专题1.5 等腰三角形(全章重难点梳理+题型精析+典题专练) 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

专题1.5 等腰三角形 题型梳理 [题型1等腰三角形的定义] [题型5等腰三角形的性质和判定] [题型2等边对等角] [题型6等边三角形的判定和性质] [题型3三线合一] [题型7含30度角的直角三角形] [题型4根据等角对等边证明等腰三角形] [题型8斜边的中线等于斜边的一半] [题型9直角三角形的两个锐角互余] 等腰三角形（核心考点 + 重难点梳理） 一、核心概念（基础必掌握） 1. 等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 2.等腰三角形的性质 性质内容 具体内容 几何语言表示（以 △ABC 中 AB=AC 为例） 性质 1（边的性质） 两腰相等 AB=AC（定义直接体现） 性质 2（角的性质） 两底角相等（“等边对等角”） ∵AB=AC∴∠B=∠C 性质 3（三线合一） 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称 “三线合一”） 1. 若 AD 平分 ∠BAC，则 AD⊥BC 且 BD=DC； 2. 若 AD 是 BC 中线，则 AD⊥BC 且 ∠BAD=∠CAD 3. 若 AD⊥BC，则 AD 平分 ∠BAC 且 BD=DC 性质 4（对称性） 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线（或底边上的中线、底边上的高）所在的直线 沿直线 AD 折叠，△ABD≅△ACD 性质 5（特殊角） 若等腰三角形的顶角为 90∘（等腰直角三角形），则底角为 45∘；若顶角为 60∘，则为等边三角形 1顶角 ∠BAC=90∘则 ∠B=∠C=45∘ 2.顶角 ∠BAC=60∘则 AB=AC=BC 3. 等腰三角形的判定定理 判定方法 具体内容 几何语言表示（以 △ABC 中 AB=AC 为例） 判定 1（定义法） 有两条边相等的三角形是等腰三角形 ∵AB=AC∴△ABC 是等腰三角形 判定 2（角的判定） 有两个角相等的三角形是等腰三角形（“等角对等边”） ∵∠B=∠C∴AB=AC，即 △ABC 是等腰三角形 判定 3（三线合一逆用） 若三角形一条边上的中线与这条边上的高重合，则该三角形是等腰三角形 ∵AD⊥BC 且 BD=DC∴AB=AC，即 △ABC 是等腰三角形 判定 4（特殊角判定） 三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是 60∘ 的等腰三角形是等边三角形 1. ∠A=∠B=∠C=60∘∴AB=AC=BC；2. AB=AC 且 ∠A=60∘∴AB=AC=BC 二、核心考点（高频必考） 1. 等腰三角形的边角计算 考点解析：利用 “等边对等角”“三角形内角和为 180∘” 计算顶角或底角，注意分类讨论（顶角和底角不确定时）。 2. “三线合一” 的应用 考点解析：利用 “三线合一” 证明线段相等、角相等或垂直关系，是几何证明的核心工具。 3. 等腰三角形的判定 考点解析：通过角相等或边相等判定等腰三角形，常结合平行线、角平分线、垂直平分线等知识综合考查。 4. 等腰三角形的作图与实际应用 考点解析：按要求作等腰三角形（如已知腰和底、已知顶角和腰等），或结合生活场景（如折叠、测量）解决实际问题。 5. 等边三角形的性质与判定 考点解析：等边三角形的三边相等、三角均为 60∘，判定方法灵活，是中考常考的特殊图形。 三、重难点突破 1. 易错点警示（高频丢分点） 易错点 1：忽略 “三角形三边关系”，导致多解问题漏解或错解。 易错点 2：未分类讨论 “顶角和底角”“腰和底边”，导致漏解。 易错点 3：“三线合一” 的适用条件混淆（仅适用于等腰三角形，且必须是 “顶角平分线、底边上的中线、底边上的高”，腰上的中线与高不一定重合）。 易错点 4：等边三角形判定时，忽略 “等腰三角形” 前提（有一个角是 60∘ 的三角形不一定是等边三角形，需满足等腰）。 易错点 5：几何证明中，未先证明三角形是等腰三角形，直接使用 “三线合一”。 2. 难点：等腰三角形的综合证明与分类讨论 *综合证明（结合全等、平行线、角平分线） 考点解析：通过全等三角形证明边相等或角相等，进而判定等腰三角形；或利用等腰三角形性质推导其他结论。 *分类讨论（图形不确定时） 考点解析：当等腰三角形的顶点、边、高的位置不确定时，需分情况讨论，避免漏解。 .（练习题） [题型1等腰三角形的定义] 1．已知等腰三角形的两边长分别是5和9，则这个等腰三角形的周长是（   ） A．18 B．19 C．23 D．19或23 2．将一台带有保护套的平板电脑按图1所示的方式放置在水平桌面上，其侧面示意图如图2所示，经测量，得到，．若移动支点C的位置，使是一个等腰三角形，则的周长为（    ） A． B． C．或 D．或 3．用12根大小完全一样的火柴棒顺次相接（无剩余无重叠）能构成（   ）种不同的等腰三角形 A．2 B．3 C．4 D．5 4．如图，是等腰三角形，点是底边上任意一点，、分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为，面积为，则的值为 ． 5．如图，已知中，，，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 条． [题型2等边对等角] 6．一个等腰三角形有一个角是，则另外两个角的度数是 ． 7．已知等腰三角形的顶角为，则底角的度数为 ． 8．已知等腰三角形一个角的度数是，则该等腰三角形底角的度数为 ． 9．若等腰三角形的一个角等于80°，则它的其余两个角的度数为（　　） A．80°，20° B．50°，50° C．80°，20°或50°，50° D．30°，70°或10°，90° 10．如图，，，若，则 ． 11．等腰三角形两腰上的高所在的直线形成的锐角为，则该等腰三角形的顶角的度数为 ． 12．如图，△ABC中，AB＝AD＝DC，∠C＝2∠BAD，则∠BAC的度数是（　　） A．20° B．40° C．60° D．80° 13．如图，是等腰三角形，，，BP平分；点D是射线BP上一点，如果点D满足是等腰三角形，那么的度数是（    ）． A．20°或70° B．20°、70°或100° C．40°或100° D．40°、70°或100° 14．如图，在中，，，D是边上的动点，连接，将沿直线翻折得到，直线与直线交于点E．若是等腰三角形，则的度数为 °． [题型3三线合一] 15．等腰三角形底边长为6，面积是12，则此底边上中线的长是 ． 16．如图，在中，，，，（   ） A． B． C． D． 17．如图，在中，，，是的角平分线，则的长为 ． 18．如图，在中，平分交于点交于点，若，则的长度为 ． 19．图1为某斜拉索桥，该斜拉索桥的拉索和桥面构成等腰三角形．图2为其示意图，在中，，若是边上的一点，则下列条件不能说明的是（   ） A． B． C． D． 20．已知，如图，，分别是的中点． (1)求证：； (2)求证：． [题型4根据等角对等边证明等腰三角形] 21．在三角形中，已知，，那么的形状是 ． 22．把一张长方形纸片如图折叠，则的形状是 ． .23．如图，在四边形中，F是的延长线上一点，连接交于点E，，点G在边上，连接，平分．求证：是等腰三角形． 24．下列条件中，不能判定为等腰三角形的是（    ） A． B． C．， D． [题型5等腰三角形的性质和判定] 25． 将一个等腰三角形的各边都扩大或缩小相同的倍数后，得到的三角形（  ） A．可能是等边三角形 B．不可能是等腰三角形 C．仍然是等腰三角形 D．可能是直角三角形 26．小元学习了《特殊三角形》这一章后，经过复习整理得到以下框图，下列选项分别填入对应的括号内，不适合填入的是（    ） A．有两个角相等 B．两个内角互余 C．有一个角 D．两条直角边相等 27.．如图，已知是的中线．下列条件能使是等腰三角形的是（   ） ①；②；③ A．①②③ B．①和② C．②和③ D．①和③ 28．在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（   ） A． B． C． D．平分 29．如图，在中，，．点在的三边上运动，当为等腰三角形时，其顶角的度数不可能是（   ） A． B． C． D． 30．如图，在格点中找一点，使得是等腰三角形，且以为腰，这样的点一共有 个． 31．如图，已知，点，在边上，，，是射线上的点，若使点，，构成等腰三角形的点恰好有1个，则满足的条件是 ． 32．已知：如图，B、D、E、C在同一直线上，，，求证：． [题型6等边三角形的判定和性质] 33．在中，若，，则的值为（　　） A．10 B．5 C．12 D．6 34．在中，，点是边上一点，且（如图）．将折叠，使点与点重合，折痕分别交边于点，点是线段上一点，连接，那么周长的最小值为 ． 35．如图，在等边中，点D，E分别是边的中点，点F是边上一动点，连接．当取得最小值时，的度数为（   ） A． B． C． D． 36．如图，一个凸六边形的六个内角都是，六条边的长分别为a，b，c，d，e，f，则下列等式中成立的是（ ） A． B． C． D． [题型7含30度角的直角三角形] 37．如图，一棵树与地面垂直，在一次强台风中于离地面处折断倒下，倒下的部分与地面成夹角．这棵树在折断前的高度为（   ） A． B． C． D． 38．如图，在中，，，，下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 39．如图，在中，，，则的面积为 ． 40．如图，，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，设点的运动时间为秒，当是直角三角形时， s． 41．如图，在中，，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒1.5个单位长度，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为秒，当为直角三角形时， 42．如图，于，则 ． [题型8斜边的中线等于斜边的一半] 43．如图，在中，，点D是边的中点，，则的长是（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 44．串场河曾是盐城盐运要道，河畔有两条沿河步道、互相垂直，步道的中点与观景亭被河道隔开．若测得的长为，则、两点间的距离为（   ） A． B． C． D． 45．如图，数学老师利用刻度直尺（单位：）测量三角形教具的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度2和8，点为的中点，若，则可求得的长为，所应用的数学知识是（    ） A．在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．三角形的中位线等于第三边的一半 D．直角三角形两锐角互余 46．如图，△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，AB=10，AC＝6，则四边形AEDF的周长为 ． 47．如图，在中，，于点D，E是斜边的中点，若，则 ． 48．如图，分别是的高，为的中点，，，则的周长是 ． 49．如图，在 中， 为 的中点，以 为斜边作 ， 为 的中点．若，则的长为（  ） A． B． C． D． 50．如图，点D是的边上的中点，，是的高，连接，点H是的中点，试说明． [题型9直角三角形的两个锐角互余] 51．在中，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 52．已知中．，，则（   ） A． B． C． D． 53．在中，，，则的度数为 ． 54．如图，中，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 55．如图，中，，，于点，，的长度是（    ） A． B． C． D．无法确定 56．在直角三角形中，，则 的值是 ‘ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.5 等腰三角形 题型梳理 [题型1等腰三角形的定义] [题型5等腰三角形的性质和判定] [题型2等边对等角] [题型6等边三角形的判定和性质] [题型3三线合一] [题型7含30度角的直角三角形] [题型4根据等角对等边证明等腰三角形] [题型8斜边的中线等于斜边的一半] [题型9直角三角形的两个锐角互余] 等腰三角形（核心考点 + 重难点梳理） 一、核心概念（基础必掌握） 1. 等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 2.等腰三角形的性质 性质内容 具体内容 几何语言表示（以 △ABC 中 AB=AC 为例） 性质 1（边的性质） 两腰相等 AB=AC（定义直接体现） 性质 2（角的性质） 两底角相等（“等边对等角”） ∵AB=AC∴∠B=∠C 性质 3（三线合一） 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称 “三线合一”） 1. 若 AD 平分 ∠BAC，则 AD⊥BC 且 BD=DC； 2. 若 AD 是 BC 中线，则 AD⊥BC 且 ∠BAD=∠CAD 3. 若 AD⊥BC，则 AD 平分 ∠BAC 且 BD=DC 性质 4（对称性） 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线（或底边上的中线、底边上的高）所在的直线 沿直线 AD 折叠，△ABD≅△ACD 性质 5（特殊角） 若等腰三角形的顶角为 90∘（等腰直角三角形），则底角为 45∘；若顶角为 60∘，则为等边三角形 1顶角 ∠BAC=90∘则 ∠B=∠C=45∘ 2.顶角 ∠BAC=60∘则 AB=AC=BC 3. 等腰三角形的判定定理 判定方法 具体内容 几何语言表示（以 △ABC 中 AB=AC 为例） 判定 1（定义法） 有两条边相等的三角形是等腰三角形 ∵AB=AC∴△ABC 是等腰三角形 判定 2（角的判定） 有两个角相等的三角形是等腰三角形（“等角对等边”） ∵∠B=∠C∴AB=AC，即 △ABC 是等腰三角形 判定 3（三线合一逆用） 若三角形一条边上的中线与这条边上的高重合，则该三角形是等腰三角形 ∵AD⊥BC 且 BD=DC∴AB=AC，即 △ABC 是等腰三角形 判定 4（特殊角判定） 三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是 60∘ 的等腰三角形是等边三角形 1. ∠A=∠B=∠C=60∘∴AB=AC=BC；2. AB=AC 且 ∠A=60∘∴AB=AC=BC 二、核心考点（高频必考） 1. 等腰三角形的边角计算 考点解析：利用 “等边对等角”“三角形内角和为 180∘” 计算顶角或底角，注意分类讨论（顶角和底角不确定时）。 2. “三线合一” 的应用 考点解析：利用 “三线合一” 证明线段相等、角相等或垂直关系，是几何证明的核心工具。 3. 等腰三角形的判定 考点解析：通过角相等或边相等判定等腰三角形，常结合平行线、角平分线、垂直平分线等知识综合考查。 4. 等腰三角形的作图与实际应用 考点解析：按要求作等腰三角形（如已知腰和底、已知顶角和腰等），或结合生活场景（如折叠、测量）解决实际问题。 5. 等边三角形的性质与判定 考点解析：等边三角形的三边相等、三角均为 60∘，判定方法灵活，是中考常考的特殊图形。 三、重难点突破 1. 易错点警示（高频丢分点） 易错点 1：忽略 “三角形三边关系”，导致多解问题漏解或错解。 易错点 2：未分类讨论 “顶角和底角”“腰和底边”，导致漏解。 易错点 3：“三线合一” 的适用条件混淆（仅适用于等腰三角形，且必须是 “顶角平分线、底边上的中线、底边上的高”，腰上的中线与高不一定重合）。 易错点 4：等边三角形判定时，忽略 “等腰三角形” 前提（有一个角是 60∘ 的三角形不一定是等边三角形，需满足等腰）。 易错点 5：几何证明中，未先证明三角形是等腰三角形，直接使用 “三线合一”。 2. 难点：等腰三角形的综合证明与分类讨论 *综合证明（结合全等、平行线、角平分线） 考点解析：通过全等三角形证明边相等或角相等，进而判定等腰三角形；或利用等腰三角形性质推导其他结论。 *分类讨论（图形不确定时） 考点解析：当等腰三角形的顶点、边、高的位置不确定时，需分情况讨论，避免漏解。 .（练习题） [题型1等腰三角形的定义] 1．已知等腰三角形的两边长分别是5和9，则这个等腰三角形的周长是（   ） A．18 B．19 C．23 D．19或23 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形三边关系．分两种情况讨论：腰为5或腰为9，验证每种情况是否满足三角形三边关系，然后计算周长即可． 【详解】解：∵ 等腰三角形两边长分别为5和9， ∴ 可能情况为：腰为5、底为9或腰为9、底为5， 当腰为5、底为9时，三边为5，5，9，此时，满足三边关系， ∴ 周长为； 当腰为9、底为5时，三边为9，9，5，此时，满足三边关系， ∴ 周长为； 综上所述，这个等腰三角形的周长为19或23． 故选：D 2．将一台带有保护套的平板电脑按图1所示的方式放置在水平桌面上，其侧面示意图如图2所示，经测量，得到，．若移动支点C的位置，使是一个等腰三角形，则的周长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形定义． 根据等腰三角形的定义分情况进行求解即可． 【详解】解：是一个等腰三角形，， 当时，周长为：， 当时，周长为：， 的周长为或． 故选：D． 3．用12根大小完全一样的火柴棒顺次相接（无剩余无重叠）能构成（   ）种不同的等腰三角形 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的理解等知识，正确理解题意是解题关键．结合等腰三角形的定义摆放火柴，即可获得答案． 【详解】解：如图所示， 即围成的等腰三角形的腰和底的火柴棒根数为4根、4根、4根；5根、5根、2根， 所以，最多能围成2种不同的等腰三角形． 故选：A． 4．如图，是等腰三角形，点是底边上任意一点，、分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为，面积为，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵是等腰三角形，等腰三角形的腰长为， ∴， ∵、分别与两边垂直 ∴， ∵面积为， ∴， ∴， 故答案为5． 5．如图，已知中，，，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 条． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 根据题意画图即可． 【详解】解：作线段的垂直平分线，交于点，连接，则为等腰三角形，，，直线符合题意； 以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，则为等腰三角形，，直线符合题意； 以点为圆心，长为半径画弧，交于点，交于点，连接，，则为等腰三角形，，为等腰三角形，，直线，符合题意． ∴符合题意的直线最多可画条． 故答案为：． [题型2等边对等角] 6．一个等腰三角形有一个角是，则另外两个角的度数是 ． 【答案】、 【分析】本题主要考查了等腰三角形．熟练掌握等腰三角形的性质和三角形内角和定理，是解决问题的关键． 先根据等腰三角形中必有两个角相等和三角形内角和为，得出两个底角不能为，从而求得另两个角的度数． 【详解】解：∵三角形内角和为， ∴不能为底角， ∴剩下两个角为底角，且它们之和为：， ∴， ∴另两个角的度数为：，， 故答案为∶ 、． 7．已知等腰三角形的顶角为，则底角的度数为 ． 【答案】/55度 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质．利用等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理求解． 【详解】解：设每个底角为 ．根据三角形内角和定理，有 ， 解得：， 即底角的度数为． 故答案为：． 8．已知等腰三角形一个角的度数是，则该等腰三角形底角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟知等腰三角形的两底角相等． 根据等腰三角形的性质分类讨论即可求解， 【详解】解：分两种情况： ①当的角为等腰三角形的顶角时， 底角的度数； ②当的角为等腰三角形的底角时，其底角为， 故它的底角度数是或． 故答案为：或． 9．若等腰三角形的一个角等于80°，则它的其余两个角的度数为（　　） A．80°，20° B．50°，50° C．80°，20°或50°，50° D．30°，70°或10°，90° 【答案】C 【分析】分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解． 【详解】解：①80°角是顶角时，底角=（180°-80°）=50°， 所以，其余两个角是50°、50°； ②80°角是底角时，顶角=180°-80°×2=20°， 所以，其余两个角是80°、20°； 综上所述，其余两个角是50°、50°或80°、20°． 故选C． 【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论． 10．如图，，，若，则 ． 【答案】/14度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，由，，则，所以，求出，最后根据直角三角形性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11．等腰三角形两腰上的高所在的直线形成的锐角为，则该等腰三角形的顶角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质等知识，分两种情形画出图形分别求解即可解决问题． 【详解】解：①如图1，当是钝角时， 由题意：， ∴， ②如图2，当是锐角时， 由题意：， ∴， ∴， 综上，该等腰三角形的底角的度数为或， 故答案为：或． 12．如图，△ABC中，AB＝AD＝DC，∠C＝2∠BAD，则∠BAC的度数是（　　） A．20° B．40° C．60° D．80° 【答案】C 【分析】先根据等腰三角形的性质可得，再设，从而可得，然后根据三角形的外角性质可得，最后根据三角形的内角和定理求出的值，由此即可得出答案． 【详解】解：， ， 设，则， ， 在中，，即， 解得， 则， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键． 13．如图，是等腰三角形，，，BP平分；点D是射线BP上一点，如果点D满足是等腰三角形，那么的度数是（    ）． A．20°或70° B．20°、70°或100° C．40°或100° D．40°、70°或100° 【答案】D 【分析】由于中，腰底不确定，故需要分情况讨论，然后根据等腰三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：当时，如图所示， ，， ， 平分， ， ， ， 当时，如图所示， ，， ， 平分， ， ， ． 当时，如图所示， ，， ， 平分， ， ， ， 故的度数是：、或， 故选：D． 【点睛】本题考查等腰三角形，解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质及分类讨论的思想求解，本题属于中等题型． 14．如图，在中，，，D是边上的动点，连接，将沿直线翻折得到，直线与直线交于点E．若是等腰三角形，则的度数为 °． 【答案】15或30或60 【分析】设，由折叠的性质可求，，分三种情况讨论，由等腰三角形的性质列出等式，即可求解． 本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，折叠的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：设， ∵沿直线翻折得到， ∴，，， ∴， 当，则， ∴， ∴， 当，则， ∴， ∴； 如图， 由折叠可知，， 此时，，， ∴， ∵， ∴，解得：， 综上，的度数或或． 故答案为：15或30或60． [题型3三线合一] 15．等腰三角形底边长为6，面积是12，则此底边上中线的长是 ． 【答案】4 【分析】本题考查等腰三角形的性质，掌握知识点是解题的关键． 利用等腰三角形的性质，底边上的中线也是高，结合三角形面积公式求解． 【详解】解：等腰三角形底边上的中线也是高．设高为， 则三角形面积公式为．代入已知数据：， 解得． 因此底边上中线的长为4． 故答案为4． 16．如图，在中，，，，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质即可得解，熟练掌握等腰三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 故选：C． 17．如图，在中，，，是的角平分线，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质（三线合一），运用直接推理思想．解题关键是识别出是等腰三角形，结合角平分线的条件，利用“三线合一”得出是的中线；易错点是对“三线合一”的适用条件理解不清，误判的性质． 首先由，可知是等腰三角形．其次因为是的角平分线，根据等腰三角形“三线合一”，可得也是边上的中线，即．最后已知，所以． 【详解】在中，，所以是等腰三角形． 是的角平分线，由等腰三角形“三线合一”， 也是边上的中线． ． ， ． 故答案为：． 18．如图，在中，平分交于点交于点，若，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积，等腰三角形的性质．根据三线合一可得是边上的中线，根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 19．图1为某斜拉索桥，该斜拉索桥的拉索和桥面构成等腰三角形．图2为其示意图，在中，，若是边上的一点，则下列条件不能说明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，能熟记等腰三角形“三线合一”是解此题的关键． 据等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合解答即可． 【详解】解：A、，，，故选项不符合题意； B、，，故选项不符合题意； C、，，，故选项不符合题意； D、，∴是等腰三角形，∵， ∴该条件不能说明，故选项符合题意． 故选：D． 20．已知，如图，，分别是的中点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】本题考查三角形相关性质证明，涉及直角三角形性质、等腰三角形性质，熟记三角形相关性质是解决问题的关键． （1）连接，如图所示，在和中，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，，等量代换即可得证； （2）由（1）知，，在中，点是的中点，即是底边上的中线，由等腰三角形“三线合一”性质即可得证． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ，是的中点， ，， ； （2）证明：如图所示： 由（1）知，， 在中，点是的中点，即是底边上的中线， 又， 由等腰三角形“三线合一”性质可得，． [题型4根据等角对等边证明等腰三角形] 21．在三角形中，已知，，那么的形状是 ． 【答案】等腰三角形 【分析】因为三角形的内角和是180度，用180分别减去两个角的度数，即可求出第三个角的度数，进而依据三角形的分类方法，即可判断出这个三角形的类别． 【详解】解：∵，且 ∴ ∴ ∴ 所以这个三角形是等腰三角形． 故答案为：等腰三角形． 【点睛】此题主要考查等腰三角形的判定定理、熟练掌握等腰三角形的判定方法是解答本题的关键． 22．把一张长方形纸片如图折叠，则的形状是 ． 【答案】等腰三角形 【分析】该题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定，熟练掌握折叠前后角度不变是解题的关键．根据折叠的性质得到，而，即可得，证得，从而得到的形状． 【详解】解：在长方形纸片中， ∴， 根据折叠可得， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 故答案为：等腰三角形． .23．如图，在四边形中，F是的延长线上一点，连接交于点E，，点G在边上，连接，平分．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定，先证明，结合，可得，从而可得结论． 【详解】证明：平分， ， ， ， ， 是等腰三角形． 24．下列条件中，不能判定为等腰三角形的是（    ） A． B． C．， D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． 根据等腰三角形的判定条件，即至少有两个角相等或两边相等，逐一分析各选项即可． 【详解】解：A．由，总份数为，故，．因，则，为等腰三角形，不符合题意； B．边比例，说明，故为等腰三角形，不符合题意； C．，，则．因，则，为等腰三角形，不符合题意； D．由，结合内角和，得，即，．但无法确定与是否相等，例如，时，不为等腰三角形．符合题意． 故选：D． [题型5等腰三角形的性质和判定] 25． 将一个等腰三角形的各边都扩大或缩小相同的倍数后，得到的三角形（  ） A．可能是等边三角形 B．不可能是等腰三角形 C．仍然是等腰三角形 D．可能是直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质． 根据等腰三角形的定义可设，底边为，扩大或缩小相同倍数k（）后，可知，即得到的三角形仍然是等腰三角形． 【详解】解：等腰三角形有两边相等，即设，底边为， 扩大或缩小相同的倍数k（）后，新三角形边长为、、， ∵， ∴新三角形有两边相等， ∴新三角形仍然是等腰三角形． 故选：C． 26．小元学习了《特殊三角形》这一章后，经过复习整理得到以下框图，下列选项分别填入对应的括号内，不适合填入的是（    ） A．有两个角相等 B．两个内角互余 C．有一个角 D．两条直角边相等 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的分类以及性质，根据等腰三角形，直角三角形，等腰直角三角形的定义一一判断即可． 【详解】解：．有两个角相等，是等腰三角形，适合填入，故该选项不符合题意； ．两个内角互余，则第三个角是直角，有一个角是直角的三角形是直角三角形，适合填入，故该选项不符合题意； ．有一个角，可以是顶角的锐角三角形，也可是底角的等腰直角三角形，故不一定是等腰直角三角形，故该选项符合题意； ．两条直角边相等的直角三角形是等腰直角三角形 ，适合填入，故该选项不符合题意； 故选：C． 27.．如图，已知是的中线．下列条件能使是等腰三角形的是（   ） ①；②；③ A．①②③ B．①和② C．②和③ D．①和③ 【答案】D 【分析】根据“等角对等边”，和线段垂直平分线的性质判断即可．本题主要考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：①∵中，， ∴， ∴是等腰三角形． 故①正确； ②不能使是等腰三角形， 故②错误； ③是的中线，且， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴是等腰三角形， 故③正确； 综上，①③正确． 故选：D． 28．在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】B 【分析】本题考查三线合一，根据三线合一，进行判断即可． 【详解】解：当时， ∵点在上， ∴， ∴， ∴；故选项A不符合题意； ∵， ∴，不能得到；故选项B符合题意； ∵， ∴当或平分时，；故选项C，D均不符合题意； 故选B 29．如图，在中，，．点在的三边上运动，当为等腰三角形时，其顶角的度数不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，作出图形，然后分点P在上与上两种情况讨论求解． 【详解】解：如图所示，点P在上时，，顶点为， ，， ， 如图所示，点P在上时，若，顶点为， 如图所示，点P在上时，若，则顶点为， 如图所示，点P在上时，若，则顶点为， 综上所述，顶点为或或， 故选：B． 30．如图，在格点中找一点，使得是等腰三角形，且以为腰，这样的点一共有 个． 【答案】5 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，解决此题的关键是要分情况讨论；根据两边相等的三角形是等腰三角形画出等腰三角形，因为不确定哪个点是顶点，所以分情况讨论进而得到答案； 【详解】解：如图所示： 共5个点， 故答案为：5． 31．如图，已知，点，在边上，，，是射线上的点，若使点，，构成等腰三角形的点恰好有1个，则满足的条件是 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质．根据等腰三角形的性质分类讨论，分别求解范围即可． 【详解】解：①如图1，当时，即，以M为圆心，以1为半径的圆交于点P，此时， 则点P，M，N构成的等腰三角形的点P恰好只有一个． ②如图2．当时，即，过点M作于点P， ∵， ∴． ∴， 作的垂直平分线交于点，则． 此时，以点P，M，N构成的等腰三角形的点恰好有2个． 则当时，点M到的距离大于1，则，，在上只能找一点P使，即以点P，M，N构成的等腰三角形恰好只有一个． 综上分析可知，当或时，以点P，M，N构成的等腰三角形恰好只有一个． 故答案为：或． 32．已知：如图，B、D、E、C在同一直线上，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段的和差，解题的关键是掌握三线合一． 过点A作于点F，利用等腰三角形的性质三线合一得出相等的线段，然后利用线段的和差即可证明． 【详解】证明：过点A作于点F． 因为， 所以． 同理，因为， 所以． ∴， 即． [题型6等边三角形的判定和性质] 33．在中，若，，则的值为（　　） A．10 B．5 C．12 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质．先判断为等边三角形，然后等边三角形的性质得到． 【详解】解：，， 为等边三角形， ． 故选：A． 34．在中，，点是边上一点，且（如图）．将折叠，使点与点重合，折痕分别交边于点，点是线段上一点，连接，那么周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，折叠的性质，垂直平分线的性质，先证明是等边三角形，根据垂直平分线的性质可得，在上时，取得最小值，进而根据三角形的周长公式计算即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴ ∵是折痕，点与点重合， ∴垂直平分， ∵点是线段上一点， ∴ ∴在上时，取得最小值， 即周长最小值为： 故答案为：． 35．如图，在等边中，点D，E分别是边的中点，点F是边上一动点，连接．当取得最小值时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点H，连接，过点D作于点I，交的延长线于点G，连接，证明点G是点D关于的对称点，当F与H重合时，取得最小值，此时，解答即可． 本题考查了等边三角形的判定和性质，将军饮马河原理的应用，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，取的中点H，连接，过点D作于点I，交的延长线于点G，连接， ∵等边， ∴， 点D，E分别是边的中点，的中点H， ∴， ∴都是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴点G是点D关于的对称点， ∴当F与H重合时，取得最小值，此时， 故选：C． 36．如图，一个凸六边形的六个内角都是，六条边的长分别为a，b，c，d，e，f，则下列等式中成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，构建等边三角形是解题的关键． 设直线、、交于点G、H、P．证、、、都是等边三角形．根据等边三角形的性质即可判定． 【详解】解：如图，设直线、、交于点G、H、P． ∵六边形的六个角都是， ∴六边形的每一个外角的度数都是． ∴、、、都是等边三角形． ∴，，， ∴， ∴，，． 故选：C． [题型7含30度角的直角三角形] 37．如图，一棵树与地面垂直，在一次强台风中于离地面处折断倒下，倒下的部分与地面成夹角．这棵树在折断前的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．根据直角三角形的性质求出，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴这棵树在折断前的高度， 故选：C． 38．如图，在中，，，，下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． 【详解】解：∵在中，， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴   故选：C. 39．如图，在中，，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查含角的直角三角形的性质．过B点作，交的延长线于点D，可得，从而，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：过B点作，交的延长线于点D， ∵，， ∴， ∴， ∴的面积为： ． 故答案为：． 40．如图，，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，设点的运动时间为秒，当是直角三角形时， s． 【答案】或 【分析】此题考查含的直角三角形的性质，关键是根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半解答． 【详解】解：①当时，过点A作，    ∵，， ∴， ∴， ②当时，过点A作时， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：或． 41．如图，在中，，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒1.5个单位长度，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为秒，当为直角三角形时， 【答案】或 【分析】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质，由题意可得为等边三角形，从而可得，再分两种情况：当；当；分别利用直角三角形的性质求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：， 是等边三角形， ． ∵为直角三角形， 或． ①设运动时间为时，， ， ， ， ， 解得； ②设运动时间为时，， ， ， ， ， 解得． 又， ∴经检验，，符合题意． 综上所述，当运动时间为或时，为直角三角形． 故答案为：或． 42．如图，于，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查度角直角三角形的性质，角平分线的判定定理及平行线的判定，等腰三角形的判定，掌握所对直角边是斜边的一半是解题的关键． 过作于，易得，，结合，可得． 【详解】解：过作于， ， ∵，， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ，， ， 平分， ， ， ． 故答案为：4． [题型8斜边的中线等于斜边的一半] 43．如图，在中，，点D是边的中点，，则的长是（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，点D是边的中点， ∴， 故选：B． 44．串场河曾是盐城盐运要道，河畔有两条沿河步道、互相垂直，步道的中点与观景亭被河道隔开．若测得的长为，则、两点间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．直接根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半作答即可． 【详解】解：∵河畔有两条沿河步道、互相垂直，点为步道的中点，的长为， ∴． 故选：C． 45．如图，数学老师利用刻度直尺（单位：）测量三角形教具的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度2和8，点为的中点，若，则可求得的长为，所应用的数学知识是（    ） A．在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．三角形的中位线等于第三边的一半 D．直角三角形两锐角互余 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据题意即可得出答案． 【详解】解：由题意可知：，点D为的中点， ∴． ∴所应用的数学知识是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 故选：B． 46．如图，△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，AB=10，AC＝6，则四边形AEDF的周长为 ． 【答案】16 【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得ED=AE=AB，DF=AF=AC，再由AB=10，AC=6可得答案． 【详解】解：∵AD是高， ∴∠ADB=∠ADC=90°， ∵E、F分别是AB、AC的中点， ∴ED=EB=AE=AB，DF=CF=AF=AC， ∵AB=10，AC=6， ∴AE+ED=10，AF+DF=6， ∴四边形AEDF的周长为10+6=16， 故答案为：16． 【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 47．如图，在中，，于点D，E是斜边的中点，若，则 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 根据题意先求出，，利用直角三角形两锐角互余求得，再根据直角三角形斜边上中线性质得到，求得的度数，进而得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 又∵E是斜边的中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 48．如图，分别是的高，为的中点，，，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以求出，根据三角形的周长公式即可求出的周长． 【详解】解：、分别是的高， 又点为的中点， ， ， ， 又， 的周长是． 故答案为： ． 49．如图，在 中， 为 的中点，以 为斜边作 ， 为 的中点．若，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以求出，根据中点的定义可以求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以求出． 【详解】解：在 ， 为 的中点．， ， 点 为 的中点， ， 在 中， 为 的中点， ． 故选：B． 50．如图，点D是的边上的中点，，是的高，连接，点H是的中点，试说明． 【答案】见解析 【分析】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质，由题意可得，由直角三角形的性质可得，再由等腰三角形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，是的高线， ． 又点D是边上的中点， ，，即． 点H是的中点， ． [题型9直角三角形的两个锐角互余] 51．在中，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查直角三角形的性质．根据直角三角形的两个锐角互余，则可求解． 【详解】解：，， ， 故选：A． 52．已知中．，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形的性质是解题的关键．根据直角三角形的两个锐角互余即可求解． 【详解】解：中．，， ∴， 故选：D． 53．在中，，，则的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了直角三角形的性质．根据直角三角形两个锐角互余得到，结合已知条件，不难求得的度数． 【详解】解：在中，，因此， 又， 将两式相加，得：， 即， 所以， 故答案为：． 54．如图，中，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，先根据直角三角形两锐角互余求出，结合已知可得的度数，然后利用补角的定义求出即可，熟知在直角三角形中，两个锐角互余是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 55．如图，中，，，于点，，的长度是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．根据直角三角形的性质得到，，代值计算即可． 【详解】解：，， ，， ， ， ， ， ， 故选：C． 56．在直角三角形中，，则 的值是 【答案】2或4 【分析】本题考查了直角三角形的两锐角互余，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 根据直角三角形的两锐角互余，分两种情况，列出方程即可分别求得． 【详解】解：根据题意，设，， 当时，，解得， ，， ， ； 当时，， ，解得， ，， ， ， 故m的值是2或4， 故答案为：2或4． 解：①若是锐角三角形， 在中，设，于D， ∴，， ∴顶角； ②若是钝角三角形， 在中，设，于D，，， 则， ∴顶角 所以等腰三角形顶角的度数是或． 故答案为：或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $