精品解析：四川省泸州高级中学校2024-2025学年高一上学期第三次月考试数学试题

泸州高中2024年秋期高2024级第3次月考 数学试卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合“交”运算即可求解. 【详解】由题意可知，， 所以. 2. 若，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据可得：，然后根据不等式的性质逐项进行检验即可求解. 【详解】因为，所以，故选项错误； 因为，所以，则有，故选项正确； 因为，所以，又因为，所以，则，故选项错误； 因为，所以，两边同时除以2可得：，故选项错误， 故选：. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，可得， 即， 故. 4. 如图，已知函数的图象关于原点对称，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性及单调性即可求解. 【详解】对于A，的定义域,， 所以是偶函数， 对于B，的定义域,， 所以是奇函数， 当时，，，所以在上单调递增， 对于C，的定义域,，所以是偶函数， 对于D，的定义域,，所以是奇函数， 当时，，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减. 由的图象关于原点对称，可知是奇函数，因此可以排除A和C； 又对于B选项，当时，单调递增，故排除B， 故选：D. 5. 为三角形内角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系，结合条件等式与角的范围求出，进而求得，即可求得答案. 【详解】因为，所以，即 整理得，因为，所以. 所以，代入，可得. 所以. 6. 已知，，且恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合基本不等式与不等式求解的最小值即可得实数m的取值范围， 【详解】因为，，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 若恒成立，则. 故选：A. 7. 若函数与函数互为反函数，则的单调递减区间是（  ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由反函数定义求出，由复合函数单调性满足同增异减进行求解，注意定义域 【详解】由反函数定义可知，其在上单调递增， 由得， 其中在上单调递增，在上单调递减， 由同增异减可知的单调递减区间是. 8. 设函数，不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先换元令，分和求解外层不等式，再分段对和解内层不等式，取并集即可得到解集. 【详解】令，则不等式转化为. 当时，则，所以； 当时，则，解得， 综上：或，即或. 对于： 当时，则有， 所以； 当时，则有，即，无解； 对于： 当时，则有，所以； 当时，则有，即，所以， 综上，不等式的解集是. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分． 9. 以下说法正确的有（　　） A. “”是“”的必要不充分条件 B. 命题“”的否定是“” C. “”是“”的充分不必要条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】CD 【解析】 【详解】对于A，因为，且 所以“”是“”的充分不必要条件，A错误； 对于B，“”的否定是“”，B错误； 对于C，若，则，所以， 反之，若，满足，但无意义， 所以“”是“”的充分不必要条件；C正确； 对于D，若，当时，，当时，， 即， 若，则一定不等于，即， 所以“”是“”的必要不充分条件，D正确. 10. 以下说法正确的有（　　） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，利用根式的性质即可判断；对于B，综合利用幂函数与指数函数的性质即可判断；对于C，利用完全平方公式即可判断；对于D，利用指数式与对数式转换，结合对数运算性质即可判断. 【详解】对于A，等式左边中蕴含即，而等式右边，等式左右不相等，故A错误； 对于B，，所以即，故B正确； 对于C，即，所以，故C错误； 对于D，，那么即，故D正确. 11. 已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 的周期为4 B. C. 的所有零点之和为16 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，根据和的奇偶性推出，A正确；B选项，计算出，利用函数周期求和；C选项，转化为两函数的交点横坐标之和，得到答案；D选项，根据的周期和特征，结合的性质可得D正确. 【详解】A选项，为偶函数，故， 所以， 是定义在上的奇函数，故， 所以，故，所以， 所以的周期为4，A正确； B选项，当时，，故， 是定义在上的奇函数，故， 中，令得， 令得，又， 所以， 故 ，B正确； C选项，令得，即， 故的所有零点之和可转化为和的交点横坐标之和， 同一坐标系内画出两函数的部分图象，如下： 可以看出共有7个交点，且；，关于点中心对称， 且，所以的所有零点之和为，C错误； D选项，的最小正周期为， 当时，，故， 由C中图象可知：在上恒成立，所以恒成立， 当时，， 由C中图象可知在上恒成立，所以恒成立， 的最小正周期为4，故恒成立，D正确. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知扇形的圆心角为，扇形的面积为，则该扇形的弧长为____________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用扇形的面积求出扇形的半径，再带入弧长计算公式即可得出结果． 【详解】解：由于扇形的圆心角为，扇形的面积为， 则扇形的面积，解得：， 此扇形所含的弧长. 故答案为：. 13. 若函数的图象恒过定点，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用指数函数过定点，由指数为0求出参数，再结合指数函数的单调性求出的范围，进而可求的取值范围. 【详解】因为函数的图象恒过定点， 所以，解得，所以， 因为在上单调递增，所以，所以， 即的取值范围是. 14. 设函数满足，且时.则不等式的解集是________. 【答案】 【解析】 【分析】令，转化为讨论的性质，利用特殊值法以及单调性的定义可得在上单调增，且.于是将不等式转化为，并结合单调性得到，最后解得. 【详解】设，则， 令，则，所以， 令，则. 设，因为时，所以， ， ， 由函数单调性的定义可知，在上单调递增. 又因为可化为 ，即， 结合，可得， 所以， 又因为在上单调递增，所以， 即，所以， 因为对恒成立， 所以，解得. 四、解答题：共计77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算下列式子的值： （1）； （2）. 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】（1）利用对数运算公式计算；（2）利用分数指数幂进行化简求值. 【小问1详解】 【小问2详解】 16. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先解出集合及其补集，代入得到集合，再按照交集、并集定义运算； （2）根据，分为空集和不为空集两种情况，建立不等式，讨论求解即可. 【小问1详解】 已知集合， 解，即，可得或， 所以， 则． 当时，， 所以． 【小问2详解】 ①若，即，则； ②若，则， 解得， 综上可得实数的取值范围为． 17. 随着经济的发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习，已知前3年平台会员的个数如下表所示（其中第4年为预估人数，仅供参考）： 建立平台第年 1 2 3 4 会员个数（千人） 14 20 29 43 （1）依据表中数据，从下列两种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台年后平台会员人数（千人），并求出你选择模型的解析式：①，② （2）为控制平台会员人数盲目扩大，平台规定会员人数不得超过千人，依据（1）中你选择的函数模型求的最小值. 【答案】（1）选择②，，. （2） 【解析】 【分析】（1）根据表格数据可知函数递增且增长速度越来越快，故选择模型②，用表格中三个点的数据代入模型②的解析式，通过构造方程组即可求得该模型的表达式； （2）根据（1）中结论可将不等式整理为对恒成立，采用换元法，结合二次函数的性质可求得的最大值，从而得到的取值范围. 【小问1详解】 从表格数据可以得知，函数是一个增函数，且函数增长的速度越来越快，     选择②（且） 代入表格中的三个点可得：，解得： ，. 【小问2详解】 由（1）可知：，，故不等式对恒成立， 对恒成立， 令，则，    ，， 在上单调递增，，    . 18. 已知函数相邻两条对称轴的距离为． （1）当时，求函数的最大值，并求出取得最大值时所有的值； （2）若为偶函数，设，求的单调递增区间； （3）设，过点.已知实数，若对任意时，都存在，使得成立，这样的实数是否存在？若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）最大值为1， （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由已知得，进而写出解析式，根据正弦型函数性质求最值及对应值； （2）由题意得，进而确定的解析式，应用余弦型函数的单调性求递增区间； （3）利用换元法求得的值域，求得的值域，进而由，进而可求得的最小值. 【小问1详解】 由题知，，所以，所以，所以， 又，所以的最大值为1， 此时，即 所以取得最大值时所有的值为； 【小问2详解】 由为偶函数，得，又， 所以， 所以， 由，解得， 所以的单调增区间为. 【小问3详解】 ， 令又，则，可得. 因为过点，所以， 所以，即， 又，所以， 因为，所以， 所以，所以， 由题意知，只需， 所以. 19. 已知函数是偶函数，是奇函数． （1）求实数的值； （2）用定义法证明函数在R上是增函数； （3）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）设，，因为，所以，所以，所以函数在R上是增函数 （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数偶函数的性质运算即可求出参数，注意检验.； （2）利用函数的单调性的定义证明即可； （3）首先根据的单调性化简不等式，进一步通过换元法，将不等式转换为恒成立即可，分类讨论即可求解. 【小问1详解】 由题知函数定义域均为.∵是偶函数，∴. 即整理得即. 此时经检验，符合题意. ∵是奇函数 ∴， 此时经检验，符合题意. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 在上单调递增，故有对恒成立， 又. ∴对恒成立. 令由知. 则有对恒成立. 即对恒成立. 令. 只需即可.又对称轴为， ①当，即时，在上单调递增， 只需即可.∴. ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增. ∴. 解得∴. 综上所述，的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泸州高中2024年秋期高2024级第3次月考 数学试卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知函数的图象关于原点对称，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 5. 为三角形内角，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，且恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数与函数互为反函数，则的单调递减区间是（  ） A. B. C. D. 8. 设函数，不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分． 9. 以下说法正确的有（　　） A. “”是“”的必要不充分条件 B. 命题“”的否定是“” C. “”是“”的充分不必要条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 10. 以下说法正确的有（　　） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 的周期为4 B. C. 的所有零点之和为16 D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知扇形的圆心角为，扇形的面积为，则该扇形的弧长为____________. 13. 若函数的图象恒过定点，则的取值范围是_________. 14. 设函数满足，且时.则不等式的解集是________. 四、解答题：共计77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 计算下列式子的值： （1）； （2）. 16. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 17. 随着经济的发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习，已知前3年平台会员的个数如下表所示（其中第4年为预估人数，仅供参考）： 建立平台第年 1 2 3 4 会员个数（千人） 14 20 29 43 （1）依据表中数据，从下列两种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台年后平台会员人数（千人），并求出你选择模型的解析式：①，② （2）为控制平台会员人数盲目扩大，平台规定会员人数不得超过千人，依据（1）中你选择的函数模型求的最小值. 18. 已知函数相邻两条对称轴的距离为． （1）当时，求函数的最大值，并求出取得最大值时所有的值； （2）若为偶函数，设，求的单调递增区间； （3）设，过点.已知实数，若对任意时，都存在，使得成立，这样的实数是否存在？若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由. 19. 已知函数是偶函数，是奇函数． （1）求实数的值； （2）用定义法证明函数在R上是增函数； （3）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $