加速过程，由动能定理得gU= 士m,甲高子在蓝场巾做圆周运动B=m其，联立 T 可得9=2U m riB2 (2)乙离子加速过程，由动能定理得=？m, 乙离子在磁场中做圆周运动eB=m2近，联立可得m2 ,根据题意，乙离子轨迹圆心角为135,2。 2 2mm2,则在磁场中运动的时间仁135.2mm2=3mB。 eB 360 eB 8U (3)由∠ABC=∠BCD=135°可知，DC垂直于AB, 垂直于DC进入磁场的丙离子轨迹恰好为四分之一圆弧， 离子速率不变，轨迹半径不变，人射角偏离后，轨迹以 人射点为轴转过α，四分之一圆弧端点的位移为V2 r3:,如图所示。当入射方向向右发散角且角很小 时，以人射点为圆心，V23为半径划过的短弧近似为 线段，此线段与AB的夹角为45°，图中阴影部分近似 为等腰直角三角形，轨迹圆和 C 20D AB的交点向A偏移为V2r· cos45°=-ra。同理当入射方向向 BE- 左发散α角时，轨迹圆和AB交 磁场边界 点向B偏移V2ra·cos45°=ra, 1A--- 故有d=2r3a。 情境拓展答图 31