广东揭阳第一中学、汕头金中海湾学校联考2026-2027学年高三上学期摸底考试数学试卷

2026-2027学年度高三级摸底考试数学科参考答案 1.A2.A3.D4.D5.D6.A7.C【解析】先将5名志愿者分成3组，第一类分法是3,1,1，第二类 分法是2,2,1，再分配到三项活动中，总安排数为（婴+）×居=150，甲、乙、丙三位同学所报活动各不 相同排列数为ACC=54,设事件A为甲、乙、丙三个同学所报活动各不相同，“P④=器=云故选C 8.D【解析】设f(x)=e2-2,g)=lx,则f'()=e,g'()=是 设f(x)与g(x)的公切线的切点分别为(x1,e1-2),(x2,Inx2), 则切线方程为y-(e1-2)=e*1(x-x1),即y=e1x-e1x1+e1-2, y-lx2=6c-x2,即y=x-1+ln,所以e1=0,-ex+e1-2=-1+lnx@, e(x 由①式可得x1=n=-lnx2,代入②式可得-e1x1+e凶-2=-1-x1,即(e1-10(1-1)=0, 解得x1=0或x1=1,当x1=0时，公切线斜率为1，当x1=1时，公切线的斜率为e,其大致图象如图所示， 由图可得ae[1,e].故选D. 9.ABD10.BC【解析】因为抛物线E:之2=2y,所以准线1的方程为：y=-之因此选项A错误.。 因为AF1y轴，1=x1=士1，那么1AF=1,因此选项B正确. 由于k=兰=1，x好=2y1号=2y2,两式作差(x1+2)(x1-2)=201-y2)→当==1， x1-x2 x1-x2 2 即x1+x2=2,因此选项C正确 以A8刷为直径的圆，圆心为（色整，垫），半径为r=M,则圆心到1的距离为：d=+2出， 2 由于r=≤AP+BA=++,因此d≥，该圆与1相切或相离，因此选项D错误.故选BC. 2 2 2 11.ACD【解析】对于A,正方体ABCD-A1B1C1D:的棱长为2，M,N,P分别为棱AB,CC1,A1D1的中点， 取DD1的中点Q,连接AQ,QN,NB,QN/CD,QN=CD,AB/CD,AB=CD,AB/QN,AB=QN, 四边形ABNQ是平行四边形，△ADQ兰△DD1P,·∠QAD=LPDD1, :∠QAD+∠PDA=∠PDD1+∠PDA=90°，PD⊥AQ.:AB⊥平面ADD1A1,PDC平面ADD1A1, AB⊥PD.又AQ0 AB=A,AB,AQC平面ABNQ,·PD⊥平面ABNQ.而PD⊥BO,则0∈平面ABNQ, 点O的轨迹是矩形ABWQ(点B除外).当O与Q重合时，BO的长度最大，且最大值为BQ=3, :若O是正方体表面上的动点，且B0⊥PD,则BO长度的最大值为3，故A正确： 对于B,在四边形ADD1A1中，取AA1的中点R,连接RD1,过点P作PS⊥RD1于S,且交AQ于点T, 过R作RU/IST且交Ag于点U,~RD/AQ,PS⊥RD1,·PS⊥AQ, 而PT=PS+5T=PS+RU=PD,sin_PD,S+ARsIn-R40=1×方+1×后-S 第1页，共4页 D AB⊥平面ADD1A1,PTC平面ADD1A1,·AB⊥PT.又PT⊥AQ,AB,AQC平面AONB, AB AQ=A,:PT1平面AQNB,A点P到平面AQNB即平面BN的距离为 .k Vg-PMw=p-8ww=×(兮×1×V⑤)×=子四面体BPMN的体积为号故B错误： 对于C,分别取BC,C1D1的中点V,W,连接PW,N,NW,M,MR,RP,平面MNP截正方体所得截面即为 正六边形PWNVMR,其面积为×(W2×6=3V3,“平面M0NP截正方体所得截面的面积为33，故C正确： 对于D,BB1⊥平面ABCD,MVc平面ABCD;则BB1⊥MV,而BD⊥MV,由BB1∩BD=B都在平面BB1D内， 则MV⊥平面BB1D,B:Dc平面BB1D,÷MV⊥B1D,同理NV⊥B:D,又MV O NV=V且都在平面PWNVMR内， B1D⊥平面PWNVMR,即B1D⊥平面MNP,故D正确.故选ACD. 12.24013.30614.0【解析】因为f(x)=si(ox+p)的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为5的等差 数列，所以f)的周期r=2×经元，即号=m,结合w为正数，解得仙=2.又因为fc+)为偶函数， 所以f(x+)=f(-x+爱)，可知f(x)的图象关于直线x=对称，可得ω·+p=+k(kEZ), 即+p=+kπ(k∈2)，结合lpl<取k=0得p=F所以f()=sin(2x+), 可得g()=f2(x+】=sin(4x+)=cos4x.因此，f(③+g(f)=sing+cos誓=+(-)=0. 15.(1)证明：由题意，PA⊥矩形ABCD所在的平面，AB,ADc平面ABCD,则有PA⊥AB,PA⊥AD,AB⊥AD. 以A为原点，分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系， 可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,1,0),D(0,1,0),P(0,0,2),…2分 可得CD=(-2,0,0),P=(2,1,-2),由于N是AB的中点，可得N(1,0,0), 设PM=1PC=(2λ，1，-2)(0≤1≤1)，可得M(21,元，2-2)，则M=(1-21,-元，21-2)， 由MN1CD,得M.CD=-2(1-2)=0,得1=22分 可得M是PC的中点，可得PM=MC,得证.5分（几何法请酌情给分） ZA (2)解：当CM=2MP时，可得PM=PC,设M(x,y,2), 由(1Pm=(,y,z-2,p元=(2,1，-2)，可得M(f,,争)，…6分 可得A店=(2,0,0)，A丽=（子，子，），设平面MAB的法向量为n=(xy,2), D AB.元=2x=0 可得影 网元=号x+y+2=0y=4,可得元=0,4，-1)，…9分 可得平面PAB的法向量为AD=(0,1,0),…10分 可得e0s<而，元>1=晶=市=侣则平面PM8和平面MB夹角的余弦值为9.…l3分 第2页，共4页 16.解：(1)bcosC+ccosB=2 acosA, 由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=2 sinAcosA,即sin(B+C)=2 sinAcosA,. 在△ABC中，sin(B+C)=sinA>0,.cosA=分又0<A<元，A=子5分 ②)4=号2=V3,结合正弦定理，得品=品=号=2，b=2n8,c=2snG,…7分 在△ABC中，sinC=sin(A+B)=sin(B+), b+c=2sinB +2sinc 2sinB +2sin(B+)=3sinB+3cosB =23sin(B+). :△ABC为锐角三角形， 0xG=亭-8<号“8<号8分 0<B<号 3 则婚<B+<答∴sin(B+8e(,1,ab+ce3,2W1.…15分 17.解：(1)已知数列{an}的前n项和为Sn,a3=8,2Sn=n(an+1-1). 当n=2时，2(a1+a2)=2×(8-1),a1+a2=7.当n=1时，2a1=a2-1,a1=2,a2=5.…3分 当n≥2时，25n-1=(n-1)(an-1),2an=2Sn-2Sm-1=n(an+1-1)-(m-1)(an-1), 即+1)a=na+1-1,会=器-（仔-》=…6分 当n=1时也符合上式，数列是常数列.…7分 (2)由(1)知=3，m=3n-1,Sn=6m+型，9分 2 2 2 1+2+…+b,=0-+甘言+…+点-h)=报-动）=2 …15分 18.解：(1)由PF1+lPF2=4,所以2a=4,c=1,即a=2,b2=a2-c2=3, 故点P的轨迹为椭圆，且其方程为号+号=1：…3分 (y=kx-k 回设40eyWB6,W.联立专+号=1' 3 则(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,故{ +为器 (=22 …6分 B 3+4k2 (0当k=1时，x0=当=手0=x0-1=-月故0=-是 3 2 放直线0D的方程为：y=-x,…9分 第3页，共4页 阅证明：因为-三=k-月六为=k-号六 1-1 8k2 +4=2水-六六=2水-=2k- 3+22 =2k-1,…13分 3+秋23+4软t1 联-故=--片 …15分 XN-1 故k1+k3=2k2,故k1,k2,k3成等差数列.…17分（其他解法请酌情给分) 19.(1)当a=3时，函数f()=3x-lnx,定义域为x>0,求导得f'()=3-令f'()=0,解得x=子 当0<x<时，f′()<0，f(x)单调递减：当x>时，f′()>0，f)单调递增， 因此，f(x)在x=处取得极小值，也是最小值，最小值为f()=3×行-n=1+l3,无最大值；…4分 (2)对f()=ax-nx求导得f'()=a-=x>0),因为fy存在极值，则f'(匈=0在0，+∞)上有解， 解得x=(a>0),当0<x<时，f′()<0，fx)单调递减，当x>时，f'()>0,fx)单调递增， 因此，f)在x=处取得极小值，f(总)=1+na,6分 对g(x)=e*-ax+2,求导得g′(x)=e*-a,因为g(x)存在极值，则g′(x)=0有解，解得x=lna(a>0), 当x<lna时，g'(x)<0,g(x)单调递减，当x>lna时，g'(x)>0,g(x)单调递增， 因此，g(x)在x=lna处取得极小值g(lna)=a-alna+2,…8分 因为f(x)和g(x)极值相等，则1+lna=a-alna+2,即(a+1)lna-a-1=(a+1)lna-1)=0,因为a>0, 因此lna-1=0,即a=e,因此，实数u的值为e;…l0分 (3)证明：由h(x)=x-xf(x)+a=x-x(ax-lnx)+a,令h'(x)=1-ax+lnx-ax+1=0,即2+lnx- 2ax=0,因为函数h(x)有两个不同的极值点x1,x2,故2+lhx1-2ax1=0①，2+1nx2-2ax2=0②，…12分 令2=t③，则x2=tx1,代入②得：2+lnt+lnx1=2atx1,由①得：2+lnx1=2ax1, 两式相减：nt=2ax1t-1),因此2ax1=号因此2+ln=导因此nx1=号-2， 又2=tx,得lnx2=nt+lnx,则1nx2=lat+-2,要证x号>e3,即证1h+212>-3, 即证号-2+20mt+号-2)>-3，化简得21nt+3兰>3， t-1 即i证2c-1lnt+3-lnt>3c-1),即2nt+lnt>3t-3,即i证(2t+1)int>3t-3,因此liat>器器 令m国=lt-器m'-=片 =42-5+=4-2, 因为x1<x2,因此t=丝>1， t(2c+1)2 t(2+1)2 因此t-1>0,4t-1>0,即m'(⊙=4>0，因此m(0在(1，+0)上单调递增， t(2t+1)2 所以m(t)>m(1)=0,因此m()>0,得证.…17分（其他解法请酌情给分) 第4页，共4页2026-2027学年度高三级摸底考试数学科试卷 命题人：揭阳一中高三数学备课组 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A=x-3≤x<2},B={xx2-2x-3≤0}，则AnB=( A.{x-1≤x<2} B.{x-3≤x≤-1} C.{x-1≤x≤3) D.{x-3≤x≤3) 2.已知2=为虚数单位，则-( A.1 B.V2 C.2 D.4 3.在△ABC中，A正=3EC,若B正=xA正+AC,则实数x的值为( A-号 B-专 c-i D.-1 4.已知命题p:1<x<3,命题g:2m<x≤1-m,若p是g的充分不必要条件，则实数m的取值范围是 ( A. B.m2有 C.-2<m≤2 1 D.m≤-2 5.直线3x+4y=b与圆(x-1)2+0y-1)2=1相切，则b的值是( ) A.-2或12 B.2或-12 C.-2或-12 D.2或12 6.已知正数m,n满足4m×8=2,则品+吴的最小值为( ) A.24 B.18 C.16 D.12 7.甲、乙、丙、丁、戊5位同学报名参加学校举办的三项不同活动，每人只能报其中一项活动，每项活动至 少有一个人参加，则甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为( A音 B号 c号 0 8.若不等式e-2≥ax+b≥lnx恒成立，则实数a的取值范围是() A[2,1h2] B.日，1 C.[1,2] D.[1,e] 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知事件A,B,且P(A=0.4,P(B)=0.2,则下列结论正确的是( A.如果B≤A,那么P(AUB)=0.4,P(AB)=0.2 B.如果A与B互斥，那么P(AUB)=0.6,P(AB)=0 C.如果A与B相互独立，那么P(AB)=0.92 D.如果A与B相互独立，那么P(AB)=0.08,P(AUB)=0.52 第1页，共4页 10.已知抛物线E:x2=2y的焦点为F,准线为1，A(x1,y1),B(x2,y2)为抛物线E上两动点，下列说法正 确的是( ) A.1的方程为：y=-1 B.若AF⊥y轴，则|AFI=1 C.若直线AB的斜率为1，则x1+x2=2 D.以AB为直径的圆与I相切或相交 11.如图，已知正方体ABCD一A1B1C1D1的棱长为2，M,N,P分别为棱AB,CC1,A1D1的中点，则下列结论 正确的是( ) D A.若O是正方体表面上的动点，且B0⊥PD,则BO长度的最大值为3 B1 B.四面体BPMN的体积为号 C.平面MNP截正方体所得截面的面积为3v3 D... D.B1D⊥平面MNP M B 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.二项式(2x+之)的展开式中常数项是（用数字作答）. 13.等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3=6,a2+a4=12,则S8= 14.已知函数f(x=sin(ωx+p)(ω>0，lp!<),若f(x+石)为偶函数，y=f(x)的图象与x轴交点的横坐 标构成一个公差为的等差数列.将函数f(x)图象上每一点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移 亚个单位后得到函数g()的图象，则f()+9()= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分)如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，点N是AB的中点，点M是线段PC上的一动点， 且PA=AB=2AD=2. D (1)若MN⊥CD,证明：PM=MC; (2)当CM=2MP时，求平面PAB和平面MAB夹角的余弦值. N B 第2页，共4页 16.(本小题15分)在△ABC中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c,且bcosC+ccosB=2 acosA.. (1)求角A的大小： (2)若△ABC为锐角三角形，a=V3,求b+c的取值范围 17.(本小题15分)已知数列{an}的前n项和为Sn,ag=8,2Sn=n(an+1-1). (证明：色是常数列： 1 (②)设bm=3Sa求数列b,n的前n项和. 18.(本小题17分)设F1,F2两个点的坐标分别为(-1,0)，(1,0)，动点P满足IPF1+PF2l=4,其中0为 坐标原点，记动点P的轨迹为曲线C (1)求C的方程，并说明C是什么曲线： (2)设点M(1,),过点F2的直线m:y=k(x-1)与曲线C交于A,B两点. ()若直线m的斜率为k=1,设线段AB的中点为D,求直线OD的方程； (0设直线1的方程为x=4,且直线m与直线1相交于点N,记MA,MN,MB的斜率分别为k1,k2,k3, 证明：飞1，k2,k3成等差数列 第3页，共4页 19.(本小题17分)已知函数f(x)=ax-lnx(a∈R) (1)若a=3,求函数f(x)的最值； (2)若函数f(x)与g(x)=e*-ax+2都存在极值，且极值相等，求实数a的值： (3)若函数h(x)=x-xf(x)+a有两个不同的极值点x1,x2,且x1<x2,求证：x1行>e3. 第4页，共4页