精品解析：山东聊城市文轩中学2026-2027学年上学期九年级数学学情调研试卷

九年级数学学情调研试卷 夏日秋风启序，新程已至．告别盛夏的蝉鸣，我们在九月的晨光里重聚校园．一个假期的沉淀与积蓄，都将化作此刻落笔的从容．是对过往所学的一次回望，更是对新征程的一次整装． 愿你沉心静气，笔尖从容；愿你以笔为犁，在知识的田野上继续耕耘．每一道题，都是与自己的一次对话；每一次思考，都在为新学期埋下希望的种子． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，两个正方形，两个等边三角形，两个等腰直角三角形，两个矩形各成一组．每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离相等，则两个图形不相似的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 0 4. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）． A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 6. 为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（　　） A. B. C. D. 8. 在矩形中，由8个面积均为1的小正方形组成的型模板如图放置，则矩形的周长为（ ） A. B. C. D. 9. 若，且，，则=（ ） A. B. C. D. 10. 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若，则的值为___________． 12. 方程的解是_________________． 13. 已知是方程的两个实数根，则代数式的值是___________． 14. 如图1是古希腊时期的巴台农神庙，将图1中的虚线画成如图2所示的矩形，当以矩形的宽为边作正方形时，发现矩形矩形，则的值为___________． 15. 如图，矩形内接于，点分别在上，点分别在上，如果，且，则____． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1）； （2）； （3） （4）． 17. 若，是方程的两实数根，求下列各式的值． （1）； （2）； （3）． 18. 如图，从一个矩形中剪去一个正方形，若剩下的矩形与原矩形相似，求原矩形的长与宽的比． 19. 如图，在▱ABCD中，E是BC边上一点．且BE=EC，BD，AE相交于点F． （1）求△BEF的周长与△AFD的周长之比； （2）若△BEF的面积S△BEF=6cm2．求△AFD的面积S△AFD． 20. 如图，是直角三角形，于是上的点，的延长线与的延长线交于点，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）若该方程有两个实数根，求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根，满足，求的值． 22. 如图，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从点A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CA以3cm/s的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为xs． （1）当时，求x的值． （2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由． 23. 年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套元的价格出售．经统计，年月份的销售量为套，年月份的销售量为套． （1）求该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率． （2）从年月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价元，月销售量就会在月份销售量的基础上增加套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学学情调研试卷 夏日秋风启序，新程已至．告别盛夏的蝉鸣，我们在九月的晨光里重聚校园．一个假期的沉淀与积蓄，都将化作此刻落笔的从容．是对过往所学的一次回望，更是对新征程的一次整装． 愿你沉心静气，笔尖从容；愿你以笔为犁，在知识的田野上继续耕耘．每一道题，都是与自己的一次对话；每一次思考，都在为新学期埋下希望的种子． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程．据此逐项判断即可． 【详解】解：A选项：是分式方程，不是一元二次方程； B选项：展开左边得，整理得，是一元一次方程，不是一元二次方程； C选项：未明确，不一定是一元二次方程； D选项：是一元二次方程． 2. 如图，两个正方形，两个等边三角形，两个等腰直角三角形，两个矩形各成一组．每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离相等，则两个图形不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似多边形“对应角相等，对应边成比例”的性质判定即可． 【详解】A选项，两个正方形对应角相等，且对应边成比例，两个正方形相似； B选项：两个等边三角形的对应角相等，且对应边成比例，两个等边三角形相似； C选项：两个等腰直角三角形的对应角相等，且对应边成比例，两个等腰直角三角形相似； D选项：两个矩形对应角相等，但对应边不一定成比例，两个矩形不相似． 3. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把 代入求解，但一定要注意一元二次方程二次项系数不等于0，然后舍去不满足的取值即可． 【详解】解：把 代入， 得到： ∴或 ∵ 方程是一元二次方程， ∴ ， ∴， ∴；   故选：B ． 4. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按照配方法的步骤进行求解即可得答案． 【详解】解：， 移项得， 二次项系数化1的， 配方得， 即， 故选：A． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤为（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 5. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】需同时满足二次项系数不为0、根的判别式大于0两个条件，联立求解； 【详解】解：∵该方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得：， ∴的取值范围是且． 6. 为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，先用x表示出矩形的另一条边长，利用矩形的面积公式，列出方程即可． 【详解】解：设矩形的一边长为x米，则另一边长为米，由题意，得： ； 故选：C． 7. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，涉及两个角对应相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似；两边成比例，夹角相等的两个三角形相似． 根据相似三角形的判定逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴，即． A、∵，∴，故选项不符合题意； B、∵，∴，故选项不符合题意； C、∵，∴，故选项不符合题意； D、∵，与的大小无法判定，∴无法判断，故选项符合题意． 故选：D． 8. 在矩形中，由8个面积均为1的小正方形组成的型模板如图放置，则矩形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先得出，，则，，，再设，则，，，在中，利用勾股定理求出的值，由此即可得． 【详解】解：由题意得：8个小正方形的边长均为1， ∴，，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴矩形的周长为． 9. 若，且，，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将第二个方程变形为关于的一元二次方程，与第一个方程形式一致，结合根与系数的关系求解，即可解答． 【详解】解：∵时，，与题设矛盾， ∴， 将两边除以， 整理得， ∵，且， 即， ∴，是方程的两个不等实根， ∴，即． 10. 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可． 【详解】解：如图，设小道的宽为， 则种植部分的长为，宽为 由题意得：． 故选C． 【点睛】考查一元二次方程的应用；利用平移的知识得到种植面积的形状是解决本题的突破点；得到种植面积的长与宽是解决本题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若，则的值为___________． 【答案】5或 【解析】 【分析】将看作整体，换元后转化为一元二次方程求解即可． 【详解】解：设，则原方程可化为， 展开整理得，即，因式分解得， 解得或， 因此的值为或． 12. 方程的解是_________________． 【答案】 ， 【解析】 【详解】解：由方程可得， 解得， ． 13. 已知是方程的两个实数根，则代数式的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次化简，再结合根与系数的关系计算求值． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，，， ，， ． 14. 如图1是古希腊时期的巴台农神庙，将图1中的虚线画成如图2所示的矩形，当以矩形的宽为边作正方形时，发现矩形矩形，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先得出，再根据相似三角形的性质可得，进而可得，设，解方程即可得． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵矩形矩形， ∴， ∴， 设， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 经检验，是所列方程的解， ∴． 15. 如图，矩形内接于，点分别在上，点分别在上，如果，且，则____． 【答案】## 【解析】 【分析】设，则，通过证明，利用相似三角形对应高的比等于相似比建立方程，进而求出的长度． 【详解】解：过点作，交于点， ∵， ∴， ，四边形是矩形， 设，则，， ∵四边形是矩形， ， ∴， ， ∴， 解得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是利用相似三角形的性质建立方程求解． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1）； （2）； （3） （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程． （2）利用因式分解法解一元二次方程． （3）利用配方法解一元二次方程． （4）利用公式法解一元二次方程． 【小问1详解】 解： ，． 【小问2详解】 解： 或 ，． 【小问3详解】 解： ，． 【小问4详解】 解： 根据题意可知，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， 利用公式法解方程得 ，． 17. 若，是方程的两实数根，求下列各式的值． （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，异分母分式加法以及完全平方公式的变形，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系，异分母分式加法以及完全平方公式是解题的关键． （1）利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再根据异分母分式加法以及完全平方公式的变形解答即可； （2）根据完全平方公式的变形解答即可； （3）根据完全平方公式的变形解答即可． 【小问1详解】 解：，是一元二次方程的两根， ，， ∴； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：，． 18. 如图，从一个矩形中剪去一个正方形，若剩下的矩形与原矩形相似，求原矩形的长与宽的比． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、解一元二次方程等知识．根据相似得到，则，用公式法解一元二次方程得到，根据矩形的长和宽均为正数即可得到答案． 【详解】解：设原矩形的长是a，宽是b（，且），则剩下矩形的长为b，宽为． 由题意可得，所以． 将的两边同除以，得， 所以． 因为矩形的长和宽均为正数，所以． 故原矩形的长和宽的比为． 19. 如图，在▱ABCD中，E是BC边上一点．且BE=EC，BD，AE相交于点F． （1）求△BEF的周长与△AFD的周长之比； （2）若△BEF的面积S△BEF=6cm2．求△AFD的面积S△AFD． 【答案】（1）1:3（2）54 【解析】 【分析】（1）先利用平行四边形的性质得AD＝BC，AD∥BC，再利用BE＝EC得到BE＝AD，接着证明△BEF∽△DAF，然后利用相似三角形的性质可得到△BEF的周长与△AFD的周长之比； （2）根据相似三角形的性质计算△AFD的面积． 【详解】（1）∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵BE＝EC， ∴BE＝BC， ∴BE＝AD， ∵AD∥BE， ∴△BEF∽△DAF， ∴△BEF的周长：△AFD的周长＝BE：AD＝1：3； （2）∵△BEF∽△DAF， ∴△BEF的面积：△AFD的面积＝12：32； ∴S△AFD＝9S△BEF＝9×6＝54（cm2）． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键. 20. 如图，是直角三角形，于是上的点，的延长线与的延长线交于点，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：，， ， ， ， ， ， ， ． 又， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）要证明乘积式，可以将其转化为比例式，通过证明完成推导； （2）将已知线段长度直接代入（1）中等积式即可求出线段的长度． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：， ． 由（1）可知， ， ． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）若该方程有两个实数根，求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根，满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程判别式与根的个数的关系，列出不等式并求解即可； （2）根据根与系数的关系可得，，代入得到关于的一元二次方程，求解并结合进行取舍即可． 【小问1详解】 解：， ∵方程有两个实数根， ∴， 整理，得， 解得； 【小问2详解】 解：， 根据一元二次方程根与系数的关系可得，，， ∵， ∴， ∴， 整理，得， 解得， 由（1）可知，， ∴． 22. 如图，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从点A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CA以3cm/s的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为xs． （1）当时，求x的值． （2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）能，AP＝cm或20cm 【解析】 【分析】（1）利用平行线分线段对应成比例，列比例式进行计算即可； （2）分类讨论：①△APQ∽△CQB，②当△APQ∽△CBQ，利用相似的性质，对应边对应成比例，列式计算即可． 【小问1详解】 解：当时，AP：AB＝AQ：AC， ∵AP＝4x，AQ＝30－3x， ∴， 解得：x＝； 【小问2详解】 解：∵BA＝BC ∴， ①当△APQ∽△CQB时，有， 即：， 解得：， ∴（cm）， ②当△APQ∽△CBQ时，有， 即：， 解得：x＝5或x＝－10（舍去）， ∴PA＝4x＝20（cm）， 综上所述，当AP＝cm或20cm时，△APQ与△CQB相似． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，以及相似三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识点是解题的关键． 23. 年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套元的价格出售．经统计，年月份的销售量为套，年月份的销售量为套． （1）求该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率． （2）从年月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价元，月销售量就会在月份销售量的基础上增加套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为元？ 【答案】（1） （2）当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元 【解析】 【分析】（1）增长率模型：初始量最终量； （2）根据“单件利润销售量总利润”，表示出降价后每件的利润与当月销量，列出一元二次方程，求出符合实际意义的售价． 【详解】（1）解：设该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率为． 根据题意，得， 解得不合题意，舍去 答：该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率为． （2）设该组合套装的售价为元，则月销售量为套． 根据题意，得， 解得不合题意，舍去 答：当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $