指数函数与对数函数学习与解题指导讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学核心知识点指数函数与对数函数，系统构建从基础概念到应用的学习支架，涵盖图象性质判断、反函数求解、定义域值域求法、大小比较、最值计算及零点问题等内容，形成递进式知识脉络。 该资料以实例为核心，引导学生用数学眼光观察函数图象对称性等本质联系，培养抽象能力与几何直观。通过逻辑推理解决定义域、零点等问题，发展数学思维中的推理能力与运算能力。课中辅助教师突出重点，课后助力学生巩固知识，有效查漏补缺。

指数函数和对数函数学习与解题案例 指数函数与对数函数是高中数学内容中所要学习的两个最重要的基本初等函数,它们在高考中很受命题者的青睐，是每年必考的重点和热点对象.下面结合实例，帮助并指导同学们有效地利用指数函数和对数函数的图象与性质在解题中发挥正确的导向作用. 学习与指导1.有下列四个命题:①函数与的图象关于轴对称；②函数与的图象关于轴对称；③函数的反函数是；④函数与的图象是关于直线对称的.其中正确命题的个数有( ) A. B. C. D. 学习与指导2.(1)已知函数(且)的定义域是，且它的图象经过点，则它的反函数为_________．(2)已知函数(且)的图象恒过定点，则点的坐标为_________． 学习与指导3.求下列函数的定义域：(1)；(2). 学习与指导4.求下列函数的值域：(1)()；(2). 学习与指导5.比较下来各组数的大小：(1)；(2)(且)；(3). 学习指导6.(1)若函数(,且)在区间上的最小值与最大值之和等于，求的值.(2)已知函数,如果它的定义域和值域都是区间,求的值. 学习与指导7.已知函数,若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 指数函数和对数函数学习与解题指导 指数函数与对数函数是高中数学内容中所要学习的两个最重要的基本初等函数,它们在高考中很受命题者的青睐，是每年必考的重点和热点对象.下面结合实例，帮助并指导同学们有效地利用指数函数和对数函数的图象与性质在解题中发挥正确的导向作用. 学习指导1.有下列四个命题:①函数与的图象关于轴对称；②函数与的图象关于轴对称；③函数的反函数是；④函数与的图象是关于直线对称的.其中正确命题的个数有( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】对于①，设,由于；易知函数与的图象关于轴对称，故①正确.对于②,设,由于；易知函数与的图象关于轴对称，故②正确.对于③，函数的反函数是，故③错误.对于④,函数与是互为反函数,因互为反函数的两函数的图象是关于直线对称的，故④正确.从而知正确的命题有①②④，故选C. 【点评】底数互为倒数的两指数函数与(且)的图象关于轴对称；底数互为倒数的两对数函数与(且)的图象关于轴对称；相同底数的对数函数与指数函数(且)是互为反函数，它们的图象是关于直线对称的. 学习指导2.(1)已知函数(且)的定义域是，且它的图象经过点，则它的反函数为_________．(2)已知函数(且)的图象恒过定点，则点的坐标为_________． 【答案】(1)；(2). 【解析】(1)依题意，将点的坐标代入中，得,又且,解得.从而知函数在上是递增的,于是得；由，解出，再将互换得．从而知原函数的反函数为． (2)因为函数(且)的图象恒过点,则令,解得,此时.故函数(且)的图象恒过定点. 【点评】(1)只有当自变量和因变量之间具有一一对应关系的函数才有反函数,求反函数的三个步骤为：①求出原函数的值域为即为反函数的定义域；②由解出(),符号表示映射的逆映射；③将②中解析式里的互换得()，并同时下结论.(2)求函数(且)的图象过某定点时,只需令并求出,就能得定点为；同理若需求函数(且)的图象过某定点时,只需令并求出,就能得定点为. 学习指导3.求下列函数的定义域：(1)；(2). 【解析】(1)要使函数有意义,则必有,解得,即得.故原函数的定义域为. (2)要使函数有意义,则必有,解得,即得且.故原函数的定义域为. 【点评】求函数的定义域，关键是要列出使函数各部分都有意义的关于自变量的不等式(组)，并求出不等式(组)的解集.要注意以下几点：遇开偶次方根则被开方数要大于或等于零；遇分式则分母不能为零；遇对数型函数则真数要大于零，若底数中含有自变量则底数要大于零且不能等于；遇次幂则底数不能为零. 学习指导4.求下列函数的值域：(1)()；(2). 【解析】(1)设在上单调递减，则得，即得.于是原函数化为()；易知函数在上递减，在上递增，则，即.故原函数的值域为. (2)令；因为函数在上是递增的，则.故原函数的值域为. 【点评】这两道题给出的函数都是复合型函数，要求复合函数的值域一般分两步完成：第一步通过换元法求出新变量的取值范围，即内函数的值域；第二步再求出外函数是以新变量为自变量的函数值域，此值域即为原函数(复合函数)的值域. 学习指导5.比较下来各组数的大小：(1)；(2)(且)；(3). 【解析】(1)考察指数函数在上是增函数，则；又指数函数在上是减函数，时则.所以. (2)①当时，函数在上是减函数，又，所以.②当时，函数在上是增函数，又，所以. (3)由指数函数性质：因为，而，得，且；由对数函数性质：因为，而，得.综上,. 【点评】要比较两个幂值或两个对数值的大小时，常利用指数函数性质或对数函数性质来解决,要善于借助与中间量和的大小比较来判断，当底数为字母时需分类讨论. 学习指导6.(1)若函数(,且)在区间上的最小值与最大值之和等于，求的值.(2)已知函数,如果它的定义域和值域都是区间,求的值. 【解析】(1)由于函数和具有相同的单调性，依题意无论在上递增还是递减，总有，即得，则得，解得. (2)由于函数，它的定义域和值域都是区间，则有，从而得在上为增函数.则有，且，并注意，可解得. 【点评】(1)本题由于函数和具有相同的单调性,巧用的最小值与最大值之和总等于的值,可避免繁琐的分类讨论.(2)解决本问题的关键是去绝对值符号，并根据函数在区间上是递增的，并注意方程有且仅有两个根为和. 学习指导7.已知函数,若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【解析】作出函数的图像如图所示.要使函数有两个不同零点,只需函数与的图像有两个不同交点.由图象观察和分析可得,解得；故实数的取值范围为. 【点评】由于函数的图象是“数与形”结合的最佳载体，因此在处理有些涉及函数的零点、求解函数中含参数的取值范围及解一些特殊不等式等问题时,可结合函数的图象使问题轻松获解.在解题训练中，同学们要争取做到胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野. 学科网（北京）股份有限公司 $