第25章第1课时 一元二次方程的概念 （课后能力提升） 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 围绕“一元二次方程的概念”，通过核心知识-典型例题-随堂训练三层设计，实现概念记忆→辨析应用→综合巩固的递进，适配新授课基础巩固与初步应用需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |核心知识|一元二次方程的定义、一般形式及根的概念|以填空强化基础记忆，培养抽象能力与符号意识| |典型例题|定义辨析及一般式系数识别|以选择辨析概念本质，发展推理意识| |随堂训练|概念综合应用（含参数取值、方程转化）|通过多样题型深化符号应用，体现模型意识|

25.1 一元二次方程的概念 一、核心知识 1.一元二次方程：一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式， 未知数的最高次数是２，这样的方程叫作一元二次方程 2.一元二次方程的一般形式是：aX 2+ bX + c = 0 (a≠0),其中aX 2是二次项，a是二次项系数，bX是一次项，b是一次项系数，c是常数项 3.一元二次方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根 二、典型例题 一元二次方程的定义 例1、下列方程中，是一元二次方程的有（    ）个 ①；②；③；④；⑤． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义判断，应仅有一个未知数，且是最高次数为2的整式方程． 【详解】①变形为，是一元二次方程； ②，整理变形为，最高次数为4，不是一元二次方程； ③，变形为，是一元二次方程； ④变形为，不是一元二次方程； ⑤，是分式方程； 故①③满足，共有个一元二次方程 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程，一元二次方程应仅有一个未知数，且是最高次数为2的整式方程． 一元二次方程的一般式 例2、一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A．2，，9 B．2，0， C．2，， D．2，1， 【答案】C 【分析】先将方程整理为一般形式，再根据一元二次方程的定义确定对应系数即可． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为，其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项， ∵原方程为 ， 移项整理得 ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 例3、若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】一元二次方程需满足两个条件，x的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∴． 三、随堂训练 1．下列方程中：①，②，③，④，⑤，⑥，是一元二次方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的概念逐一判断即可． 【详解】解：①是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，它是一元二次方程， ②中当时，它不是一元二次方程， ③整理得，它不是一元二次方程， ④不是一元二次方程， ⑤是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，它是一元二次方程， ⑥不是一元二次方程， 综上，一元二次方程有2个． 2．若关于x的方程是一元二次方程，则______． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的一般式为．根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为0． 【详解】解：由一元二次方程的定义，得且． 解方程，得． 即． 当时，，不符合二次项系数不为0的条件； 当时，，符合条件． 故答案为：1． 3．一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据题意给出的一次项系数列方程求解即可． 【详解】解： 展开右侧得 移项合并同类项得 由题意，该方程一次项系数为，可得 解得． 4．下列方程是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键． 含有一个未知数，且未知数的次数最高是2的整式方程是一元二次方程，依据一元二次方程的定义判断各选项即可． 【详解】解：A、方程分母含有未知数，是分式方程，不符合一元二次方程定义，故选项不符合题意； B、对去括号、移项、合并同类项，得，符合一元二次方程定义，故选项符合题意； C、未说明，当时方程不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、对去括号、移项、合并同类项，得，是一元一次方程，故选项不符合题意． 5．下列哪个方程是一元二次方程（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需同时满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，据此逐个分析选项即可． 【详解】解：A、方程含有2个未知数，是二元一次方程，不符合一元二次方程定义，∴ A错误； B、方程含有2个未知数，是二元二次方程，不符合一元二次方程定义，∴ B错误； C、方程分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，不符合一元二次方程定义，∴ C错误； D、方程整理为，只含1个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程定义，∴ D正确． 6．将一元二次方程化成一般式，则一次项系数和常数项分别是（     ） A．3，5 B．3， C．，5 D． 【答案】B 【分析】一元二次方程的一般式为（），其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项，先将原方程整理为一般式，再确定对应系数即可. 【详解】解：∵方程化成一般式为， ∴一次项系数为，常数项为. 7．将一元二次方程化为一般式为______． 【答案】 【分析】先根据单项式乘多项式法则展开方程左边，再通过移项整理得到一元二次方程的一般式． 【详解】解： ， ， 移项，得 ． 8．一元二次方程的一次项系数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，先将原方程整理为一元二次方程的一般形式（），再根据一般形式确定一次项系数． 【详解】解： ∴ ∵一元二次方程的一般形式为（），其中为一次项系数 ∴该方程的一次项系数是， 故选：D． 9．关于的一元二次方程的一次项系数是（    ） A．2 B．3 C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．一元二次方程的一般形式为，其中为一次项系数． 【详解】解：∵ 方程 ， ∴ ，，， ∴ 一次项系数为， 故选：C． 10．若关于x的方程是一元二次方程，则a的值不可能是（        ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程．一元二次方程要求二次项系数不为零，因此． 【详解】解：方程是一元二次方程， 二次项系数， 的值不可能是． 故选：C． 11．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（   ）． A．1 B．－1 C． D．不存在 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，需同时满足次数和系数条件．根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为零． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴ 且， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：B． 12．若关于x的方程是一元二次方程，则______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义即形如的整式方程，其中叫做二次项系数，叫做一次项系数，叫做常数项解答即可． 本题考查了一元二次方程的定义即形如的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴且 解得，且， 故； 故答案为：． 13．若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（    ）． A．1 B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的判定条件是未知数的最高次数为2且二次项系数不能为零． 根据一元二次方程的判定条件列式求解即可． 【详解】解：∵ 方程是关于的一元二次方程， ∴的最高次数为2，即， ∴，即． 又∵ 二次项系数 ， 当时，，不符合条件； 当时，，符合条件． ∴ ． 故选B． 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.1 一元二次方程的概念 一、核心知识 1.一元二次方程：一般地，如果方程中只含有 未知数，且含有未知数的式子都是 ，未知数的最高次数是 ，这样的方程叫作一元二次方程 2.一元二次方程的一般形式是：aX 2+ bX + c = 0 (a≠0),其中aX 2是二次项， 是二次项系数，bX是一次项， 是一次项系数， 是常数项 3.一元二次方程的根：使一元二次方程左右两边相等的未知的 ，就是这个一元二次方程的 ，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的 二、典型例题 一元二次方程的定义 例1、下列方程中，是一元二次方程的有（    ）个 ①；②；③；④；⑤． A． B． C． D． 一元二次方程的一般式 例2、一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A．2，，9 B．2，0， C．2，， D．2，1， 例3、若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D．或 三、随堂训练 1．下列方程中：①，②，③，④，⑤，⑥，是一元二次方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若关于x的方程是一元二次方程，则______． 3．一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 4．下列方程是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 5．下列哪个方程是一元二次方程（     ） A． B． C． D． 6．将一元二次方程化成一般式，则一次项系数和常数项分别是（     ） A．3，5 B．3， C．，5 D． 7．将一元二次方程化为一般式为______． 8．一元二次方程的一次项系数是（   ） A． B． C． D． 9．关于的一元二次方程的一次项系数是（    ） A．2 B．3 C． D．1 10．若关于x的方程是一元二次方程，则a的值不可能是（        ） A．1 B． C．0 D．2 11．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（   ）． A．1 B．－1 C． D．不存在 12．若关于x的方程是一元二次方程，则______． 13．若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（    ）． A．1 B． C． D．不确定 学科网（北京）股份有限公司 $