25.2 降次——解一元二次方程 专题提升练 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 以核心考点分层，覆盖一元二次方程解法、应用及拓展，梯度从基础运算到综合应用，适配新授课知识巩固与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一解法（直接开平方法、配方法等）|对应核心考点1，强化运算能力，如指定方法解方程| |提升层|含参数/综合方法（换元法、判别式应用）|对应核心考点2-5，培养推理意识，如含参数方程求解、换元法转化| |拓展层|几何与多变量最值（配方法几何应用、多变量配方）|结合几何情境，发展空间观念与模型观念，如四边形面积最值、多变量代数式最值|

第25章 一元二次方程 25.2降次——解一元二次方程 专题一 解一元二次方程 核心考点1 用指定的方法解一元二次方程 01.用指定的方法解下列方程： (直接开平方法) (配方法) (公式法) (因式分解法) 核心考点2解含参数的一元二次方程 02.解下列关于x的一元二次方程： 03.已知关于x的一元二次方程 的一个根为m.若2<m<3，求a的取值范围. 04.(2025 武珞路中学月考)已知关于x的一元二次方程 (1)求证：无论k为何值，此方程总有一个根是定值； (2)若直角三角形的一边为4，另两边恰好是这个方程的两根，求k的值. 专题二 可化为一元二次方程的方程 方法解读：换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化. 核心考点1 换元法①——换整式 01.解下列方程： 02. 若实数x, y满足 则 核心考点2 换元法②——换分式 03.(2025 七 一 中 学 周 练)已知实数x满足 则 核心考点3 换元法③——换根式或绝对值 04.提出问题：解方程： 提示：可以用“换元法”解方程. 解：设 则原方程可化为 解得l₁=l, l₂=-3(舍去) , 解决问题：解方程： 核心考点4 消元法 05.(2025 武汉外校月考)已知实数x,y满足 且 则x= . 核心考点5 分类讨论法——解含绝对值的一元二次方程的方程 06.已知方程 求满足该方程的所有根之和. 专题三配方法求代数式最值 核心考点1 单配方 01.将一元二次方程 化成 (a, b为常数)的形式,则 a+b= . 02.(2025武汉二中月考)已知代数式 先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数：再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少? 核心考点2双配方 03. (2025 七一中学月考)已知 则 04.若 则A ，B的大小关系为( ) A. A>B B. A<B C. A≥B D. A≤B 核心考点3 消元与配方 05. (2025长郡中学月考)已知 则 的最大值为 . 06.已知实数x，y满足. 若 t=x+y,则t的最大值为 . 07.(2026 长沙一中月考)已知x, y为实数,且满足 记 的最大值为M，最小值为m,则 M+m= . 核心考点4 隐含的配方 08.(2025 深圳中学月考)两个数的和为13，则这两个数的积的最大值为 . 09.(2025 武珞路中学月考)已知实数m, n满足 则2m+3n= . 核心考点5 多变量多次配方求最值 10.已知a，b为实数，求代数式 的最小值. 11.当 x= , y= 时,代数式 的最小值为 . 12.已知x，y都为实数，则式子 的最大值是 . 13.若 (x, y为实数),则w的最小值为 . 专题四 配方法求几何最值 核心考点1 利用配方法求面积最值 01.如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直， AC+BD=12,当AC, BD的长分别是多少时，四边形ABCD的面积最大? 02.(2025武汉一初月考)如图, 四边形ABCD的两条对角线AC, BD所成的锐角为60°,AC+BD=10,则四边形ABCD的面积的最大值为 . 03. 如图, 在△ABC中,AB=AC, ∠BAC=120°, 点D为AB边上一点(不与点B重合), 连接CD,将线段CD绕点D 逆时针旋转90°,点 C 的对应点为E,连接BE.若AB=6,则△BDE的面积的最大值为 . 核心考点2 利用配方法求线段最值 04.(2026江夏期中)如图,在正方形ABCD中,AB=4, 点H, F分别在边AB, CD上, 若 BH=DF,将线段HF绕点 F 顺时针旋转90°至线段MF，连接AM，则线段AM的最小值为 . 专题五 根的判别式 核心考点1 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况①——△=a²+正数或 正数 01.不解方程，判断方程. 的根的情况是( ) A.无实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有两个实数根 D.随k值的变化而变化，不能判定 核心考点2 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况②——△=a²或 02.已知关于x的方程 该方程根的情况为( ) A.方程没有实数根 B.方程有两个实数根 C.方程有两个相等的实数根 D.不能确定 核心考点3 利用根的判别式确定一元二次方程中参数的取值范围 03.(2026 汉 阳 期 中 )关于x的一元二次方程 有实数根，则m的取值范围是 . 04.如果关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 . 05.关于x的方程( 有实数根，则a的取值范围是 . 核心考点4 将二次等式理解为二次方程，利用判别式求字母的取值范围 06. 若实数a, b满足 则实数a的取值范围是 . 核心考点5 设参将二次式转化为二次方程，利用判别式求式子的最值 07.已知实数a，b满足 求a+b的最小值. 08.(2026湖南师大附中月考)已知x，y为实数，且满足 记 的最大值为M, 最小值为m, 则M+m= . 核心考点6分类讨论 09.已知关于x的方程 (1)求证：无论k取何值，方程一定有两个实数根； (2)求证：无论k取何值，方程总有一定根； (3)若等腰△ABC的边长α=3，另两边长b，c恰好是这个方程的根，求 的周长. 10.已知实数a, b, c满足 求a的最大值. 11.已知关于x的方程 有且仅有两个不相等的实根，则实数a的取值范围为 . 核心考点7利用判别式求几何图形的存在性 12.如图,矩形 ABCD 中, AB=a, AD=b(a>b). (1)若a=6, b=2,P为DC上一动点(异于C, D两点) ,当P在什么位置时, 为直角三角形； (2)P为DC上一点(异于C，D两点)，当a，b满足什么条件时，使 为直角三角形的P点有且只有一个? 第25章 一元二次方程 25.2降次——解一元二次方程 答案版 专题一 解一元二次方程 核心考点1 用指定的方法解一元二次方程 01.用指定的方法解下列方程： (直接开平方法) 解: 开方得, 2x+1=±3, 解得： (公式法) 解: ∵a=2, b=-4, c=-5, 核心考点2 解含参数的一元二次方程 02.解下列关于x的一元二次方程： 解: (x-k)(x-2)=0, (配方法) 解：移项得， 整理得， 配方得， 即 开方得， 解得： (因式分解法) 解: 因式分解得: (x-3)(x-3+4x)=0, ∴x-3=0或5x-3=0, 解： ∴(x+t-1)(x+t+2)=0, 03.已知关于x的一元二次方程 的一个根为m.若2<m<3，求a的取值范围. 解: 因式分解, 得(x+a)(ax-1)=0, 解得x=-a或 当 m=-a时, 2<-a<3, 解得-3<a<-2;当 时， 解得 综上: -3<a<-2或 04.(2025武珞路中学月考)已知关于x的一元二次方程 (1)求证：无论k为何值，此方程总有一个根是定值； (2)若直角三角形的一边为4，另两边恰好是这个方程的两根，求k的值. (1) 证明: ∴(x-3)(x-k)=0,∴无论k为何值, 此方程总有一个根是x=3. (2) 解: 由 (1)得. 当k为直角边长，则 当k为斜边长，则 综上所述： 或k=5. 专题三 可化为一元二次方程的方程 方法解读：换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化. 核心考点1 换元法①——换整式 01.解下列方程： 解： 解： 02. 若实数x,y满足 则 核心考点2 换元法②——换分式 03.(2025七一中学周练)已知实数x满足 则 核心考点3 换元法③——换根式或绝对值 04.提出问题：解方程： 提示：可以用“换元法”解方程. 解：设 则原方程可化为 解得 (舍去), 解决问题：解方程： 解：设 解： 设|x|=t,则t≥0, 则原方程化为 或t-2=0, 解得： 或|x|=2, ∵t≥0, ∴t=1, 即 解得： 核心考点4 消元法 05. (2025武汉外校月考) 已知实数x,y满足. 且 则x= 3 . 核心考点5 分类讨论法——解含绝对值的一元二次方程的方程 06.已知方程 求满足该方程的所有根之和. 解：分类讨论： ①当2x-1>0, 即 时，原方程化为 解得 (舍). ②当2x-1=0,即 时，代入原方程不合题意，舍去. ③当2x-1<0,即 时，原方程化为 解得 (舍去). ∴方程的所有根为3.与 所有根之和为 专题四 配方法求代数式最值 核心考点1 单配方 01.将一元二次方程 化成 (a, b 为常数) 的形式, 则a+b= 25 . 02.(2025武汉二中月考)已知代数式 先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少? 解：原式 ∴原式≥5，不论x取何值，这个代数式的值是正数. 当x=2时，这个代数式的值最小，最小值为5. 核心考点2 双配方 03. (2025七一中学月考) 已知 则 04. 若 则A，B 的大小关系为(C) A. A>B B. A<B C. A≥B D. A≤B 核心考点3 消元与配方 05.(2025长郡中学月考) 已知 则 的最大值为 2 . 06.已知实数x，y满足 若t=x+y, 则t的最大值为 6 . 07.(2026长沙一中月考)已知x，y为实数，且满足 记 的最大值为M，最小值为m，则 核心考点4 隐含的配方 08.(2025深圳中学月考)两个数的和为13，则这两个数的积的最大值为 09.(2025武珞路中学月考)已知实数m，n满足 则2m+3n= -1 . 核心考点5 多变量多次配方求最值 10.已知a，b为实数，求代数式 的最小值. 解： 当 b-1=0，即a=0，b=1时，上式不等式中等号成立，故所求最小值为-1. 11. 当x= 2 , y= 1 时, 代数式 的最小值为 1 . 12.已知x，y都为实数，则式子 的最大值是 12 . 13. 若 (x,y 为实数), 则 w的最小值为 -2 . 解： 整理，得 ∵x, y为实数, w 即 ∴w≥-2,故w的最小值为-2. 专题五 配方法求几何最值 核心考点1 利用配方法求面积最值 01. 如图, 四边形ABCD的两条对角线AC,BD互相垂直,AC+BD=12, 当AC, BD的长分别是多少时，四边形ABCD的面积最大? 解: 设AC,BD交于点O, 设AC=x, 则.BD=12-x, 当x=6时, S=2+ABCD最大为 18, ∴AC=6, BD=6. 答: 当AC=BD=6时, 四边形ABCD面积最大. 02.(2025武汉一初月考)如图,四边形ABCD的两条对角线AC,BD所成的锐角为60°,AC+BD=10,则四边形ABCD的面积的最大值为 . 解: 设AC=x, 设AC,BD交于O, 则BD=10-x, 作AH⊥BD于H, CG⊥BD于G, 当x=5时, max= 03. 如图, 在△ABC中, AB=AC, ∠BAC=120°, 点D为AB边上一点(不与点B 重合) , 连接CD,将线段CD绕点D逆时针旋转90°，点C的对应点为E，连接BE.若AB=6，则△BDE的面积的最大值为 . 解: 作CM⊥AB 于 M, EN⊥AB 于 N, ∴∠EDN+∠DEN=90°. ∵∠EDC=90°, ∴∠EDN+∠CDM=90°, ∴∠DEN=∠CDM. ∴△EDN≌△DCM (AAS) , ∴EN=DM. ∵∠BAC=120°, ∴∠MAC=60°, ∴∠ACM=30°, ∴BM=AB+AM=6+3=9. 设 BD=x, 则 EN=DM=9-x, ∴S△BDE= BD·EN= x(9-x)-- (x- )²+∴当BD= 时，S△BDE有最大值为 核心考点2 利用配方法求线段最值 04.(2026江夏期中)如图, 在正方形ABCD中, AB=4, 点H, F分别在边AB, CD上, 若BH=DF,将线段HF绕点F顺时针旋转90°至线段MF，连接AM，则线段AM的最小值为 . 解: 作HG⊥CD于点 G, MN⊥CD于点 N,ME⊥AD于点E, 则△FMN≌△HFG, ∴可设 MN=FG=x, ∴ME=DN=FN-FD=2+x₂,AE=AD-DE=4-x, ∴当 时，AM最小值为 第 6页 专题六根的判别式 核心考点1 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况①——Δ=a²+正数或Δ=-a²-正数 01.不解方程，判断方程 的根的情况是(B) A.无实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有两个实数根 D.随k值的变化而变化，不能判定 核心考点2 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况②——Δ=a²或 02.已知关于x的方程 该方程根的情况为(B) A.方程没有实数根 B.方程有两个实数根 C.方程有两个相等的实数根 D.不能确定 核心考点3 利用根的判别式确定一元二次方程中参数的取值范围 03.(2026汉阳期中)关于x的一元二次方程 有实数根，则m的取值范围是 m≤5 . 04.如果关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么 k的取值范围是 且k≠0 . 05.关于x的方程 有实数根，则a的取值范围是 a≥1 . 核心考点4 将二次等式理解为二次方程，利用判别式求字母的取值范围 06.若实数a，b满足 则实数a的取值范围是 a≤-2或a≥4 . 核心考点5 设参将二次式转化为二次方程，利用判别式求式子的最值 07.已知实数a，b满足 求a+b的最小值. 解:设a+b=t, ∴a=t-b, ∴(t-b)²+2b²-6=0, ∴3b²-2tb+t²-6=0, ∴△=4t²-12t²+72≥0, ∴t²≤9, ∴-3≤t≤3, ∴a+b的最小值为-3. 08.(2026湖南师大附中月考)已知x，y为实数，且满足 记 的最大值为M,最小值为m,则 解： ∵已知x，y为实数，且满足 ∴关于y的方程 有实数解， 的最大值为 的最大值为： 即 当x=0时, 的最小值为-4，即 核心考点6 分类讨论 09.已知关于x的方程 (1)求证：无论k取何值，方程一定有两个实数根； (2)求证：无论k取何值，方程总有一定根； (3)若等腰△ABC的边长α=3，另两边长b，c恰好是这个方程的根，求△ABC的周长. 解： ∴方程一定有两个实数根. 得 ∴方程总有一定根为x=2. (3) ①当b=c时, k=2,故b+c=k+2=4, 满足三角形三边关系, a+b+c=7, 故△ABC的周长为7; ②当b，c中有一个与a相等时，不妨设b=a=3， 则3²-(k+2)×3+2k=0, k=3, ∴b+c=k+2=5, 满足三角形三边关系, a+b+c=8, 故△ABC的周长为8. 综上所述，△ABC的周长为7或8. 10. 已知实数a, b, c满足a+b+c=0, 求a的最大值. 解: ∵a+b+c=0,. 解得：-2≤a≤2,∴ a的最大值为2. 11.已知关于x的方程 有且仅有两个不相等的实根，则实数a的取值范围为 a>0或a=-2 . 解：方程变为： 则 方程看作|x-3|的一元二次方程， ①当△=0, 即a=-2时, 方程 有两个相同的实数根， ②当△>0时，关于|x-3|的方程有一正根和一负根，原方程有两个不同的实数根， ∴-2a<0, 即a>0, 所以a的范围为a>0或a=-2. 核心考点7 利用判别式求几何图形的存在性 12. 如图, 矩形ABCD中, AB=a, AD=b(a>b). (1)若a=6,b=2,P为DC上一动点(异于C,D两点), 当P在什么位置时, △APB为直角三角形； (2)P为DC上一点(异于C，D两点)，当a，b满足什么条件时，使△APB为直角三角形的P点有且只有一个? 解: (1) ∵∠APB=90°, 设.DP=x, 当 时，△APB为直角三角形. (2) 同(1) 可列方程 当 时，P点有且只有一个， 此时 a>b>0,∴ a=2b. 学科网（北京）股份有限公司 $