第4章 指数函数与对数函数 章末归纳提升-（配套教参）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

第四章指数函数与对数函数 章末归纳提升 对应学生用书P151 [网络构建] n次方根及记法 →n次方根与根式 根式及性质 →指数 整数指数幂 运算性质：①a'a-a+s 指数幂 有理数指数幂 ②(ar)=a 指数与指 无理数指数幂 ③(ab)'=a'b 数函数 →定义：y=a(a>0,且a≠1) →指数函数 定义域：R.值域：(0，十∞) 图象和性质 图象恒过定点(0,1) 当0<a<1时为减函数，当 底数↑互为 a>1时为增函数 不同 a相同 反函 函数 →直线上升 指 定义：y=l1ogx(a>0,且a≠1) 增长 指数爆炸 数函 对数函数 定义域：(0，十∞).值域：R 的差 →对数增长 图象和性质 图象恒过定点(1,0) 异 对数与对 当0<a<1时为减函数，当 与 数函数 →定义：a=N台b=1og。N a>1时为增函数 数 运算性质：①1og.(MN)=1og,M+logN 函 对数 ②1og。N M log M-logN ③log M"-nlog.M 换底公式：logb= logb log a 零点：对于一般函数y=f(x),使f(x)=0的实数王 零点的意义：方程f(x)=0有实数解台函数y= 函数的零点与方程的解 f(x)有零点台函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数零点存在定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b] 函数与 上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0， 方程 那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点 解决具 即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程 体问题 函数的 f(x)=0的解 应用（二） →用二分法求方程的近似解 函数模 用已知函数模型解决实际问题 型的应 用 建立函数模型解决实际问题 归纳提升] 题型一】 指数与对数的运算 后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合 指数运算与对数运算是两类重要的运算，它们也是 对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明常用 的技巧 学习指数函数、对数函数的基础. [例1门(1)化简： 指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转 化成正指数，根式化为指数运算，其次若出现分式 a寸-8ab -沿× 则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的， 4b+2ab+a周 2)求信：1g器g+1gV2 32 对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前 ·215· 数学·必修第一册 [解] (1)原式= a(a-8b) (2)设a=log3,b 3 ,c=2,则 ( (2b)2+2ab十(a)2 A.a<b<c B.c<b<a 0xaw-×6-a a C.c<a<b D.b<a<c a-8b [解析] ()解法-器号g+gv2丽 1 f()十f(x》恒成立的图象 -g9-g4+1g75=e9××75 2 0 是向上凸的，如图所示，故只有 y=log2x满足，故选B. =lg0=21g10=2 (2)a=log3<1og1=0,0<b (合)<() 解法二：原式=号（5g2-2g7)-专·21g2十 1,c=23>2°=1，.c>b>a. 号2g7+lg5)=受1g2-1g7-2g2+g7+g5 [答案](1)B(2)A ◇[变式训练] 2.(1)在同一直角坐标系中，函数y= =g2+g50=21g10= 2 1og（x+2)(a>0,且a≠1)的图象可能是( ⊙[变式训练] 1.求下列各式的值： 其兴头 a()-6·e+2-e+10 (2)若函数y=logx(a>0,且a≠1)的图象如图所 21g25+ig2X1g50-号g元-1g:9X1og,2. 示，则下列函数图象正确的是 y y=log x 解：1() -派·e+(2-e)+102 0 =[()】-et.e+(e-2》+2 -(号)-+e2+2-()=是 (2)(1g5)2+lg2×1g500- 1 -log29Xlogs 2 =(1g5)2+1g2×1g5+21g2-1g5 -logs9 解析：(I)当0<a<1时，函数y=a的图象过定点 =lg5(1g5+1g2)+2lg2-1g2+1-2 (0,1),在R上单调递减， =lg5+1g2-1=1-1=0. 于是函数y=的图象过定点(0,1)，在R上单调递增。 题型二指数函数、对数函数的图象及其应用】 画数y=ox(e+》的图象过定点（合0小在 指数函数、对数函数的图象按底数a分为a>1和 0<a<1两类，注意掌握它们的形状和画法，函数图 (合十)上单明递成。 象有着广泛的应用，利用函数的图象可以求函数的 因此，选项D中的两个图象符合。 单调性、值域与最值等， 当a>1时，函数y=a的图象过定点(0,1)，在R [例2](1)在y=2,y=log2x,y=x2这三个函数中， 上单调递增， 当0<<<1时，使f()> 于是函数y=1的图象过定点(0,1)，在R上单调 f(x)十f(x?恒成立的函数的个数是 递减，西数=1g（+号》的圈象过定点（合0月 2 A.0 B.1 C.2 D.3 在（合十上单调道增. 显然A、B、C、D四个选项都不符合 ·216· 第四章指数函数与对数函数 (2)由题意y=logx(a>0,且a≠1)的图象过(3,1) x>1或x<-1, 点，可解得a=3.选项A中，y=31=(号)尸，显然 [解] (1)由 x>1, x-1>0, 图象错误；选项B中，y=x3,由幂函数图象可知正 p-x>0, x<p, 确；选项C中，y=(-x)3=一x3,显然与所画图象 →>1， 不符；选项D中，y=log3(-x)的图象与y=1og3x {x<p. 的图象关于y轴对称，显然不符. ,函数的定义域不能为空集， 答案：(1)D(2)B ∴p>1,函数的定义域为(1，p) 题型指数函数、对数函数的性质及应用] 指数函数、对数函数的性质包括定义域、值域、单调 （2fx)=1ox-1p-x] 性、奇偶性、定点.注意掌握这些函数的性质，特别 =log2(x+1)(p-x), 注意掌握好函数的单调性，函数的单调性有着广泛 不等式化为1og2[(.x+1)(p-x)]>1og2(2x2-2x 的应用，利用函数的单调性可以比较两数的大小， 求函数的值域，解不等式等 -4),则+1Dp-x)>2x2-2x-4, {2.x2-2x-4>0, [例3]已知函数y=log(x2-3.x十3)，当x∈[1,3] 由2.x-2.x-4>0得x>2或x<-1(结合定义域 时有最大值1，求a的值 1<x<p,故x>2), 由(x+1)(p-x)>2x2-2.x-4化简得3.x2-(p+ 当x13]时4e浮3] 1)x-(+4)<0, 解得-1<x<p4(结合x>2和定义城，解集为 3 ①若a>1y=l0g1在[是3]上是增高数， 2<x<十4，需十4<p,即p>2). 则ymax=log3=1, 3 3 .a=3,满足题意. （3f)=log当x-1p-x ②若0<a<1y=log1在[子，3]上是减画数， =log2(x+1)(p-x) 则=0g是1.ia=是满足题痘， =log2[-x2+（p-1)x+],x∈(1，p) 综上所述0=3或是 令1=-+0-1Dx+p=-（-22）+ (p+1)2 ◇[变式训练] =g(x), 4 3.设a为常数且0<a<1,解关于x的不等式 1og.[4+(x-4)a]<21og.(x-2). 卫即1办了3时在L,办)上单调递 ①当2 解：，0<a<1, (p>1, ·原不等式等价于{一2>0， 减，g()<t<g(1),即0<t<2p-2, 14+(x-4)a>(x-2)2 .f(x)<1+1og2(p-1), 即∫x>2, 函数f(x)的值域为(-o∞，1+log2(p-1); {(x-4)(x-a)<0. 0<a<1{>2, ②<. 2； .2<x<4, {a<x<4, (p>1, .原不等式解集为(2,4). 题型四与指数函数、对数函数有关的综合问题 即≥3时8p1<(》 综合问题常是指数函数、对数函数的复合函数问 即0<1≤(p+1)” 4 题，常考查函数的单调性、奇偶性、值域等 .f(x)≤21og2(p+1)-2, [例4]已知函数f(x)=log。 x+1 x-1 +log2(.x-1) 函数f(x)的值域为(-∞，21og2（p+1)-2). +log2（p-x). 综上，当1<<3时，函数f(x)的值域为 (1)求函数f(x)的定义域； (-o∞，1+log2(p-1)； (2)解关于x的不等式：f(x)>log2(2.x2-2x-4); 当p≥3时，函数f(x)的值域为（一∞，2log2(p十 (3)求函数f(x)的值域. 1)-2). ·217· 数学·必修第一册 ⊙[变式训练] 则m(2.x)= 2x+22_(27-2)2+2 4.已知函数f(x)=a(a>0,且a≠1)的图象过 2 2 点) (2)2+2=22+1. 2 (1)求函数f(x)的解析式； 则2cg)+m(2x)≥0在∈[2]上恒成立 (2)若函数h(x)为f(x)的反函数，且h(x2-bx-1)在 (1,5)上单调递减，求b的取值范围； 等价于2ct+2+1≥0在t [-]上0 (3)若函数f(.x)=g(x)十m(x),其中g(x)为奇函 成立， 数，m(x)为偶函数，已知函数e(x)=x|,对于任 意x∈[分，1小都存在x,∈R,使得等式2g(x) 可得 十m(2x1)=w(x2)成立，求实数c的取值范围 又21（+-+2 2t 解：1由画数fx)=。的周象过点(1，号》可得 f1)==号解得a= 当里仅当=品即=号时，等号底宝， 故画数fx)的解析式为f)-(份)， (2)因为函数h(x)为f(x)的反函数， 所以h(x)=logx, 因此，实数c的取值范围为（一©∞，√2]. 易知h(x)在(0，十∞)上单调递减， 题型五函数的零点及零点的存在性判断] 又h(x2-bx-1)在(1,5)上单调递减，所以函数y 1.函数的零点 =x2-bx-1在(1,5)上单调递增，且x2-bx-1>0在 对于函数y=f(x),若f(x)可化为f(x)=g(x)一 (1,5)上恒成立， h(x).则f(x)的零点台f(x)=0的根台函数g(x) 与h(x)图象交点的横坐标.零点、方程的根、图象交 解得b≤0， 点问题可相互转化. (12-b-1≥0， 2.函数零点存在性判断 所以b的取值范围为（一∞，0]。 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不 (3)因为f(x)=g(x)+m(x) =2x 断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0,那么，函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b), 所以f(-x)=g(-x)+m(-x)=2. 使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根. 由g(x)为奇函数，m(x)为偶函数可知一g(x)十 3.函数零点的个数 n(x)=2, 确定函数零点个数有两种方法，一是转化为判断函 可得g)=222,m(x)=2+2 数图象交点个数，二是利用零点存在性定理判断零 2 2 点是否存在，然后再结合函数单调性判断. 又(x)=x|,对于任意x2∈R都有o(x2)≥0， [例5]求函数f(x)=e十4x一4的零点的个数. 因为对于任意∈[合小都存在x∈R,使得等 [解]解法一：，函数f(x)的图象是连续不断的， 式2cg(x1)+m(2x1)=e(x2)成立， 且f(0)=-3<0, f(1)=e+4×1-4=e>0, 所以2cg(x)+m(2)≥0在x∈[2,1上恒 .f(0)·f(1)<0, 成立， 又函数f(x)在R上是增函数， .函数f(x)在(0,1)之间有且只有一个零点. 因为y=2在[合上单调道减，y=2在 解法二：根据函数零点与方程实 【合上单涧递增， 根之间的关系，令f(x)=0,即有 e”=4一4x.在同一直角坐标系中 即)2”22在[]上单调减 分别作出y=e,y=4-4.x的图 象，如图所示，由图易知，两函数 以ga[是月 图象仅有一个公共点，故方程e 4x+4 =4一4x有唯一实根，从而函数f(x)=e十4x一4 ◆)-2-是9] 有唯一的零，点. ·218· 第四章指数函数与对数函数 ⊙[变式训练] 同理取区间中点x4=1.3125,且f(1.3125)<0, 5.1吧知函数fx)=兰-1og:x,在下列区间中，包 从而可知零点在(1.25,1.3125)内. 由于|1.3125-1.25|=0.0625<0.1，此时区间 含f(x)零点的区间是 ( (1.25,1.3125)内任一值精确到0.1后都是1.3， A.(0,1) B.(1,2) 故原函数在区间(1,2)内的近似零点为1.3. C.(2,4) D.(4,+∞) 2-1x,x≤2， ⊙[变式训练] (2)已知函数f(x)= {(x-2)2,x>2, 函数g(x)= 6.(1)判断方程2x3-6.x2+3=0是否有解？如果有 3-f(2-x),则函数y=f(x)-g(x)的零点个 解，有几个解，且全部解的和为多少（精确度为 数为 0.01,解保留两位小数)？ A.2 B.3 C.4 D.5 (2)已知方程2x3-6.x2+5=0的近似解为-0.81， 解析：(1)C[因为f(.x)在(0，十∞)上为减函数， 1.17,2.64,2x3-6x2十7=0的近似解为-0.94， 又f(1)=6-1og21=6>0,f(2)=3-1og22=2> 1.56,2.38,结合(1)你可以得出什么结论？ 0,f4)-号-1og4=2 ∠0 解：(1)设函数f(x)=2x3-6x2十3. f(-1)=-5<0,f(0)=3>0,f(1)=-1<0, 所以由函数零点存在定理知函数f(x)在区间 f(2)=-5<0,f(3)=3>0,且函数f(x)=2x3 (2,4)内必存在零点.] 6x2十3的图象是一条连续的曲线，函数f(x)= (2)A[函数y=f(x) g(x) 2.x3-6.x2+3在区间(-1,0)，(0,1)，(2,3)上分别 g(x)的零点个数即f(x), 有一个零点， g(x)图象的交点个数.在同一 fx) 平面直角坐标系中分别画出 7T0 .方程2x3-6.x2+3=0有3个实数解. 2-1x,x≤2， :f(-1)·f(0)<0,.函数f(x)在区间(-1,0) 函数f(x)= (.x-2)2,x>2 和函数(x)= 内有一个零点xo 3一f(2一x)的大致图象，如图所示，其中函数g(x) 取区间(-1,0)的中点x2=一0.5，用计算器计算 的图象可由f(x)→f(-x)→f(2一x)>一f(2-x) 得f(-0.5)=1.25>0. →3一f(2一x)的图象变化得到.由图可知，函数 f(-1)·f(-0.5)<0,xo∈(-1，-0.5). f(x),g(.x)的图象有2个交点，所以函数y=f(x) 再取(-1，-0.5)的中点x1=-0.75,用计算器计 g(x)的零点个数为2.] 算得f(-0.75)=-1.21875<0. 题型亢 三分法求方程的根 f(-0.75)·f(-0.5)<0, .x。∈(-0.75，-0.5). 求函数的零点或方程的根，对于特殊的函数或方 同理可得，x∈(-0.75，-0.625)， 程，我们可以通过公式法、因式分解求零点或根.对 于一般的函数或方程，不能用公式法或因式分解求 xo∈(-0.6875，-0.625) 零点或根时，我们可以用二分法求其近似解，用二 x∈(-0.65625，-0.625)， 分法求解时，注意二分法使用的条件和步骤。 x0∈(-0.65625，-0.640625)， [例6]借助计算器，用二分法求f(x)=ln(2.x十6)十 x∈(-0.6484375，-0.640625). 2一3在区间(1,2)的近似零点值（精确到0.1）. 由于-0.640625-(-0.6484375)|=0.0078125 [解]由f(.x)=ln(2x+6)-3+2, <0.01, 用计算器作出如下对应值表： 因此方程2x3—6x2+3=0在区间(-1,0)内的解 在区间(-0.6484375，-0.640625)内. 一2 1 由于结果要保留两位小数，我们多计算一步得到： f(z) 2.5820 3.0530 2.7918 1.0794 -4.6974 x∈（-0.64453125，-0.640625). 观察上表，可知零点在(1,2)内，取区间中点x1= .方程2x3-6x2+3=0在区间(-1,0)内的近似 1.5,且f(1.5)≈-1.00，从而零点在(1,1.5)内；再 解为-0.64. 取区间中点x2=1.25,且f(1.25)≈0.20，从而可 同理，可求得方程2x3一6.x2+3=0在区间(0,1)和 知零点在(1.25,1.5)内. (2,3)内的近似解分别为0.83,2.81. 同理取区间中点x3=1.375,且f(1.375)<0,从而 .方程2x3-6.x2十3=0的3个解的和为-0,64十 可知零点在(1.25,1.375)内. 0.83+2.81=3. ·219· 数学·必修第一册 (2)方程2x3-6.x2+5=0,2x3-6.x2+7=0的全部 ⊙[变式训练] 近似解的和都是3.得出如下结论： 7.某校为了鼓励学生利用业余时 一般地，若一元三次方程a.x3+bx2十cx+d=0(a 间阅读名著，预备制定一个每 ≠0)有3个根x1x2x,则x1十x,十c,=一 日阅读考核评份制度，建立一 a 个每日得分y(单位：分)与当 题型七】 函数模型及其应用 日阅读时间x(单位：分钟)的函数关系.要求如下： 常见的函数模型有：一次函数、二次函数、指数函 (1)函数的部分图象接近图示： 数、对数函数、幂函数模型.常见的函数模型应用问 (ⅱ)每日阅读时间为0分钟时，当日得分为0分； 题有三类： (ⅲ)每日阅读时间为30分钟时，当日得分为3分； 1.利用给定的函数模型解决问题.这一类的特点是实 (ⅳ)每日阅读最多得分不超过6分. 际问题所符合的函数模型已经给定，只需要根据模 现有以下三个函数模型供选择： 型解决问题即可； ①y=kx+m(k>0); 2.建立确定性函数模型解决问题.这一类的特点是实 ②y=k·1.1+m(k>0)； 际问题所符合的函数模型是确定的，但没明确给 @y=k1og影（后+2十+m(k>0). 出，需要根据题中数据信息先求出该模型，再运用 它解决实际问题； (1)请你根据函数图象性质，从中选择一个合适的 3.建立拟合函数模型解决实际问题.这一类的特点是 函数模型，不需要说明理由； 实际问题所符合的函数模型不确定，需要从实际问 (2)根据你对(1)的判断以及所给信息，写出合适函 题中收集数据，根据散点图和已学过的模型函数的 数模型的解析式； 性质特点确定选什么函数模型，并求出来，然后检 (3)若该校要求每日的得分不少于5分，问每日至 验拟合的效果，最后再应用它解决实际问题 少阅读名著多少分钟？（结果精确到整数） [例7]某工厂因排污比较严重，决定着手整治，第一 注：2≈6.35. 个月时染污度为60，整治后前四个月的污染度如 解：(1)根据题意可得应选择增长速度为先快后慢 下表： 的增长模型， 月数 2 所以选对数函数模型，故选y=k0g2 怎+2+m (k>0). 污染数 60 31 13 0 (2)由题意及(1)可知(0,0)，(30,3)在y= 污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始 上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开 1og(怎+2+m的图象上， 始工厂的污染模式： 所以 k+m=0, 2k+m=3, 解得k=3,m=一3， f)=20x1G≥D,8a)-gx-4rx≥. 所以y=31og(后 +2-3, h(x)=30|1og2x-2|(x≥1)，其中x表示月数， f(x),g(x),h(x)分别表示污染度 令y=6:可得3g(+23=6，解得x=90. (1)试问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由； 所以函数模型的解析式为 (2)若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少 个月的污染度不超过60？ 3log(+2- 3,0≤x≤90， [解](1)用h(x)模拟比较合理，理由如下： 6,x>90 因为f(2)=40g(2)≈26.7，h(2)=30; f(3)=20,g(3)≈6.7，h(3)≈12.5. (3)令y=31og（话+2 -3≥5， 由此可得h(x)更接近实际值，所以用h(x)模拟比 较合理， 可得os(信+2P (2)因为h(x)=30|1og2x-2在x≥4时是增函数， 即后十2≥2≈6.35，解得x≥66 h(16)=60,所以整治后有16个月的污染度不超 所以每日的得分不少于5分，至少需要阅读66 过60. 分钟 ·220·