25.1一元二次方程的概念分层训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学一元二次方程概念新授课同步练，通过三级分层设计，实现从概念理解到综合应用再到拓展探究的知识巩固路径，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |第一部分（必做）|基础概念（定义、一般形式、系数）|判断辨析题强化概念辨析，如方程类型判断| |第二部分（必做）|概念深化与应用（根的意义、实际建模）|实际应用题培养模型意识，如矩形面积问题| |第三部分（选做·附加）|拓展探究（新定义、综合推理）|新定义"平衡方程"题发展创新意识与推理能力|

九年级数学 · 25.1 一元二次方程的概念 · 分层训练 25.1一元二次方程的概念 分层训练· 第一部分（必做） 一、选择题（共 6 题） 1．下列方程中，是关于 x 的一元二次方程的是（ ） A．x(x-3)=x2+2 B．x2+3x-5=0 C．x2+y=4 D．x+=2 2．将方程 (x-2)(x+5)=3x+1 化为一般形式，正确的是（ ） A．x2-11=0 B．x2+6x-11=0 C．x2-6x-11=0 D．x2-9=0 3．方程 -2x2+5=3x 化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A．-2，-3，5 B．-2，3，5 C．2，-3，-5 D．2，3，-5 4．关于 x 的方程 (m2-5m+6)x2+(m-2)x-1=0 是一元二次方程，则 m 应满足（ ） A．m≠2 B．m≠3 C．m≠2 且 m≠3 D．m=2 或 m=3 5．已知代数式 f(x)=x2-x-6 的取值如下表，则方程 x2-x-6=0 的根是（ ） x -3 -2 0 3 f(x) 6 0 -6 0 A．-3 和 0 B．-2 和 0 C．0 和 3 D．-2 和 3 6．若 a-b+c=0，且 a≠0，则方程 ax2+bx+c=0 一定有一个根是（ ） A．-1 B．0 C．1 D．2 二、填空题（共 4 题） 7．一元二次方程的一般形式为 ____________________，其中必须满足的条件是 __________。 8．方程 5-x(2x-3)=0 化为一般形式为 ____________________，其二次项系数、一次项系数、常数项依次为 __________、__________、__________。 9．若 x=2 是方程 x2+(k-3)x-2=0 的一个根，则 k=__________。 10．若 x= 是方程 4x2+mx-3=0 的一个根，则 m=__________。 三、判断与辨析题（共 4 题） 11．判断：“方程 x2+1=x2-2x 是一元二次方程。”（填“正确”或“错误”），并说明理由。 12．已知一个关于 x 的一元二次方程，其二次项系数为 -3，一次项系数是常数项的 2 倍，且 x=1 是这个方程的一个根。求一次项系数和常数项，并写出这个一元二次方程的一般形式。 13．小明认为：“x2=0 中没有一次项和常数项，所以它不是一元二次方程。”请判断小明的说法是否正确，并说明理由。 14．如图，一个长方形的长为 (x+2) cm，宽为 (x-1) cm，面积为 18 cm2。 （1） 根据题意列出关于 x 的方程，并说明它为什么是一元二次方程； （2）将所列方程化为一般形式，并写出 a、b、c 的值。 第二部分（必做） 四、选择题（共 4 题） 15．若 x=-1 是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根，则下列关系一定成立的是（ ） A．a+b+c=0 B．a-b+c=0 C．a+b-c=0 D．-a+b+c=0 16．已知 x=3 是方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根，则下列方程一定以 x=4 为一个根的是（ ） A．a(x-1)2+b(x-1)+c=0 B．a(x+1)2+b(x+1)+c=0 C．a(x-4)2+b(x-4)+c=0 D．ax2+b(x-1)+c=0 17．根据下表可知，方程 2x2+x-3=0 的一个根是（ ） x -2 -1 1 2 2x2+x-3 3 -2 0 7 A．-2 B．-1 C．1 D．2 18．如图，在长 20 m、宽 14 m 的矩形草地上修两条互相垂直且宽均为 x m 的道路，剩余草坪面积为 216 m2。根据题意列出的方程正确的是（ ） A．(20-x)(14-x)=216 B．20×14-2x=216 C．(20-2x)(14-2x)=216 D．20×14-x2=216 五、填空题（共 4 题） 19．方程 (2x-1)(x+3)=x(2x+1)+5 化简后为 ____________________，因此它__________一元二次方程。（填“是”或“不是”） 20．若 α 是方程 2x2-3x-1=0 的一个根，则 2α2-3α+2027=__________。 21．若 x= 是方程 9x2+px-2=0 的一个根，则 p=__________。 22．请填写一元二次方程的特殊形式：ax2+bx=0（a≠0）中 c=__________；ax2+c=0（a≠0）中 b=__________；ax2=0（a≠0）中 b=__________，c=__________。 六、解答题（共 4 题） 23．将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别写出二次项系数、一次项系数和常数项。 （1）2x(x-4)=3-x； （2）(x+1)(x-2)=2(x-3)。 24．已知关于 x 的方程 (m+1)x2+(m2-1)x+m-1=0。 （1）m 满足什么条件时，该方程是一元二次方程？ （2）当 m=-1 时，化简原方程，并判断它是否为一元二次方程。 25．已知 x=2 是方程 2x2+(p-1)x-6=0 的一个根。 （1）求 p 的值； （2）请写出一个二次项系数为 1、常数项为 -8，且以 x=2 为一个根的一元二次方程。 26．如图，一张长 12 cm、宽 8 cm 的长方形纸片，在四个角各剪去一个边长为 x cm 的小正方形，余下部分中间长方形的面积为 48 cm2（只列方程，不要求解）。 （1）根据题意列出关于 x 的方程； （2）把所列方程化为系数最简的一般形式，并写出 a、b、c 的值。 第三部分（选做·附加） 27．阅读材料：把一般形式 ax2+bx+c=0（a≠0）中满足 a+b+c=0 的方程称为“平衡方程”。根据材料完成下列问题。 （1）判断方程 2x2-5x+3=0 是否为“平衡方程”，并说明理由； （2）说明任意“平衡方程”为什么一定以 x=1 为一个根； （3）若 (m-1)x2+(2m+1)x+k=0 是“平衡方程”，且它是一元二次方程，用含 m 的式子表示 k，并写出 m 的限制条件。 28．设 P(x)=ax2+bx+c（a≠0），现有三张“候选根卡片”：-1、0、1。 （1）分别写出 P(-1)、P(0)、P(1)； （2）若 c=0 且 a+b+c=0，三张卡片中哪些数一定是方程 P(x)=0 的根？ （3）若 -1 和 1 都是方程 P(x)=0 的根，求 b、c 与 a 的关系，并写出一个满足条件的一元二次方程。 详细答案与解析 第一部分（必做） 1．答案：B 解析：A 整理后为 -3x-2=0，是一元一次方程；B 只含一个未知数 x，且整理后最高次数为 2，二次项系数不为 0；C 含两个未知数；D 含未知数在分母中。因此选 B。 2．答案：A 解析：展开左边得 x2+3x-10=3x+1，移项、合并同类项得 x2-11=0。 3．答案：A 解析：移项得 -2x2-3x+5=0，所以 a=-2，b=-3，c=5。注意各项系数都要连同前面的符号。 4．答案：C 解析：方程中 x2 的系数为 m2-5m+6=(m-2)(m-3)。要成为一元二次方程，二次项系数必须不为 0，所以 (m-2)(m-3)≠0，即 m≠2 且 m≠3。 5．答案：D 解析：方程的根就是使 x2-x-6 的值为 0 的 x。由表可见，当 x=-2 或 x=3 时，f(x)=0，所以根为 -2 和 3。 6．答案：A 解析：把 x=-1 代入方程左边，得到 a(-1)2+b(-1)+c=a-b+c=0，所以 x=-1 一定是方程的根。 7．答案：ax2+bx+c=0；a≠0 解析：一元二次方程的一般形式为 ax2+bx+c=0，其中 a、b、c 为常数，且二次项系数 a 必须满足 a≠0；b、c 可以为 0。 8．答案：-2x2+3x+5=0；-2；3；5 解析：展开得 5-2x2+3x=0，按 x 的降幂排列为 -2x2+3x+5=0。因此 a=-2，b=3，c=5。 9．答案：2 解析：因为 x=2 是方程的根，所以代入得 22+(k-3)×2-2=0，即 4+2k-6-2=0，化简得 2k-4=0，所以 k=2。 10．答案：4 解析：把 x= 代入：4×()2+m×()-3=0，即 1+-3=0，所以 =2，m=4。 11．答案：错误 解析：等式两边都有 x2，整理后 x2 被消去：x2+1=x2-2x ⇒ 2x+1=0，最高次数为 1，所以不是一元二次方程。判断时必须先化简整理。 12．答案：一次项系数为 2，常数项为 1；方程为 -3x2+2x+1=0 解析：设常数项为 c，则一次项系数为 2c。根据题意，方程可写为 -3x2+2cx+c=0。因为 x=1 是方程的一个根，所以把 x=1 代入，得 -3+2c+c=0，即 3c=3，解得 c=1。因此一次项系数为 2c=2，常数项为 1，所求方程的一般形式为 -3x2+2x+1=0。检验：当 x=1 时，-3+2+1=0，且二次项系数 -3≠0，符合一元二次方程的定义。 13．答案：小明的说法错误 解析：x2=0 可以写成 1·x2+0·x+0=0，其中 a=1≠0，b=0，c=0。一次项或常数项可以缺少，但二次项不能缺少，所以它是一元二次方程。 14．答案：（1）(x+2)(x-1)=18（x>1）；（2）x2+x-20=0，a=1，b=1，c=-20 解析：（1）长×宽=面积，所以列方程 (x+2)(x-1)=18。展开后含 x2，且二次项系数为 1≠0，因此是一元二次方程。 （2）展开：x2+x-2=18，移项得 x2+x-20=0，所以 a=1，b=1，c=-20。 由宽 x-1>0，还应有 x>1。 第二部分（必做） 15．答案：B 解析：把 x=-1 代入 ax2+bx+c=0，得 a-b+c=0，因此选 B。 16．答案：A 解析：原方程以 3 为根，即 a·32+b·3+c=0。对 A 中方程，当 x=4 时，x-1=3，左边正好变成 a·32+b·3+c=0，所以 x=4 是其根。 17．答案：C 解析：从表中看，当 x=1 时，2x2+x-3 的值为 0，所以 x=1 是方程的一个根。 18．答案：A 解析：两条道路交叉后，未铺路部分可以等效拼成一个长为 (20-x) m、宽为 (14-x) m 的矩形，其面积为 216 m2，所以方程为 (20-x)(14-x)=216。 19．答案：4x-8=0；不是 解析：左边展开为 2x2+5x-3，右边为 2x2+x+5。两边同时消去 2x2 后得 4x-8=0，最高次数为 1，因此不是一元二次方程。 20．答案：2028 解析：因为 α 是根，所以 2α2-3α-1=0，即 2α2-3α=1。因此 2α2-3α+2027=1+2027=2028。 21．答案：3 解析：把 x= 代入：9×()2+p×()-2=0，即 1+-2=0，得 =1，所以 p=3。 22．答案：0；0；0；0 解析：与一般形式 ax2+bx+c=0 对照：ax2+bx=0 中常数项缺少，所以 c=0；ax2+c=0 中一次项缺少，所以 b=0；ax2=0 中一次项和常数项都缺少，所以 b=c=0。 23．答案：（1）2x2-7x-3=0，a=2，b=-7，c=-3；（2）x2-3x+4=0，a=1，b=-3，c=4 解析：（1）2x(x-4)=3-x ⇒ 2x2-8x=3-x ⇒ 2x2-7x-3=0。 （2）(x+1)(x-2)=2(x-3) ⇒ x2-x-2=2x-6 ⇒ x2-3x+4=0。各项系数均要带符号。 24．答案：（1）m≠-1；（2）-2=0，不是一元二次方程 解析：（1）二次项系数为 m+1，要使方程是一元二次方程，必须 m+1≠0，所以 m≠-1。 （2）当 m=-1 时，m+1=0，m2-1=0，m-1=-2，原式化为 -2=0，不含未知数 x，因此不是一元二次方程。 25．答案：（1）p=0；（2）x2+2x-8=0 解析：（1）代入 x=2：2×22+(p-1)×2-6=0，即 8+2p-2-6=0，得 2p=0，所以 p=0。 （2）设所求方程为 x2+bx-8=0。代入 x=2，得 4+2b-8=0，所以 b=2。故可写为 x2+2x-8=0。 26．答案：（1）(12-2x)(8-2x)=48（0<x<4）；（2）x2-10x+12=0，a=1，b=-10，c=12 解析：剪去四角后，中间长方形的长为 (12-2x) cm，宽为 (8-2x) cm。由面积为 48 cm2，得 (12-2x)(8-2x)=48。展开：96-40x+4x2=48，整理得 4x2-40x+48=0，两边同除以 4，得系数最简的一般形式 x2-10x+12=0，所以 a=1，b=-10，c=12。 结合实际意义，x 还应满足 0<x<4。 第三部分（选做·附加） 27．答案：（1）是；（2）见解析；（3）k=-3m，m≠1 解析：（1）对于 2x2-5x+3=0，a+b+c=2-5+3=0，所以它是“平衡方程”。 （2）任意“平衡方程”满足 a+b+c=0。把 x=1 代入左边，得到 a·12+b·1+c=a+b+c=0，所以 x=1 一定是它的一个根。 （3）由“平衡方程”定义，(m-1)+(2m+1)+k=0，化简得 3m+k=0，所以 k=-3m。又该方程必须是一元二次方程，二次项系数 m-1≠0，因此 m≠1。 28．答案：（1）P(-1)=a-b+c，P(0)=c，P(1)=a+b+c；（2）0、1；（3）b=0，c=-a；例如 x2-1=0 解析：（1）直接代入可得 P(-1)=a(-1)2+b(-1)+c=a-b+c；P(0)=c；P(1)=a+b+c。 （2）c=0 ⇒ P(0)=0，所以 0 是根；a+b+c=0 ⇒ P(1)=0，所以 1 是根。 （3）-1 和 1 都是根，所以 a-b+c=0，a+b+c=0。两式相减得 2b=0，即 b=0；再代入得 a+c=0，即 c=-a（a≠0）。取 a=1，可得一个满足条件的方程 x2-1=0。 学科网（北京）股份有限公司 $