精品解析：山东省聊城市冠县育才双语学校2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

2024-2025学年（上）期初考试九年级数学试题 一、选择题（30分） 1. 关于菱形的性质，以下说法不正确的是（ ） A. 四条边相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 是轴对称图形 2. 如图，D、E、F分别是各边中点，则以下说法错误的是（ ） A. 和的面积相等 B. 四边形平行四边形 C. 若，则四边形是菱形 D. 若，则四边形是矩形 3. 下列各数中，为无理数的是（ ） A. B. C. 0 D. 4. 下列四幅图片上呈现的是垃圾类型及标识图案，其中标识图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果不等式组的解集为，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是 （ ） A. B. C. D. 7. 直线在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式的解集是（ ） A B. C. D. 8. 如图，，，下列各式正确的有（ ） ①；②；③；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 下列说法中，正确的有（ ） ①三边成比例的两个三角形相似；②两个等边三角形相似；③两个直角三角形相似． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 10. 如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（21 分） 11. 如果两个相似三角形的面积比是1:4，那么它们的周长比是________． 12. 的平方根是____． 13. 已知，化简：_______． 14. 在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=4，sinB=，那么AB=________ 15. 直角三角形的两条边长分别3和4，这个直角三角形斜边儿上的高为___． 16. 如图，热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋楼顶部的俯角为，看这栋楼底部的俯角为，热气球A处与地面距离为，则这栋楼的高度是___． 17. 如图是一位同学设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么该古城墙的高度CD是_____米． 三、简答题 18. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 19. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB=，AD=1． （1）求BC的长； （2）求tan∠DAE的值． 20. 君辉中学计划为书法小组购买某种品牌、两种型号的毛笔．若购买支种型号的毛笔和支种型号的毛笔需用元；若购买支种型号的毛笔和支种型号的毛笔需用元． （1）求每支种型号的毛笔和每支种型号的毛笔各多少元； （2）君辉中学决定购买以上两种型号的毛笔共支，总费用不超过元，那么该中学最多可以购买多少支种型号的毛笔？ 21. 如图，直线y＝－2x与直线y＝kx＋b相交于点A(a,2)，并且直线y＝kx＋b经过x轴上点B(2,0)． (1)求直线y＝kx＋b的解析式； (2)求两条直线与y轴围成的三角形面积； (3)直接写出不等式(k＋2)x＋b≥0的解集． 22. 如图，，且，若，，求长． 23. 如图，在中，在上，，． （1）求证：∽； （2）若，求的值． 24. 天封塔历史悠久，是宁波著名的文化古迹．如图，从位于天封塔的观测点C测得两 建筑物底部A，B的俯角分别为和，若此观测点离地面的高度为51米，A，B两点在CD的两侧，且点A， D，B在同一水平直线上，求A，B之间的距离（结果保留根号） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年（上）期初考试九年级数学试题 一、选择题（30分） 1. 关于菱形的性质，以下说法不正确的是（ ） A. 四条边相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 是轴对称图形 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质判断即可． 【详解】解：A、菱形的四条边都相等，A选项正确，不符合题意； B、菱形的对角线不一定相等，B选项错误，符合题意； C、菱形的对角线互相垂直，C选项正确，不符合题意； D、菱形是轴对称图形，D选项正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了对菱形的性质的理解，关键是根据菱形的性质解答． 2. 如图，D、E、F分别是各边中点，则以下说法错误的是（ ） A. 和的面积相等 B. 四边形是平行四边形 C. 若，则四边形是菱形 D. 若，则四边形是矩形 【答案】C 【解析】 【分析】根据中位线的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形、菱形、矩形的判定定理逐一判断各个选项，即可得到答案． 【详解】解： ∵点D、E、F分别是△ABC三边的中点， ∴DE、DF为△ABC得中位线， ∴ED∥AC，且ED＝AC＝AF；同理DF∥AB，且DF＝AB＝AE， ∴四边形AEDF一定是平行四边形，故B正确； ∴， ∴， ， ∴和的面积相等，故A正确； ∵， ∴DF＝AB=AE， ∴四边形不一定是菱形，故C错误； ∵∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形，故D正确； 故选：C． 【点睛】本题考查三角形中位线性质定理和平行四边形、矩形、菱形的判定定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握上述性质定理和判定定理是解题的关键． 3. 下列各数中，为无理数的是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据无理数的定义逐项判断即可． 【详解】A、是无理数，符合题意； B、小数点后的是无限循环的，则是有理数，不符题意； C、0是整数，属于有理数，不符题意； D、是有理数，不符题意, 故选：A． 【点睛】本题考查了无理数的定义，熟记定义是解题关键． 4. 下列四幅图片上呈现的是垃圾类型及标识图案，其中标识图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】中心对称图形定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，根据定义逐项判定即可得出结论． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形是解决问题的关键． 5. 如果不等式组的解集为，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式组,确定每个不等式的解集,后根据不等式组的解集的意义,确定m的取值范围即可. 【详解】∵， 解①得x＞2，解②得x＞m， ∵不等式组的解集为，根据大大取大的原则， ∴， 故选A. 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练根据不等式组的解集确定字母的取值是解题的关键． 6. 下列计算正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质及运算，根据二次根式的性质和二次根式的运算法则逐项计算，从而得出答案． 【详解】解：．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．和不是同类二次根式不能合并，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算正确，故该选项符合题意； 故选：D． 7. 直线在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据图像求出直线解析式，然后根据图像可得出解集． 【详解】解：根据图像得出直线经过（0，1），（2，0）两点， 将这两点代入得， 解得， ∴直线解析式为：， 将y=2代入得， 解得x=-2， ∴不等式的解集是， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的图像和用待定系数法求解析式，解不等式，求出直线解析式是解题关键． 8. 如图，，，下列各式正确的有（ ） ①；②；③；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，根据题意已知的相似，找对对应相似比与题干逐项对照即可． 【详解】解：∵， ∴， 则，故①错误； ，故②错误； ，故③错误， ④正确． 综上，正确的有④，共1个， 故选：A． 9. 下列说法中，正确的有（ ） ①三边成比例的两个三角形相似；②两个等边三角形相似；③两个直角三角形相似． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，灵活运用相似三角形的判定方法成为解题的关键． 根据相似三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：①三边对应成比例的两个三角形相似，即①错误； ②两个等边三角形，则所有内角都为，两个等边三角形相似，即②正确； ③两组直角三角形只能确定一组对角相等，不能判定三角形相似，即③错误； 综上，正确的只有②． 故选：B． 10. 如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定方法，由角的和差得，由相似三角形的判定方法逐一判断，即可求解；掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 详解】解：， ， ， A.由两边对应成比例及其夹角相等的两三角形相似得，故不符合题意； B.由两角对应成相等的两三角形相似得，故不符合题意； C.无法判断，故符合题意； D.由两角对应成相等的两三角形相似得，故不符合题意； 故选：C． 二、填空题（21 分） 11. 如果两个相似三角形的面积比是1:4，那么它们的周长比是________． 【答案】1：2 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比，即可完成． 【详解】∵相似三角形面积的比等于相似比的平方 ∴两个相似三角形的相似比为1：2 ∵两个相似三角形周长比等于相似比 ∴两个三角形周长的比等于1：2 故答案为：1：2 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是关键． 12. 的平方根是____． 【答案】±3 【解析】 【分析】根据算术平方根、平方根解决此题． 【详解】解：， 实数的平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根是解题的关键． 13. 已知，化简：_______． 【答案】4 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式和绝对值的有关性质，熟练掌握相关基础知识是解题的关键． 根据m的范围，求出，，然后去根号和绝对值，计算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴． 故答案：4． 14. 在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=4，sinB=，那么AB=________ 【答案】6 【解析】 【分析】根据正弦函数的定义即可直接求解． 【详解】解：∵sinB=， ∴AB= ==6． 故答案是：6． 【点睛】本题考查了正弦函数的定义，是所对的直角边与斜边的比，理解定义是关键． 15. 直角三角形的两条边长分别3和4，这个直角三角形斜边儿上的高为___． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，分类讨论是解题的关键．可分两种情况：若3，4是直角三角形的两条直角边；若3为直角三角形的直角边，4为斜边，利用勾股定理分别求解直角三角形的第三边，利用三角形的面积可求解斜边上的高． 【详解】解：若3，4是直角三角形两条直角边，则斜边长为：， 斜边上的高为：； 若3为直角三角形的直角边，4为斜边，则另一条直角边长为：， 斜边上的高为：， 综上所述，这个直角三角形斜边上的高为或． 故答案为：或 16. 如图，热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋楼顶部的俯角为，看这栋楼底部的俯角为，热气球A处与地面距离为，则这栋楼的高度是___． 【答案】100 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题， 过A作，交的延长线于点E，在中，求出的长，则，在中，求出的长，然后根据即可得到这栋楼的高度． 【详解】解：过A作，交的延长线于点E， 在中， ∵，， ∴， ∴． 在中， ∵，， ∴， ∴． 答：这栋楼的高度为100米． 故答案为：100． 17. 如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么该古城墙的高度CD是_____米． 【答案】8 【解析】 【详解】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴， 由反射知， ∴△ABP∽△CDP， 由相似三角形对应边的比相等可得，即， 解得CD=8m， 故答案：8． 三、简答题 18. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）2 （2） （3）2 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值的混合运算，二次根式的混合运算，以及解一元一次不等组的知识． （1）把特殊角的三角函数值代入，再进行二次根式的混合运算即可． （2）把特殊角的三角函数值代入，再进行二次根式的混合运算即可． （3）按照二次根式的混合运算法则计算即可． （4）先分别计算每个不等式的解集，然后再求公共部分的解集即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 【小问3详解】 【小问4详解】 解①式得：， 解②式得：， ∴原不等式组的解集为：． 19. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB=，AD=1． （1）求BC的长； （2）求tan∠DAE的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt△ADC，得出DC=1；解Rt△ADB，得出AB=3，根据勾股定理求出BD=，然后根据BC=BD+DC即可求解． （2）先由三角形的中线的定义求出CE的值，则DE=CE﹣CD，然后在Rt△ADE中根据正切函数的定义即可求解． 【详解】解：（1）在△ABC中，∵AD是BC边上的高， ∴∠ADB=∠ADC=90°． 在△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=1， ∴DC=AD=1． 在△ADB中，∵∠ADB=90°，sinB=，AD=1， ∴． ∴． ∴． （2）∵AE是BC边上的中线，∴CE=BC=． ∴DE=CE﹣CD=． ∴． 【点睛】本题考查了三角形的高、中线的定义，勾股定理，解直角三角形，难度中等，分别解Rt△ADC与Rt△ADB，得出DC=1，AB=3是解题的关键． 20. 君辉中学计划为书法小组购买某种品牌的、两种型号的毛笔．若购买支种型号的毛笔和支种型号的毛笔需用元；若购买支种型号的毛笔和支种型号的毛笔需用元． （1）求每支种型号的毛笔和每支种型号的毛笔各多少元； （2）君辉中学决定购买以上两种型号的毛笔共支，总费用不超过元，那么该中学最多可以购买多少支种型号的毛笔？ 【答案】（1）每支种型号的毛笔6元，每支种型号的毛笔4元；（2）该中学最多可以购买50支型号的毛笔． 【解析】 【分析】（1）设每支种型号的毛笔x元，每支种型号的毛笔y元，由题意得，然后求解即可； （2）设该中学可以购买m支型号的毛笔，则种型号的毛笔为（80-m）支，根据题意可得，然后求解即可． 【详解】解：（1）设每支种型号的毛笔x元，每支种型号的毛笔y元，由题意得： ， 解得：， 答：每支种型号的毛笔6元，每支种型号的毛笔4元． （2）设该中学可以购买m支型号的毛笔，则种型号的毛笔为（80-m）支，根据题意可得： ， 解得：， 答：该中学最多可以购买50支型号的毛笔． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组及一元一次不等式的应用，熟练掌握二元一次方程组及一元一次不等式的应用是解题的关键． 21. 如图，直线y＝－2x与直线y＝kx＋b相交于点A(a,2)，并且直线y＝kx＋b经过x轴上点B(2,0)． (1)求直线y＝kx＋b的解析式； (2)求两条直线与y轴围成的三角形面积； (3)直接写出不等式(k＋2)x＋b≥0的解集． 【答案】（1）一次函数的解析式是y＝－x＋；（2）S△ABC＝；（3）x≥－1. 【解析】 【详解】试题分析：利用代入法求出点A的坐标，然后根据待定系数法求出一次函数的解析式； （2）根据图像求出交点C的坐标，然后可求三角形的面积； （3）根据图像的位置求出不等式的解集. 试题解析：解：(1)把A(a,2)代入y＝－2x中，得－2a＝2，∴a＝－1，∴A(－1,2)，把A(－1,2)、B(2,0)代入y＝kx＋b中得，∴k＝－，b＝，∴一次函数的解析式是y＝－x＋；　 (2)设直线AB与y轴交于点C，则C(0，)，∴S△AOC＝××1＝；　 (3)不等式(k＋2)x＋b≥0可以变形为kx＋b≥－2x，结合图象得到解集为：x≥－1. 22. 如图，，且，若，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键． 根据平行线分线段成比例列比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即, ∵， ∴， 即， 解得： ． 23. 如图，在中，在上，，． （1）求证：∽； （2）若，求的值． 【答案】（1）见详解；（2） 【解析】 【分析】（1）由题意易得，然后问题可求证； （2）由（1）及题意易得，然后根据相似三角形的面积比与相似比的关系可得，然后问题可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 24. 天封塔历史悠久，是宁波著名的文化古迹．如图，从位于天封塔的观测点C测得两 建筑物底部A，B的俯角分别为和，若此观测点离地面的高度为51米，A，B两点在CD的两侧，且点A， D，B在同一水平直线上，求A，B之间的距离（结果保留根号） 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据俯角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识解直角三角形． 在和中分别求出，的长度，然后根据即可求出的值． 【详解】解：由题意得，，， ， ，． ， ∴在中，米，． ∴（米）． 米， （米）． 答：A，B之间的距离米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$