第一章 垂直平分线、角平分线、等腰三角形常考模型2026-2027学年苏科版八年级数学上册

角平分线、垂直平分线、等腰三角形常考模型详解 【知识梳理】 1.垂直平分线 性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等， 判定定理：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 常用辅助线：将垂直平分线上的点与该线段两端连起来。 常见表述：PO垂直平分AB AB的垂直平分线PO AO=OB，PO⊥AB 2.角平分线 性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等; 判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上; 常见辅助线：过角平分线上的点往角两边作垂直。 常见表述：OC平分∠AOB， ∠AOC=∠COB 3.等腰三角形 三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 4.直角三角形 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于第三边的一半。 在直角三角形中，90度所对的边中线等于这边的一半 【模型一】 条件：点C在AE的垂直平分线上 AD垂直平分BC 常见结论：1.AB=CE 2.AB+BD=DE 3.△ABE的周长=AE+2DE 4.∠E=x，∠EAC=x，∠B=∠ACD=2x，∠BAE=180。-3x 例1.如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线EF分别交边BC，AB于点E，F，过点A作AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点． （1）求证：BE＝AC； （2）若∠B＝40°，求∠BAC的度数． 练习： 1．如图，AD⊥BC，BD＝DC，C在AE的垂直平分线上． （1）AB+BD与DE数量上有什么关系？并证明． （2）如果∠E＝30°，CE＝6cm，求AB+BD的值． 【模型二】 条件：DF垂直平分AC EF垂直平分BC 常见结论：1.点F在AB的垂直平分线上 2.△CMN的周长=AB 3.∠MCN=∠ACB-（∠A+∠B）=180-2（∠A+∠B） 4.∠F=∠A+∠B 条件：MP垂直平分AB NQ垂直平分AC 常见结论：1.△APQ的周长=CB+2PQ 2.∠QAP=（∠C+∠B）-∠BAC=2（∠A+∠B）-180 例1.如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F． （1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长； （2）若∠ACB＝120°，求∠MCN的度数． 例2.在△ABC中，AB的垂直平分线分别交线段AB，BC于点M，P，AC的垂直平分线分别交线段AC，BC于点N，Q．当∠BAC＝78°时，求∠PAQ的度数． 练习： 1.如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点E，M，边AC的垂直平分线分别交BC，AC于点F，N，BE+FC＝7． （1）求AE+AF的长． （2）若∠EAF＝80°，求∠BAC的度数． 2.如图，△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC． （1）求∠PAQ的度数． （2）若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长． 【模型三】 条件：CF、BE为高，点M是BC的中点 常用结论：1.FM=EM 2.∠FME=2（∠ABC+∠ACB）-180 例1.如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC的中点． （1）若EF＝5，BC＝11，求△EFM的周长． （2）设∠ABC+∠ACB＝x°， ①若x＝120，求∠EMF的度数． ②设∠EMF＝y°，求x与y之间的数量关系． 例2.已知：如图∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点． （1）求证：MN⊥BD． （2）若∠BAD＝45°，线段MN与BD满足的数量关系是 MNBD ． 练习： 1.如图，BE、CF是△ABC的两条高，P是BC边的中点，连接PE、PF、EF． （1）求证：PE＝PF； （2）若∠A＝70°，求∠EPF的度数． 2.已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E、F分别是AC、BD的中点． （1）求证：EF⊥BD； （2）若∠BAD＝30°，AC＝8，求BD的长． 【巩固练习】 1.已知△ABC中，∠B＝20°，∠C＝25°，AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，BE＝4，CF＝3．求： （1）∠EAF的度数； （2）△EAF的周长． 2.如图，△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别是点M，N． （1）若BC＝10，求则△ADE的周长； （2）若∠BAC＝110°，求∠DAE的度数． 3.如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE． （1）求证：AB＝EC； （2）若△ABC的周长为40cm，AC＝16cm，求DC的长． 4.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，AD⊥BC． （1）求证：BE＝AC． （2）若∠B＝32°，求∠BAC的度数． 5.如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E；MN垂直平分AC，分别交AC，BC于点M，N． （1）如图1，若∠B＝32°，∠C＝36°，则∠BAC＝　 　 °，∠EAN＝　 　 °； （2）如图2，若∠BAC＝78°，则∠EAN＝　 　 °； （3）通过以上的探索过程，直接写出∠EAN与∠B，∠C的关系　 　 ． 6.如图，BN，CM分别是△ABC的两条高，点D，E分别是BC，MN的中点． （1）求证：DE⊥MN； （2）若BC＝26，MN＝10，求DE的长． 7.如图，△ABC中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，DC＝BF，点E是CF的中点． （1）求证：DE⊥CF； （2）求证：∠B＝2∠BCF． 8.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是对角线AC的中点，连接BE，DE，BD． （1）判断△BDE的形状，并说明理由． （2）若AC＝10，BD＝8，求△DBE的周长． 9.已知，如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC，BD的中点．求证： ①BM＝DM；②MN⊥BD． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 角平分线、垂直平分线、等腰三角形常考模型详解 【知识梳理】 1.垂直平分线 性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等， 判定定理：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 常用辅助线：将垂直平分线上的点与该线段两端连起来。 常见表述：PO垂直平分AB AB的垂直平分线PO AO=OB，PO⊥AB 2.角平分线 性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等; 判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上; 常见辅助线：过角平分线上的点往角两边作垂直。 常见表述：OC平分∠AOB， ∠AOC=∠COB 3.等腰三角形 三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 4.直角三角形 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于第三边的一半。 在直角三角形中，90度所对的边中线等于这边的一半 【模型一】 条件：点C在AE的垂直平分线上 AD垂直平分BC 常见结论：1.AB=CE 2.AB+BD=DE 3.△ABE的周长=AE+2DE 4.∠E=x，∠EAC=x，∠B=∠ACD=2x，∠BAE=180。-3x 例1.如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线EF分别交边BC，AB于点E，F，过点A作AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点． （1）求证：BE＝AC； （2）若∠B＝40°，求∠BAC的度数． 【解答】（1）证明：连接AE，如图所示： ∵边AB的垂直平分线EF分别交边BC，AB于点E，F，∴BE＝AE， ∵AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点，∴AD是CD的垂直平分线， ∴AE＝AC，∴BE＝AC； （2）解：由（1）可知：BE＝AE，AE＝AC， 在△EAB中，∠B＝40°，BE＝AE，∴∠EAB＝∠B＝40°， ∵∠AEC是△EAB的外角，∴∠AEC＝∠EAB+∠B＝80°， 在△AEC中，AE＝AC，∴∠C＝∠AEC＝80°， 在△ABC中，∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣（40°+80°）＝60°． 练习： 1．如图，AD⊥BC，BD＝DC，C在AE的垂直平分线上． （1）AB+BD与DE数量上有什么关系？并证明． （2）如果∠E＝30°，CE＝6cm，求AB+BD的值． 【解答】解：（1）AB+BD＝DE． 证明：∵AD⊥BC，BD＝DC，∴AB＝AC，∴AC+CD＝AB+BD， 又∵点C在AE的垂直平分线上，∴AC＝EC， ∴EC+CD＝AB+BD， 即AB+BD＝EC+CD＝DE； （2）∵AC＝CE，∴∠CAE＝∠E， ∴∠ACD＝∠CAE+∠E＝2∠E＝60°， ∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠CDA＝30°，∴CDAC， ∵AC＝CE＝6cm，∴CD＝3cm，∴DE＝DC+CE＝9cm， 由（1）知，AB+BD＝DE， ∴AB+BD＝DE＝9cm． 【模型二】 条件：DF垂直平分AC EF垂直平分BC 常见结论：1.点F在AB的垂直平分线上 2.△CMN的周长=AB 3.∠MCN=∠ACB-（∠A+∠B）=180-2（∠A+∠B） 4.∠F=∠A+∠B 条件：MP垂直平分AB NQ垂直平分AC 常见结论：1.△APQ的周长=CB+2PQ 2.∠QAP=（∠C+∠B）-∠BAC=2（∠A+∠B）-180 例1.如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F． （1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长； （2）若∠ACB＝120°，求∠MCN的度数． 【解答】解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，∴AM＝CM，BN＝CN， ∴AB＝AM+MN+BN＝CM+MN+CN， ∵△CMN的周长为15cm，∴CM+MN+CN＝15cm，∴AB＝15cm， 即AB的长为15cm； （2）在△ABC中，∠ACB＝120°，∴∠A+∠B＝180°﹣∠ACB＝180°﹣120°＝60°， ∵AM＝CM，BN＝CN，∴∠MCA＝∠A，∠NCB＝∠B， ∴∠MCA+∠NCB＝∠A+∠B＝60°， ∴∠MCN＝∠ACB﹣（∠MCA+∠NCB）＝120°﹣60°＝60°， 即∠MCN的度数为60°． 例2.在△ABC中，AB的垂直平分线分别交线段AB，BC于点M，P，AC的垂直平分线分别交线段AC，BC于点N，Q．当∠BAC＝78°时，求∠PAQ的度数． 【解答】解：∵PM垂直平分AB，QN垂直平分AC， ∴PA＝PB，QA＝QC， ∴∠PAB＝∠B，∠QAC＝∠C， ∵∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣78°＝102°， ∴∠PAB+∠QAC＝∠B+∠C＝102°， ∴∠BAQ+∠PAQ+∠QAC＝102°， ∴∠BAC+∠PAQ＝102°， ∴∠PAQ＝102°﹣78°＝24°． 练习： 1.如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点E，M，边AC的垂直平分线分别交BC，AC于点F，N，BE+FC＝7． （1）求AE+AF的长． （2）若∠EAF＝80°，求∠BAC的度数． 【解答】解：（1）由题意可得：BE＝AE，FA＝FC， ∵BE+FC＝7，∴AE+AF＝BE+FC＝7； （2）∵BE＝AE，FA＝FC， ∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C， ∵∠EAF＝80°，∠AEF＝∠EAB+∠B，∠EFA＝∠FAC+∠C， ∴∠EAF+∠AEF+∠EFA＝80°+∠FAC+∠C+∠EAB+∠B＝180°， 解得∠B+∠C＝50°， 则∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣50°＝130°． 2.如图，△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC． （1）求∠PAQ的度数． （2）若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长． 【解答】解：（1）设∠PAQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z， ∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，∴AP＝PB，AQ＝CQ， ∴∠B＝∠BAP＝x+z，∠C＝∠CAQ＝x+y， ∵∠BAC＝80°，∴∠B+∠C＝100°， 即x+y+z＝80°，x+z+x+y＝100°，∴x＝20°， ∴∠PAQ＝20°； （2）∵△APQ周长为12，∴AQ+PQ+AP＝12， ∵AQ＝CQ，AP＝PB，∴CQ+PQ+PB＝12， 即CQ+BQ+2PQ＝12，BC+2PQ＝12， ∵BC＝8，∴PQ＝2． 【模型三】 条件：CF、BE为高，点M是BC的中点 常用结论：1.FM=EM 2.∠FME=2（∠ABC+∠ACB）-180 例1.如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC的中点． （1）若EF＝5，BC＝11，求△EFM的周长． （2）设∠ABC+∠ACB＝x°， ①若x＝120，求∠EMF的度数． ②设∠EMF＝y°，求x与y之间的数量关系． 【解答】解：（1）∵CF⊥AB，BE⊥AC，M为BC的中点， ∴EM＝FMBC， ∵EF＝5，BC＝11， ∴△EFM的周长＝EF+EM+FM＝EF+BC＝5+11＝16； （2）①∵EM＝BM＝FM＝CMBC， ∴∠ABC＝∠BFM，∠ACB＝∠CEM， ∵∠ABC+∠ACB＝x°， ∴∠BFM+∠MEC＝∠ABC+∠ACB＝x°， ∴∠BMF+∠CME＝360°﹣（∠BFM+∠MEC+∠ABC+∠ACB）＝360°﹣2x°， ∴∠EMF＝180°﹣（∠BMF+∠CME）＝180°﹣360°+2x°＝2x°﹣180°， ∵x＝120， ∴∠EMF＝2×120°﹣180°＝240°﹣180°＝60°； ②由①知，∠EMF＝2x°﹣180° ∵∠EMF＝y°， ∴y＝2x﹣180． 例2.已知：如图∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点． （1）求证：MN⊥BD． （2）若∠BAD＝45°，线段MN与BD满足的数量关系是 MNBD ． 【解答】（1）证明：如图，连接MN， ∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点， ∴BM＝DMAC， ∵N是BD的中点， ∴MN⊥BD． （2）解：∵M是AC的中点， ∴AMAC＝BM， ∴∠BAM＝∠ABM， ∵∠BMC＝∠BAM+∠ABM， ∴∠BMC＝2∠BAM， 同理，∠CMD＝2∠DAM， ∴∠BMD＝∠BMC+∠CMD＝2（∠BAM+∠DAM）＝2∠BAD， ∵∠BAD＝45°， ∴∠BMD＝90°， ∵MN⊥BD，BM＝DM， ∴MNBD， 故答案为：MNBD． 练习： 1.如图，BE、CF是△ABC的两条高，P是BC边的中点，连接PE、PF、EF． （1）求证：PE＝PF； （2）若∠A＝70°，求∠EPF的度数． 【解答】（1）证明：∵BE、CF是△ABC的两条高， ∴∠BFC＝∠BEC＝90°， ∵P是BC边的中点， ∴BP＝FPBC，CP＝EPBC， ∴PE＝PF； （2）解：∵∠A＝70°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°， 由（1）得： PE＝PF，EP＝CP， ∴∠ABC＝∠BFP，∠ACB＝∠CEP， ∴∠BFP+∠CEP＝∠ABC+∠ACB＝110°， ∴∠FPB+∠EPC＝360°﹣（∠ABC+∠ACB+∠BFP+∠CEP）＝140°， ∴∠EPF＝180°﹣（∠FPB+∠EPC）＝40°， ∴∠EPF的度数为40°． 2.已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E、F分别是AC、BD的中点． （1）求证：EF⊥BD； （2）若∠BAD＝30°，AC＝8，求BD的长． 【解答】（1）证明：连接BE、DE， ∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点， ∴， ∵F是BD的中点， ∴EF⊥BD； （2）解：由（1）可知，， ∴∠EAB＝∠EBA，∠EAD＝∠EDA， ∴2∠EAB＝∠CEB，2∠EAD＝∠CED， ∵∠BAD＝30°， ∴∠BED＝60°， ∵BE＝DE， ∴△BED是等边三角形， ∴BD＝BE＝4． 【巩固练习】 1.已知△ABC中，∠B＝20°，∠C＝25°，AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，BE＝4，CF＝3．求： （1）∠EAF的度数； （2）△EAF的周长． 【解答】（1）解：在△ABC中，∠B＝20°，∠C＝25°， ∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣（20°+25°）＝135°， ∵点E在线段AB的垂直平分线上， ∴BE＝AE， ∴∠EAB＝∠B＝20°， ∵点F在线段AC的垂直平分线上， ∴FA＝FC， ∴∠FAC＝∠C＝25°， ∴∠EAF＝∠BAC﹣∠EAB﹣∠FAC＝135°﹣20°﹣25°＝90°； （2）解：由（1）可知：∠EAF＝90°，BE＝AE，FA＝FC， ∵BE＝4，CF＝3， ∴△EAF是直角三角形，BE＝AE＝4，FA＝FC＝3， 在Rt△AEF中，由勾股定理得：EF5， ∴△EAF的周长为：AE+AF+EF＝4+3+5＝12． 2.如图，△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别是点M，N． （1）若BC＝10，求则△ADE的周长； （2）若∠BAC＝110°，求∠DAE的度数． 【解答】解：（1）∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，垂足分别是M、N， ∴AD＝BD，AE＝CE， ∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝BD+DE+CE＝BC＝10； （2）∵∠BAC＝110°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝70°， ∵AD＝BD，AE＝CE， ∴∠BAD＝∠B，∠CAE＝∠C， ∴∠BAD+∠CAE＝70°， ∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝110°﹣70°＝40°． 3.如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE． （1）求证：AB＝EC； （2）若△ABC的周长为40cm，AC＝16cm，求DC的长． 【解答】（1）证明：由线段垂直平分线的性质可知，AE＝EC， ∵AD⊥BC，BD＝DE， ∴AD是BE的垂直平分线， ∴AB＝AE， ∴AB＝EC； （2）解：∵△ABC的周长＝AB+BC+AC＝40cm， ∴AB+BC＝40﹣16＝24cm， ∵BD＝DE，AB＝EC， ∴AB+BD+DE+EC＝24cm， ∴2DE+2EC＝24cm， ∴DE+EC＝12cm， ∵DE+EC＝DC， ∴DC＝12cm． 4.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，AD⊥BC． （1）求证：BE＝AC． （2）若∠B＝32°，求∠BAC的度数． 【解答】（1）证明：如图所示，连接AE， ∵EF是AB的垂直平分线，∴BE＝AE ∵AD⊥BC，D是CE的中点，∴AD是CE的垂直平分线 ∴AE＝AC，∴BE＝AC； （2）解：∵AB的垂直平分线EF交BC于点E， ∴BF＝AF，EF⊥AB， ∴∠EFB＝∠EFA＝90°， 又∵EF＝EF， ∴△EFB≌△EFA（SAS）， ∴∠EAF＝∠B＝32°， ∴∠AEC＝∠EAF+∠B＝64°， 同理可得∠C＝∠ACE＝64°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝84°． 5.如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E；MN垂直平分AC，分别交AC，BC于点M，N． （1）如图1，若∠B＝32°，∠C＝36°，则∠BAC＝　 　 °，∠EAN＝　 　 °； （2）如图2，若∠BAC＝78°，则∠EAN＝　 　 °； （3）通过以上的探索过程，直接写出∠EAN与∠B，∠C的关系　 　 ． 【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB， ∴EB＝EA， ∴∠EAB＝∠B， 同理，∠CAN＝∠C， ∴∠EAB+∠CAN＝∠B+∠C＝32°+36°＝68°． ∵∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣68°＝112°， ∴∠EAN＝∠BAC﹣（∠EAB+∠CAN）＝112°﹣68°＝44°． 故答案为：112；44； （2）∵DE垂直平分AB， ∴EB＝EA， ∴∠EAB＝∠B， 同理，∠CAN＝∠C， ∴∠EAB+∠CAN＝∠B+∠C＝180°﹣∠BAC． ∴∠EAN＝∠EAB+∠CAN﹣∠BAC＝180°﹣2∠BAC＝180°﹣2×78°＝24°， 故答案为：24； （3）∠EAN＝2（∠B+∠C）﹣180°或∠EAN＝180°﹣2（∠B+∠C），理由如下： 由（1）知当90°＜∠BAC＜180°时， ∠EAN＝∠BAC﹣（∠EAB+∠CAN） ＝180°﹣（∠B+∠C）﹣（∠B+∠C） ＝180°﹣2（∠B+∠C）． 由（2）知0°＜∠BAC＜90°时， ∠EAN＝180°﹣2∠BAC＝180°﹣2（180°﹣∠B﹣∠C）＝2（∠B+∠C）﹣180°， 综上，∠EAN＝2（∠B+∠C）﹣180°或∠EAN＝180°﹣2（∠B+∠C）． 故答案为：∠EAN＝2（∠B+∠C）﹣180°或∠EAN＝180°﹣2（∠B+∠C）． 6.如图，BN，CM分别是△ABC的两条高，点D，E分别是BC，MN的中点． （1）求证：DE⊥MN； （2）若BC＝26，MN＝10，求DE的长． 【解答】（1）证明：如图，连接DM，DN， ∵BN、CM分别是△ABC的两条高， ∴BN⊥AC，CM⊥AB， ∴∠BMC＝∠CNB＝90°， ∵D是BC的中点，∴DMBC，DNBC， ∴DM＝DN， ∵E为MN的中点， ∴DE⊥MN； （2）解：∵BC＝26， ∴DMBC＝13， ∵点E是MN的中点，MN＝10， ∴ME＝5， 由勾股定理得：DE12． 7.如图，△ABC中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，DC＝BF，点E是CF的中点． （1）求证：DE⊥CF； （2）求证：∠B＝2∠BCF． 【解答】证明：（1）连接DF， ∵AD是边BC上的高， ∴∠ADB＝90°， ∵点F是AB的中点，∴DFAB＝BF， ∵DC＝BF， ∴DC＝DF， ∵点E是CF的中点．∴DE⊥CF； （2）∵DC＝DF， ∴∠DFC＝∠DCF， ∴∠FDB＝∠DFC+∠DCF＝2∠DFC， ∵DF＝BF， ∴∠FDB＝∠B， ∴∠B＝2∠BCF． 8.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是对角线AC的中点，连接BE，DE，BD． （1）判断△BDE的形状，并说明理由． （2）若AC＝10，BD＝8，求△DBE的周长． 【解答】解：（1）△BDE是等腰三角形， 理由：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，∴BEAC，DEAC， ∴BE＝DE，∴△BDE是等腰三角形． （2）∵AC＝10，∴AC＝5， 由（1）BE＝DEAC， ∴BE＝DE＝5， ∵BD＝8， ∴BE+DE+BD＝5+5+8＝18， ∴△DBE的周长为18． 9.已知，如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC，BD的中点．求证： ①BM＝DM；②MN⊥BD． 【解答】（1）证明：如图，连接BM、DM， ∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点， ∴BM＝DMAC， ∴BM＝DM； （2）∵点N是BD的中点，BM＝DM， ∴MN⊥BD． 1 学科网（北京）股份有限公司 $