精品解析：四川省仁寿县铧强中学2026-2027学年高三上学期第一次诊断性考试数学试卷

铧强中学2024级高三（上）第一次诊断性考试 数学试卷 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 第Ⅰ卷 （选择题 共58分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充分必要条件 4. 函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 4 5. 已知，，若，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 甲、乙两人独立地破译一份密码的概率分别为，密码被成功破译的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 在四面体中，，，两两垂直，且，若均在球的球面上，则的表面积为（ ） A. 50 B. 100 C. 150 D. 200 8. 若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共18 分.在每小题给出四个选项中有多项符合题目要求.全部选对得 6 分，选对但不全得部分分，有选错得0份. 9. 第十五届全国运动会于年月日至日举行，截至月日，金牌榜总数前名的金牌数量依次为，，，，，，，，，，则（ ） A. 该组数据的众数为 B. 该组数据的中位数为 C. 该组数据的极差为 D. 该组数据的分位数为 10. 设，，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为8 C. 的最小值为 D. 无最小值 11. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则下列说法正确的有（ ） A. 是周期为4的周期函数 B. 的图象关于直线对称 C. D. 在（3，4）上单调递减 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，求函数的解析式___________． 13. 若函数有两个零点，一个大于0，一个小于0，则m的取值范围是______． 14. 已知函数，在区间内任取两个实数，不等式恒成立，则实数的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某高校为制定针对性的阅读推广方案，从全校随机抽取400名大学生开展“纸质书阅读偏好”专项调查，收集到的性别与专业交叉数据如下表（单位：人）： 专业类型 阅读偏好 合计 喜欢阅读纸质书 不喜欢阅读纸质书 文科 150 120 270 理工科 50 80 130 合计 200 200 400 （1）依据的独立性检验，能否认为该校大学生“是否喜欢阅读纸质书”与“专业类型”有关？ （2）从样本中“喜欢阅读纸质书”的大学生里，按专业类型用分层抽样抽取8人组建“纸质书推广志愿队”，再从这8人中随机抽取3人负责校园书展策划，记最后抽取的3人中，选中的文科学生人数为，求的分布列与数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，，求的面积． 17. 如图，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图． （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若有且只有两个零点，求的值． 19. 已知函数. （1）若函数在处的切线方程为，求实数； （2）若函数存在两个极值点（） ①求a的取值范围； ②证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 铧强中学2024级高三（上）第一次诊断性考试 数学试卷 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 第Ⅰ卷 （选择题 共58分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分别求解集合、集合，再根据并集定义求出. 【详解】，则，得. ，则，得 所以. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定直接判断得解. 【详解】命题“”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求的否定是. 故选：C 3. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充分必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】分别求解不等式，，再根据充分、必要条件的定义判定即可. 【详解】由，得，解得； 由，得. 因为，推不出， 所以“”是“”成立的必要不充分条件. 4. 函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】应用分段函数解析式求解函数值. 【详解】函数，则. 故选：D. 5. 已知，，若，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，则，， 若，则，解得. 6. 甲、乙两人独立地破译一份密码的概率分别为，密码被成功破译的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由相互独立事件概率的乘法公式可得密码没有被破译的概率，进而由对立事件的概率公式可得答案． 【详解】因为甲、乙两人独立地破译一份密码的概率分别为， 所以甲乙都没有成功破译密码的概率， 所以密码被成功破译的概率为. 故选：A 7. 在四面体中，，，两两垂直，且，若均在球的球面上，则的表面积为（ ） A. 50 B. 100 C. 150 D. 200 【答案】A 【解析】 【分析】四面体的外接球和以，，为长宽高的长方体的外接球相同，进而求得直径，再由球的表面积公式即可求解. 【详解】根据题意得四面体的外接球和以，，为长宽高的长方体的外接球相同， 所以外接球的直径为， 所以外接球的表面积为， 故选：A. 8. 若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别讨论在不同取值时得单调性；当时，，不合题意；当时，讨论的最小值即可；当时，由分析可知要求的最小值为0，先确定的范围，再根据的范围确定时函数的单调性，从而求得其最小值即为符合题意. 【详解】当．则， 此时在，单调递增，在单调递减. 当时，若，当，，不合题意； 当时，，，则值域为符合题意； 当时，要使的值域是，则要求的最小值为． 则必定先有，得，即， 此时在上单调性为上单调递减，单调递增， 有最小值符合题意．故 故选：A. 二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共18 分.在每小题给出四个选项中有多项符合题目要求.全部选对得 6 分，选对但不全得部分分，有选错得0份. 9. 第十五届全国运动会于年月日至日举行，截至月日，金牌榜总数前名的金牌数量依次为，，，，，，，，，，则（ ） A. 该组数据的众数为 B. 该组数据的中位数为 C. 该组数据的极差为 D. 该组数据的分位数为 【答案】AC 【解析】 【详解】将这个数据从小到大排列为，，，，，，，，，， 对于A，观察这组数据，其中出现了次，其余数字均只出现次，因此，众数为，故A正确； 对于B，这组数据共有个，中间两个数是第个和第个数，分别是和，因此中位数为，故B错误； 对于C，这组数据中最大值为，最小值为，因此极差为，故C正确； 对于D，由于不是整数，因此该组数据的分位数是第个数，即，故D错误. 10. 设，，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为8 C. 的最小值为 D. 无最小值 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用1的妙用可判断A，通过等量代换，结合二次函数可判断B,C，利用基本不等式可判断D. 【详解】对于A，由可得， ， 因为，当且仅当且时等号成立， 即，所以的最小值为，A正确； 对于B，由可得，即，， 令，则，在时单调递增，最小值为， 当且仅当时取等号，B正确； 对于C，， 令，则，在时单调递增，最小值为， 即，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，由可得，， 当且仅当时取等号，即有最小值2，D错误. 故选：ABC 11. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则下列说法正确的有（ ） A. 是周期为4的周期函数 B. 的图象关于直线对称 C. D. 在（3，4）上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【详解】因为，所以，所以的周期为4，故A正确； 因为为上的奇函数，所以，所以， 又当时，，其图象对称轴为直线， 结合奇函数的性质可知其图象也关于直线对称，故B正确； 因为，，，， 则， 所以 ，故C不正确； 当时，，， 由，得， 其在上单调递减，所以D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，求函数的解析式___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法令，进而求函数的解析式，注意函数的定义域. 【详解】令，则， 可得， 所以. 13. 若函数有两个零点，一个大于0，一个小于0，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由一元二次函数有两个零点且开口向上，则求解即可. 【详解】若函数有两个零点，一个大于0，一个小于0， 因为该二次函数开口向上，则，即. 故答案为：. 14. 已知函数，在区间内任取两个实数，不等式恒成立，则实数的最大值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】首先将去分母，将问题等价转化为是增函数，即在上恒成立，分离参数后构造函数即可求解. 【详解】. 不妨取，则， 所以，即， 亦即. 令， 则问题等价转化为是增函数. 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立. 令， 则， 因为二次函数在上单调递增， 所以当时，， 即，所以是增函数， 所以，即，所以实数的最大值为1. 故答案为：1. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某高校为制定针对性的阅读推广方案，从全校随机抽取400名大学生开展“纸质书阅读偏好”专项调查，收集到的性别与专业交叉数据如下表（单位：人）： 专业类型 阅读偏好 合计 喜欢阅读纸质书 不喜欢阅读纸质书 文科 150 120 270 理工科 50 80 130 合计 200 200 400 （1）依据的独立性检验，能否认为该校大学生“是否喜欢阅读纸质书”与“专业类型”有关？ （2）从样本中“喜欢阅读纸质书”的大学生里，按专业类型用分层抽样抽取8人组建“纸质书推广志愿队”，再从这8人中随机抽取3人负责校园书展策划，记最后抽取的3人中，选中的文科学生人数为，求的分布列与数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）有的把握认为该校大学生“是否喜欢阅读纸质书”与“专业类型”有关. （2） 随机变量的分布列为 1 2 3 期望为 【解析】 【分析】（1）由列联表中的数据，求得，结合附表，即可得到结论； （2）根据题意，求得抽取的8人中，文科人数为人，理科人数为人，得到变量的可能取值为，结合超几何分布的概率计算公式，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解. 【小问1详解】 假设认为该校大学生 “是否喜欢阅读纸质书”与“专业类型”无关， 由列联表中的数据，可得：， 因为，所以拒绝假设， 所以有的把握认为该校大学生“是否喜欢阅读纸质书”与“专业类型”有关. 【小问2详解】 由列联表中的数据，喜欢纸质书的共有200人，其中文科150人，理科50人， 按比例抽取8人，则文科人数为人，理科人数为人， 从这8人中抽取3人，为文科人数，则随机变量的可能取值为， 可得，， ， 所以随机变量的分布列为 1 2 3 所以期望为. 16. 记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化简得到，结合两角和的余弦公式展开化简即可求解； （2）由余弦定理求得，再由面积公式即可求解. 【小问1详解】 根据正弦定理​，可得， 结合已知条件，得， 即， 又， 代入整理得：，又，， 即，所以； 【小问2详解】 由余弦定理，代入，，， 得： ，​​ 化简得：，由边长为正得，则， 代入三角形面积公式 . 17. 如图，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图． （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】 （Ⅰ）因为，，是的中点，，所以 即在图2中， ， 从而平面 又，所以平面． （Ⅱ）． 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）先证，，再可证平面，进而可证平面；（Ⅱ）先建立空间直角坐标系，再算出平面和平面的法向量，进而可得平面与平面夹角的余弦值． 试题解析：（Ⅰ）略 （Ⅱ）由已知，平面平面，又由（Ⅰ）知，， 所以为二面角的平面角，所以． 如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 因为， 所以 得，． 设平面的法向量，平面的法向量，平面与平面夹角为， 则，得，取， ，得，取， 从而， 即平面与平面夹角的余弦值为． 考点：1、线面垂直；2、二面角；3、空间直角坐标系；4、空间向量在立体几何中的应用． 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若有且只有两个零点，求的值． 【答案】（1）当时，函数在上是增函数， 当时，函数增区间是，，减区间是， 当时，函数增区间是，，减区间是； （2）或． 【解析】 【分析】（1）由出，分类讨论确定和的解得增区间和减区间； （2）由（1）得两个极值点有一个是零点，解方程即得． 【小问1详解】 ， 时，恒成立，在上是增函数， 时，由得或，由得， 增区间是，，减区间是， 时，由得或，由得， 增区间是，，减区间是； 综上：当时，函数在上是增函数， 当时，函数增区间是，，减区间是， 当时，函数增区间是，，减区间是； 【小问2详解】 因为时，，时，， 所以有且只有两个零点，由（1）可得或且， ，， ．， 综上，或． 19. 已知函数. （1）若函数在处的切线方程为，求实数； （2）若函数存在两个极值点（） ①求a的取值范围； ②证明： 【答案】（1）； （2） ①； ②因为或， 而， 所以，而， 所以， 令，所以，所以在上单调递减， 所以， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义和函数在处切线的概念，可求的值. （2）①问题转化为有两个不同的解求参数的取值范围； ②先结合①的结论，确定的取值范围，在根据得到的表达式，通过对函数单调性的分析，可求的取值范围. 【小问1详解】 因为在处的切线斜率为0， 所以，即；此时切点坐标为，所以. 【小问2详解】 ①因为， 当时，在单调递增，只有一解，显然不符合题意； 当时，设，则. 由；由. 所以即在上单调递增，在上单调递减. 因为函数存在两个极值点. 所以需有两解，所以为必要条件，即为必要条件， 当时，时，时，， 分别在及各有一零点， 综上：. ②略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $