25.1一元二次方程的概念 分层练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 分层梯度清晰（10:7:3），从概念巩固到综合应用再到创新拓展，构建“概念理解-能力提升-思维创新”的知识巩固路径，培养抽象能力、推理意识与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关|一元二次方程定义、一般形式、根的概念|以选择填空为主，如定义判断、系数辨析，强化符号意识| |能力进阶|列方程应用、含参问题、根与代数式求值|增加应用题（毕业照片、直角三角形），培养模型意识与推理能力| |思维拓展|新定义（同族方程）、开放探究|引入新情境与开放题，发展创新意识与批判性思维|

25.1 一元二次方程的概念 一、基础过关（巩固）· 10 题 1.【定义判断】下列方程是关于 x 的一元二次方程的为（　　） A. B. C. D. 2.【一般形式系数】一元二次方程 的二次项系数、一次项系数和常数项依次是（　　） A. 7，2，1 B. 7，－2，1 C. 7，－2，－1 D. 7，2，－1 3.【化为一般形式】将一元二次方程 化为一般形式为（　　） A. B. C. D. 4.【一般形式填空】已知关于 x 的方程 ，当 时，该方程是一元二次方程，这个一元二次方程的二次项系数为　　　　　　　　，一次项系数为　　　　　　　　，常数项为　　　　　　　　。 5.【化为一般形式·填空】将下面的方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项： （1）；（2）。 6.【根的定义】下列数中，是方程 的根的为（　　） A. －1，2 B. －1 C. 1，－2 D. 2 7.【根求参数】已知 是关于 x 的一元二次方程 的一个根，则 a 的值为（　　） A. －4 B. 4 C. 2 D. －2 8.【根代入求值】若方程 的一个根为 m，则 　　　　　　　　。 9.【根为零求参】如果关于 x 的一元二次方程 有一个根为 0，那么 m 的值为　　　　　　　　。 10.【列方程·比赛】参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛。赛程计划安排 18 天，每天安排 4 场比赛，设参加比赛的球队有 x 支。根据题意，下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 二、能力进阶（提升）· 7 题 11.【列方程·应用】根据题意，列出方程（不需要求解）： （1）某班学生毕业时都会向全班其他学生各送一张照片留念，全班共送出 1056 张照片，求全班有多少名学生。设全班有 x 名学生，可列方程为　　　　　　　　。 （2）一个直角三角形的斜边长为 4，两条直角边长相差 4。设较长的直角边长为 x，可列方程为　　　　　　　　。 12.【根的定义·符号】若 是关于 x 的一元二次方程 的一个根，则下列式子成立的是（　　） A. B. C. D. 13.【根求代数式】已知 m 是方程 的一个根，则代数式 的值为（　　） A. 2022 B. 2024 C. 2026 D. 2028 14.【含参定义】若方程 是关于 x 的一元二次方程，则 　　　　　　　　。 15.【根求代数式】若关于 x 的一元二次方程 的一个根是 ，则 的值是　　　　　　　　。 16.【根与另一根】若 是关于 x 的方程 的一个根，则常数 　　　　　　　　，这个方程的另一个根为　　　　　　　　。 17.【列方程·综合】根据题意列出方程，并将其化成一元二次方程的一般形式（不需要求解）： （1）6 个完全相同的等腰直角三角形的面积之和是 27，求等腰直角三角形的直角边长 x； （2）一个矩形的周长为 20，面积是 24，求矩形的长 x； （3）从一块正方形木板上锯掉一块宽为 3dm 的矩形木板，剩下的矩形面积为 60dm²，原来正方形木板的边长为 dm，求 。 三、思维拓展（拔高）· 3 题 18.【新定义·同族方程】关于 x 的一元二次方程 与 称为“同族二次方程”。现有 与 是“同族二次方程”，则 　　　　　　　　。 19.【含参根·代数式】已知实数 a 是一元二次方程 的一个根，求代数式 的值。 20.【拓展】若方程 是关于 x 的一元二次方程，求 m 的取值范围，并写出一个符合条件的 m 值使该方程有一个根为 1。 参考答案 【基础过关】 1. C 2. C 3. B 4. ，，9 5.（1），二次项系数 9，一次项系数 0，常数项 －25；（2），二次项系数 3，一次项系数 －12，常数项 －7 6. C 7. B 8. 1 9. －3 10. B 【能力进阶】 11.（1）；（2） 12. B 13. B 14. 2（且 ，题设隐含 15. 1 16. 18， 17.（1）；（2）；（3） 【思维拓展】 18. －5 19. 由 得 ，且 ；原式再除以 a 的等价变形＝2024 20. ；取 ，方程为 ，其根 ，不恒为 1，故需另取使根为 1 的 m：令 代入得 → → （满足 ）。答案：，示例 学科网（北京）股份有限公司 $