25.2.2 公式法 同步练习2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 该同步练习围绕“一元二次方程的根的判别式”“公式法解方程”，采用基础-中档-拓展三层设计，通过单一知识点巩固到综合应用进阶，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础题|根的判别式计算、根的情况判断、公式法步骤|直接应用概念，如判断根的情况、基础解方程，强化运算能力| |中档题|字母取值范围确定、错误分析、实际问题|结合数轴（第7题）、解题错误辨析（第8题），发展推理意识| |拓展题（小专题/综合题）|根的判别式综合应用（新定义、抄错还原等）、方程与几何综合|设计“和系数方程”（类型3）、抄错还原（类型4）等情境，提升模型意识与创新意识|

25.2.2 公式法 第 1课时 一元二次方程的根的判别式 基础题 知识点1 利用根的判别式判断一元二次方程的根的情况 1.一元二次方程 根的判别式的值是( ) A.33 B.23 C.17 2.一元二次方程 的根)( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 知识点2 利用根的判别式确定字母的取值或范围 3.已知关于x的一元二次方程 (1)根的判别式 (2)当m 时，方程有两个不相等的实数根. (3)当m 时，方程有两个相等的实数根. (4)当m 时，方程无实数根. 4.(2024·唐山路北区期末)若关于x的一元二次方程 没有实数根，则m的最小整数值是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 5.已知关于x的一元二次方程 2=0有实数根. (1)若x=0是方程的一个根，求m的值. (2)求m的取值范围. 易错点 用一元二次方程根的判别式时需要考虑二次项系数不为0 6.若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是( ) A. m≤3 B. m≥2 C. m≤3且m≠1 D.1≤m≤3 中档题 7.已知关于x的一元二次方程 其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则方程的根的情况是( ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 8.嘉嘉在解方程 时，经过一系列的计算后得到 淇淇看了一眼嘉嘉的答案，说：“你的结果不对，这个方程只有一个实数根.”根据以上叙述，判断下列结论正确的是( ) A.嘉嘉的解是正确的 B.淇淇说得对，因为 C.嘉嘉和淇淇的说法都不对，因为 4ac<0，所以该方程无解 D.由 可得，该方程有两个不相等的实数根，但嘉嘉的结果是错的 9.已知关于x的方程 (1)当k=1时,方程的解为 . (2)当k=-1时，判断方程根的情况. (3)求证：当k≠0时，方程总有两个实数根. 小专题1 根的判别式的多姿面孔 类型1 过程探究型 1.老师设计了接力游戏，用合作的方式判断一元二次方程根的情况，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一个人，最后完成判断，过程如图所示.接力中，自己负责的一步出现错误的是( ) A.只有甲 B.甲和乙 C.乙和丙 D.乙和丁 类型2 结论探究型 2.已知实数k，现有甲、乙、丙、丁四人对关于x的方程 进行了讨论： 甲说：这一定是关于x的一元二次方程； 乙说：这有可能是关于x的一元一次方程； 丙说：当 k≥-1时，该方程有实数根； 丁说：只有当 k≥-1且k≠0时，该方程有实数根. 下列判断正确的是 ( ) A.乙和丙说得对 B.甲和丁说得对 C.甲和丙说得对 D.乙和丁说得对 3.探讨关于x的一元二次方程 总有实数根的条件，下面三名同学给出建议. 甲:a,b同号;乙:a-b-1=0;丙:a+b-1=0.其中符合条件的是( ) A.甲、乙、丙都正确 B.只有甲不正确 C.甲、乙、丙都不正确 D.只有乙正确 类型3 新定义型 4.定义：如果一元二次方程 满足b=a+c,我们就称这样的一元二次方程为“和系数”方程.已知一元二次方程 是“和系数”方程，且a≠c，则该一元二次方程的根的情况为( ) A.只有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.有两个不相等的实数根 类型4 抄错还原型 5.嘉嘉在解关于x的方程 时，只抄对了a=1，b=4，解出其中一个根是x=-1.他核对时发现所抄的c 比原方程的c小2.则原方程的根的情况是( ) A.不存在实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有一个根是x=-1 D.有两个相等的实数根 6.淇淇在解关于x的方程 时，将其抄成了 得到一个解是x=-2，则原方程的根的情况是( ) A.不存在实数根 B.有两个实数根 C.有一个根是x=-2 D.不确定 类型5 污染遮住型 7.嘉琪在解一元二次方程 时，不小心把二次项系数沾上了墨水.若这个一元二次方程有两个不相等的实数根，则被沾上了墨水的二次项系数可能是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 8.嘉嘉准备完成题目：解一元二次方程 (1)若“□”表示常数5，请你求出方程的解. (2)若“□”表示一个字母，且一元二次方程 6x+□=0有实根，求“□”所表示字母的最大值. 第 2课时 用公式法解一元二次方程 基础题 知识点 用公式法解一元二次方程 1.一元二次方程 的两个根是( ) 2.用公式法解方程： 解：方程化为一般形式，得 . ∴方程有 实数根，为 即 3.方程: 的根是 4.用公式法解下列方程： (2) (4) (5 (6) 5.小明在利用公式法解方程 时出现了错误，他的解答过程如下： ∵a=1,b=-5,c=1,(第一步) (第二步) ∴方程有两个不相等的实数根. (第三步) (第四步) (1)小明的解答过程是从第 步开始出错的. (2)写出此题正确的解答过程. 中档题 6.若 是某个一元二次方程的一个根，则这个一元二次方程可以是( ) 7.有一个正数a,且a与1的和乘a与1的差仍得a，则a=( ) 或 8.黄金分割被很多人认为是“最美比例”，在自然界中黄金分割也很常见，如图所示的是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点 B 是线段 AC 的黄金分割点,即满足 BC:AB=AB:AC,且AB>BC.若AC=9 cm,则AB= cm. 9.定义： 则方程 的解为 10.已知关于x的一元二次方程(x-3)(x-2)=|m|. (1)若 利用公式法解这个方程. (2)若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根. 综合题 11.已知关于 x 的方程 (1)求证：无论k取何值，这个方程总有实数根. (2)若等腰三角形 ABC的一边长a=5，另两边的长b，c恰好是这个方程的两个根，求k的值与△ABC的周长. 25.2.2 公式法 第1课时 一元二次方程的根的判别式 1. C 2. A 3.(1)16-4m (2)<4 (3)=4 (4)>4 4. B 5.解:(1)把x=0代入原方程,得3m-2=0,解得 (2)根据题意，得 解得m≤2. 6. C 7. B 8. C 9.解: (2)当k=-1时,原方程为 ∴方程有两个相等的实数根. (3)证明：当 k≠0时，原方程为一元二次方程，则 ∴方程总有两个实数根. 小专题1 根的判别式的多姿面孔 1. B 2. A 3. B 4. D 5. A 6. B 7. B 8.解:(1)∵“□”表示常数5,∴ 即 解得 (2)设“□”表示的字母为a，则一元二次方程 有实根， 解得a≤9.∴a的最大值为9,即“□”所表示字母的最大值为9. 第 2课时 用公式法解一元二次方程 1. A 2 3 -2 25 两个不相等的 4.解: ∴方程有两个不相等的实数根. (2)∵a=2,b=5,c=0,. ∴方程有两个不相等的实数根. ∴.此方程无实数根. =0,∵a=1,b=-5, ∴方程有两个相等的实数根. (5)原方程可化为 .∴方程有两个不相等的实数根.∴x= (6)原方程可化为2x²+4x-3=0.∵a=2,b=4,c=-3,(-3)=40>0.∴方程有两个不相等的实数根. 5.解：(1)- (2)方程化为一般形式，得 ∴方程有两个不相等的实数根. 6. A 7. B 10.解: ∵a=1, ∴方程有两个不相等的实数根. (2)∵方程的一个根是1，∴|m|=2.∴m=±2.∴原方程为 解得 ∴m的值为±2，方程的另一个根是4. 11.解:(1)证明: 即△≥0,∴无论k取何值，这个方程总有实数根. (2) 当b=c=2时,2+2<5,不符合题意,舍去.∴b,c中有一个为2,有一个为5.∴2k-1=5,解得k=3.∴△ABC的周长为5+5+2=12. 学科网（北京）股份有限公司 $