精品解析：四川省广安市加德学校2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试题

广安加德学校2025-2026学年度上期高2025级第一次月考 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题 1. 下列元素与集合的关系中，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 集合，，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 0或 D. 0或或1 3. 命题的否定是（    ） A. B. C. D. 4. 已知，且，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，且，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 6. 若一元二次不等式的解集是或，那么下列选项正确的是（    ） A. B. C. D. 的两根为 7. 已知，且，则的最小值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 命题，“关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件是，（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（ ） A. B. C. D. 10. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若且，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 11. 已知，，且，则（     ） A. 的最大值为 B. 的最大值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值为3 三、填空题 12. 不等式的解集是_________. 13. 已知，若命题：“存在，使得”为假命题，则的最小值为______________. 14. 是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②；③；④. 与集合相等的集合序号是______. 四、解答题 15. （1）已知全集，集合，，求：和； （2）设全集，，，求、. 16. （1）比较和的大小. （2）已知，都是正数，求证：. 17. （1）解不等式 ． （2）求关于x的不等式 的解集，其中a是常数． 18. 已知集合，集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 19. 已知函数，． （1）恒成立，求实数的取值范围； （2）若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围； （3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广安加德学校2025-2026学年度上期高2025级第一次月考 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题 1. 下列元素与集合的关系中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系、常见数集的定义判断即可. 【详解】表示全体实数组成的集合，则，故A错误； 表示全体有理数组成的集合，则，故B错误； 表示全体正整数组成的集合，则，故C正确； 表示全体自然数组成的集合，则，故D错误. 故选：C. 2. 集合，，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 0或 D. 0或或1 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的互异性以及子集概念即可求出a的值． 【详解】由集合元素的互异性可知，又因为，所以a的取值只能是A中的元素，所以或． 故选：C． 3. 命题的否定是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定直接判断即可. 【详解】命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求否定是. 故选：A. 4. 已知，且，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质进行判断即可. 【详解】因为，且， 所以，，故CD错误； 因为，，所以即恒成立，故A正确； 取，，则，但此时，故B未必成立. 故选：A 5. 已知，，且，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式即可求得的最大值. 【详解】因为，， 根据基本不等式可得，所以. 当时，取最大值. 故选：A. 6. 若一元二次不等式的解集是或，那么下列选项正确的是（    ） A. B. C. D. 的两根为 【答案】D 【解析】 【详解】因为一元二次不等式的解集是或， 所以且的两根为， 所以，即， 所以，即， 故ABC错误，D正确. 7. 已知，且，则的最小值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】由于，所以，即, 所以，解得：或， ，则的最小值为2. 8. 命题，“关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件是，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程的根为正实数，求得，即可根据真子集关系求解. 【详解】关于x的方程的根为正实数， 则需满足或，解得， 因此“关于x的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件设为， 则， 结合选项可知满足， 故选：B 二、多选题 9. 如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析元素与各集合的关系，即可得出合适的选项. 【详解】在阴影部分区域内任取一个元素，则且，即且， 所以阴影部分可表示为，A对； 且，阴影部分可表示为，而，故C错误； 且，阴影部分可表示为，D对； 显然，阴影部分区域所表示的集合为的真子集，B选项不合乎要求. 故选：AD. 10. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若且，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 【答案】BC 【解析】 【分析】举反例判断AD；作差法判断B；对于C，结合不等式的性质利用作差法判断即可. 【详解】对于A，取，满足且，但，不满足，错误； 对于B，因为，， 所以，即，正确； 对于C，， 因为，所以，所以，所以成立，正确； 对于D，取，满足且，但，不满足，错误. 故选：BC 11. 已知，，且，则（     ） A. 的最大值为 B. 的最大值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值为3 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，利用基本不等式分析判断，对于B，对平方后利用基本不等式判断；对于C，由，再结合基本不等式分析判断；对于D，利用乘“1”法及基本不等式判断. 【详解】对于A：因为，，且， 所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故A正确； 对于B：由 ，则， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故B错误； 对于C：由， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故C正确； 对于D：由 ， 当且仅当，即，时取等号， 又，所以没有最小值，故D错误. 三、填空题 12. 不等式的解集是_________. 【答案】 【解析】 【分析】解分式不等式即可得到答案. 【详解】， 等价于， ∴. 故答案为：. 13. 已知，若命题：“存在，使得”为假命题，则的最小值为______________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用量词命题的否定，将问题转化为二次不等式恒成立问题，进而得到，从而利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】因为命题：“存在，使得”为假命题， 则“任意，都有”为真命题， 对于，所以， 要使“任意，都有”为真命题， 则，即， 因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 故答案为：. 14. 是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②；③；④. 与集合相等的集合序号是______. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用集合的定义以及集合相等的定义进行验证，即可得出结论. 【详解】对于①中的集合，，设，，， 则，则，①中的集合与集合相等； 对于②中的集合，，设，，，且、不同时为零. 则，其中，，②中的集合与集合相等； 对于③中的集合，取，，，，则，③中的集合与集合不相等； 对于④中的集合，设，，其中、、、，则，，，④中的集合与集合相等. 因此，集合相等的集合序号是①②④. 故答案为①②④. 【点睛】本题考查集合相等的定义，解题时要充分利用集合的定义进行验证，考查计算能力，属于中等题. 四、解答题 15. （1）已知全集，集合，，求：和； （2）设全集，，，求、. 【答案】（1），；（2），. 【解析】 【分析】（1）利用交集和补集的定义可求得集合，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）利用交集的定义可求得集合，利用补集和并集的定义可求得集合. 【详解】（1）因为全集，集合，， 所以，故， 因为，，故； （2）因为全集，，， 所以， 因为或，故. 16. （1）比较和的大小. （2）已知，都是正数，求证：. 【答案】 （1） （2）∵，由均值不等式得，. 由不等式的性质，得，当且仅当且时，等号成立，即证. 【解析】 【分析】（1）利用作差法比较大小即可； （2）根据基本不等式及不等式性质证明即可. 【详解】（1）， 所以 （2）略 17. （1）解不等式 ． （2）求关于x的不等式 的解集，其中a是常数． 【答案】（1）或 （2）当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可； （2）分类讨论，结合一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）方程有两个不相等的实数根，． 函数的图象如图所示，与轴有两个交点，， 由图象得不等式 的解集为或． 原不等式 可化为 ， （2）方程的根为，或. 当时，不等式的解是； 当时，不等式无解； 当时，不等式的解是 综上所述，当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是. 18. 已知集合，集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用集合子集关系求解即可. （2）将问题转化为集合是集合的真子集即可求解. 【小问1详解】 由题意， 因为，所以； 所以，解得， 所以实数的取值范围为 【小问2详解】 ∵命题是命题的必要不充分条件，∴集合是集合的真子集， 当时，，解得， 当时，，解得 经检验，时，与集合是集合的真子集矛盾，故舍去. 综上所述，实数的取值范围为． 19. 已知函数，． （1）恒成立，求实数的取值范围； （2）若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围； （3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，不等式对任意的恒成立，分、两种情况讨论，在时直接检验即可，在时，根据二次不等式恒成立可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围； （2）将所求方程变形为，由题意得出，且，结合韦达定理得出，再由韦达定理得出，结合不等式的基本性质可求得的取值范围； （3）令，则，依题意可得关于的方程有四个不等实根，令，则，问题转化为存在使得关于的方程有两个不同正根，利用二次方程根的分布可得出关于实数的不等式，结合主元法可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 由得恒成立， 故不等式对任意的恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 【小问2详解】 由可得，整理得， 由题意可知，且，解得或， 由韦达定理可得，，可得，故， 所以， 因为，所以，所以， 故的取值范围是. 【小问3详解】 当时，令，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时取等号， 依题意可得关于的方程有四个不等实根， 令，则，则问题转化为存在使得关于的方程 有两个不同正根、， 所以， 因为，则，由可得， 由可得或，故， 由知，存在使不等式成立， 把看成主元代入，可得，即， 解得或，综合可得， 故实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $