专题4.3 对数讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册《知识解读•题型专练》

本高中数学讲义聚焦对数核心知识点，系统梳理对数的概念（定义、性质、与指数的关系）、运算性质（积、商、幂的对数）、换底公式及推论，构建从概念理解到运算应用再到实际问题解决的学习支架。 资料以5大题型（概念判断、指对互化、运算性质应用等）为主线，结合视力检测、围棋变化数等实际案例，通过例题与变式分层训练，提升学生运算能力与推理意识，培养模型意识，课中辅助教学高效，课后助力学生查漏补缺。

专题4.3 对数【知识解读】 【人教A版（2019）】 题型归纳 【题型 1·对数的概念判断与求值】 2 【题型 2·指数式与对数式的五化】 2 【题型 3·对数的运算性质的应用】 4 【题型 4·运用换底公式化简计算】 5 【题型 5·对数的实际应用】 5 【课后练习】 6 知识点1 对数的概念 1．对数的定义、性质与对数恒等式 (1)对数的定义：一般地，如果=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. (2)对数的性质： ①=0，=1(a>0,且a≠1)，负数和0没有对数. ②对数恒等式：=N(N>0,a>0,且a≠1). (3)对数与指数的关系： 根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a>0，且a≠1时，=Nx=. 用图表示为： 2．常用对数与自然对数 名称 定义 符号 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数 简记作lg N 自然对数 以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e ≈2.71828 简记作ln N 【题型 1·对数的概念判断与求值】 【例1】（23-24高一上·吉林延边·期中）在对数式中，实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高一上·吉林延边·期中）在对数式中，实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）若对数有意义，则的取值范围是________． 【变式1-3】（24-25高一上·全国·随堂练习）对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型 2·指数式与对数式的五化】 【例2】（1-2对数的概念、对数的运算课堂例题）将下列指数式与对数式进行转换 (1)； (2)； (3)； (4). (5)； (6)； (7)； (8) 【变式2-1】（24-25高一上·全国·课前预习）将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4). 【变式2-2】（24-25高一上·全国·课后作业）将下列指数式化为对数式： (1)； (2)； (3)． 【变式2-3】（4.2.1对数运算 4.2.2对数运算法则——课堂例题）将下列指数式与对数式进行转换： (1)； (2)； (3)； (4). 知识点2 对数的运算 1．对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0,N>0,n∈R，那么我们有： 运算 数学表达式 自然语言描述 积的对数 正因数积的对数等于同一底数的各因数的 对数的和 商的对数 两个正数的商的对数等于同一底数的被除 数的对数减去除数的对数 幂的对数 正数幂的对数等于幂指数乘同一底数的幂 的底数的对数 2．对数的换底公式及其推论 (1)换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则=. (2)换底公式的推论： ①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)； ② (a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)； ③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R). 3．对数运算的常用技巧 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. (3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 【题型 3·对数的运算性质的应用】 【例3】（25-26高一上·福建厦门·期中）计算下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【变式3-1】23-24高二下·宁夏银川·期末）计算 (1) (2) 【变式3-2】（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）计算题 (1) (2)． 【变式3-3】（24-25高一下·广西南宁·阶段检测）计算下列各式： (1)； (2). 【题型 4·运用换底公式化简计算】 【例4】（25-26高一上·湖南长沙·期中）设，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一上·山东滨州·期末）式子（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式4-2】（24-25高一上·天津·期末）__________. 【变式4-3】（专题10对数运算八类重难点题型（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册）已知，则________ 知识点3对数的实际应用 对数的实际应用 在实际生活中，经常会遇到一些指数或对数运算的问题.求解对数的实际应用题时，一是要合理建立数 学模型，寻找量与量之间的关系；二是要充分利用对数的性质以及式子两边取对数的方法求解. 对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类： (1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化； (2)建立指数函数型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算. 【题型 5·对数的实际应用】 【例5】（25-26高三上·甘肃·阶段检测）中华人民共和国国家标准（GB11533-2011）中的《标准对数视力表》采用的是五分视力记录方式（缪氏记录法）：，其中为被测试眼睛的视力值，为该眼睛能分辨清楚的标准视力表最低一行“E”形视标的笔画宽度（单位：毫米），为被测试人到标准视力表的距离（单位：米），是与，无关的常量.由于场地大小受限，小华在距离标准视力表4米处检测右眼的视力值，若此时，不考虑其他因素的影响，则小华右眼的视力值为（参考数据：）（   ） A．4.8 B．4.9 C．5.0 D．5.1 【变式5-1】（24-25高一上·广西南宁·期末）标准的围棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，研究过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列数据最接近的是（    ） （参考数据：） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天的“落后”率都是1%，一年后是；这样，一年后“进步”的是“落后”的倍．那么当“进步”的是“落后”的10倍，大约经过（   ）天．（参考数据：，） A．110 B．115 C．120 D．125 【变式5-3】（25-26高一上·江苏徐州·期中）天文学家常常通过比较天体的质量来理解宇宙的尺度.已知太阳是位于太阳系中心的恒星，其质量M大约是千克.金星是太阳系的第二颗行星，其质量m大约是千克.试问，下列各选项中与最接近的是（   ）（参考数据：，） A． B． C． D． 课后练习 【课后练习】 1．（25-26高一上·福建厦门·期中）已知，则（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 2．（专题04指数函数与对数函数01（期末真题分类汇编陕西专用）高一数学上学期）的值为（ ） A．2 B． C．1 D． 3．（25-26高一上·福建漳州·期中）已知函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．10 4．（25-26高一上·江苏常州·期中）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中某类物质的原子总数约为.则下列各数中与最接近的是（    ） （参考数据：） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·江西赣州·期中）已知，，则（   ） A．1 B． C． D． 6．（25-26高一上·江苏淮安·期中）（   ） A． B． C． D． 7．（2022高二下·浙江宁波·学业考试）计算：（   ） A．10 B．1 C．2 D． 8．（23-24高一上·贵州安顺·期末）（多选）下列运算正确的有（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·广西柳州·期末）计算______. 10．（23-24高一上·四川甘孜·阶段检测）已知logx27＝3，则x＝________. 11．（25-26高一上·广西柳州·阶段检测）计算： (1)求值：； (2)求值：； 12．（24-25高一上·广西·期末）计算： (1)； (2). 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.3 对数【知识解读】 【人教A版（2019）】 题型归纳 【题型 1·对数的概念判断与求值】 2 【题型 2·指数式与对数式的五化】 3 【题型 3·对数的运算性质的应用】 6 【题型 4·运用换底公式化简计算】 9 【题型 5·对数的实际应用】 10 【课后练习】 12 知识点1 对数的概念 1．对数的定义、性质与对数恒等式 (1)对数的定义：一般地，如果=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. (2)对数的性质： ①=0，=1(a>0,且a≠1)，负数和0没有对数. ②对数恒等式：=N(N>0,a>0,且a≠1). (3)对数与指数的关系： 根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a>0，且a≠1时，=Nx=. 用图表示为： 2．常用对数与自然对数 名称 定义 符号 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数 简记作lg N 自然对数 以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e ≈2.71828 简记作ln N 【题型 1·对数的概念判断与求值】 【例1】（23-24高一上·吉林延边·期中）在对数式中，实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的概念，底数大于且不等于，真数大于0，列不等式组即可求解． 【详解】要使对数式有意义，需满足， 解得或， 所以实数的取值范围是． 故选：D. 【变式1-1】（23-24高一上·吉林延边·期中）在对数式中，实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的概念，底数大于且不等于，真数大于0，列不等式组即可求解． 【详解】要使对数式有意义，需满足， 解得或， 所以实数的取值范围是． 故选：D. 【变式1-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）若对数有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】利用对数的定义，列出不等式组并求解即得. 【详解】依题意，，解得且， 所以的取值范围是. 故答案为： 【变式1-3】（24-25高一上·全国·随堂练习）对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数真数和底数的性质进行求解即可． 【详解】由题. 故选：C. 【题型 2·指数式与对数式的五化】 【例2】（1-2对数的概念、对数的运算课堂例题）将下列指数式与对数式进行转换 (1)； (2)； (3)； (4). (5)； (6)； (7)； (8) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】根据对数的定义,对数式与指数式互化即可. 【详解】（1）由得. （2）由得. （3）由得. （4）由得. （5）由得. （6）由得. （7）由得. （8）由得. 【变式2-1】（24-25高一上·全国·课前预习）将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【分析】（1）（2）（3）（4）利用指数式和对数式的互化关系式求解即可. 【详解】（1）首先，我们给出指数式和对数式的互化关系式， 对于，可化为. （2）对于，可化为. （3）对于，可化为. （4）对于，可化为. 【变式2-2】（24-25高一上·全国·课后作业）将下列指数式化为对数式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】直接利用指数和对数的关系实现指对互化. 【详解】（1）由，得. （2）由，得. （3）由，得. 【变式2-3】（4.2.1对数运算 4.2.2对数运算法则——课堂例题）将下列指数式与对数式进行转换： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据指数式与对数式的互化可依次将其转化. 【详解】（1）根据指数式与对数式的互化，可知可化为. （2）根据指数式与对数式的互化，可知可化为. （3）根据指数式和对数式的关系，可化为 （4）根据指数式和对数式的关系，可化为 知识点2 对数的运算 1．对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0,N>0,n∈R，那么我们有： 运算 数学表达式 自然语言描述 积的对数 正因数积的对数等于同一底数的各因数的 对数的和 商的对数 两个正数的商的对数等于同一底数的被除 数的对数减去除数的对数 幂的对数 正数幂的对数等于幂指数乘同一底数的幂 的底数的对数 2．对数的换底公式及其推论 (1)换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则=. (2)换底公式的推论： ①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)； ② (a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)； ③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R). 3．对数运算的常用技巧 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. (3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 【题型 3·对数的运算性质的应用】 【例3】（25-26高一上·福建厦门·期中）计算下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据指数幂的运算性质求解出结果； （2）根据对数的运算性质求解出结果； （3）根据对数的运算性质求解出结果. 【详解】（1）原式. （2）原式. （3）原式. 【变式3-1】23-24高二下·宁夏银川·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由指数幂的运算性质直接计算即可； （2）由对数的运算性质直接计算即可. 【详解】（1） ． （2）. 【变式3-2】（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）计算题 (1) (2)． 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）由根式的性质和指数幂的运算求解； （2）利用对数恒等式、换底公式以及对数运算法则求解. 【详解】（1）， ， ， ； （2）， ， ， . 【变式3-3】（24-25高一下·广西南宁·阶段检测）计算下列各式： (1)； (2). 【答案】(1)8； (2)0. 【分析】（1）利用指数运算法则及指数式与对数式的互化关系计算. （2）利用对数运算法则计算得解. 【详解】（1）. （2）. 【题型 4·运用换底公式化简计算】 【例4】（25-26高一上·湖南长沙·期中）设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的运算公式即可求解. 【详解】. 故选：B 【变式4-1】（24-25高一上·山东滨州·期末）式子（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用对数运算法则及换底公式计算即得. 【详解】 . 故选：C. 【变式4-2】（24-25高一上·天津·期末）__________. 【答案】6 【分析】先运用指数式与对数式的恒等变形，以及换底公式的运算性质，分别对各项进行化简，然后再进行计算即可. 【详解】因为：， 所以： . 故答案为： 6. 【变式4-3】（专题10对数运算八类重难点题型（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册）已知，则________ 【答案】 【分析】根据指数与对数的互化、对数的换底公式，对数的运算求解. 【详解】因为，则， 又，所以， 所以. 故答案为：. 知识点3对数的实际应用 对数的实际应用 在实际生活中，经常会遇到一些指数或对数运算的问题.求解对数的实际应用题时，一是要合理建立数 学模型，寻找量与量之间的关系；二是要充分利用对数的性质以及式子两边取对数的方法求解. 对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类： (1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化； (2)建立指数函数型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算. 【题型 5·对数的实际应用】 【例5】（25-26高三上·甘肃·阶段检测）中华人民共和国国家标准（GB11533-2011）中的《标准对数视力表》采用的是五分视力记录方式（缪氏记录法）：，其中为被测试眼睛的视力值，为该眼睛能分辨清楚的标准视力表最低一行“E”形视标的笔画宽度（单位：毫米），为被测试人到标准视力表的距离（单位：米），是与，无关的常量.由于场地大小受限，小华在距离标准视力表4米处检测右眼的视力值，若此时，不考虑其他因素的影响，则小华右眼的视力值为（参考数据：）（   ） A．4.8 B．4.9 C．5.0 D．5.1 【答案】B 【分析】直接代入数据求值即可. 【详解】由题意，得，小华在距离标准视力表4米处检测右眼的视力值，即，代入，得. 故选：B. 【变式5-1】（24-25高一上·广西南宁·期末）标准的围棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，研究过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列数据最接近的是（    ） （参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数的性质对原数取对数后估值即可. 【详解】对取对数得， ，故， 而与最接近，故B正确. 故选：B 【变式5-2】（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天的“落后”率都是1%，一年后是；这样，一年后“进步”的是“落后”的倍．那么当“进步”的是“落后”的10倍，大约经过（   ）天．（参考数据：，） A．110 B．115 C．120 D．125 【答案】B 【分析】根据给定条件，列式并利用对数运算求解. 【详解】设经过天“进步”的值是“落后”的10倍，根据题意，每天进步1%时，天后的进步值为，每天退步1%时，天后的退步值为，则，即， 则, 所以大约经过115天，“进步”的值是“落后”的10倍. 【变式5-3】（25-26高一上·江苏徐州·期中）天文学家常常通过比较天体的质量来理解宇宙的尺度.已知太阳是位于太阳系中心的恒星，其质量M大约是千克.金星是太阳系的第二颗行星，其质量m大约是千克.试问，下列各选项中与最接近的是（   ）（参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的运算性质即可求解. 【详解】， 故， 故选：B 课后练习 【课后练习】 1．（25-26高一上·福建厦门·期中）已知，则（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】根据指对互化关系直接求解即可. 【详解】由指对互化关系得. 故选：C 2．（专题04指数函数与对数函数01（期末真题分类汇编陕西专用）高一数学上学期）的值为（ ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】利用对数运算性质求解即可. 【详解】由. 故选：D. 3．（25-26高一上·福建漳州·期中）已知函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．10 【答案】B 【分析】利用分段函数式求函数值即可. 【详解】由. 故选：B. 4．（25-26高一上·江苏常州·期中）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中某类物质的原子总数约为.则下列各数中与最接近的是（    ） （参考数据：） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的运算法则，结合指数与对数的互化公式进行求解即可. 【详解】令 ， 故选：C 5．（25-26高三上·江西赣州·期中）已知，，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】由对数的运算性质进行计算即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：A. 6．（25-26高一上·江苏淮安·期中）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换底公式结合对数的运算性质化简可得所求代数式的值. 【详解】原式. 故选：A. 7．（2022高二下·浙江宁波·学业考试）计算：（   ） A．10 B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据对数运算性质即可得到答案. 【详解】原式. 故选：B. 8．（23-24高一上·贵州安顺·期末）（多选）下列运算正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据对数的基本运算求解即可. 【详解】对A，，故A错误； 对B，，故B错误； 对C，正确； 对D，正确. 故选：CD 9．（24-25高一上·广西柳州·期末）计算______. 【答案】 【分析】根据分数指数幂和常见对数进行计算. 【详解】由题知，. 故答案为： 10．（22-23高一上·四川甘孜·阶段检测）已知logx27＝3，则x＝________. 【答案】3 【分析】利用指对数互化即可求出x. 【详解】因为x3=27，而33=27，所以x=3. 故答案为：3 11．（25-26高一上·广西柳州·阶段检测）计算： (1)求值：； (2)求值：； 【答案】(1)1 (2)7 【分析】（1）利用指数运算法则分项计算后合并计算求解； （2）利用对数运算法则，结合对数恒等式，分项计算后合并计算求解． 【详解】（1）， ． （2）， ． 12．（24-25高一上·广西·期末）计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）根据根式和分数指数幂的运算性质求解即可； （2）根据对数的运算性质求解即可. 【详解】（1）原式 （2）原式 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $