2.2基本不等式课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦基本不等式，通过复习上节课重要不等式a²+b²≥2ab，引导学生用√a、√b替换变量自然过渡到基本不等式√ab≤(a+b)/2，构建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于采用作差法严谨推理和几何法直观解释（如圆中直径与弦的关系），明确“一正二定三相等”解题要素，典例涵盖添项、拆项、常数代换及实际应用题（如矩形菜园造价），培养学生数学思维、眼光与语言表达能力，助力学生掌握方法，教师教学更系统高效。

第二章一元二次函数、方程和不等式 2.2基本不等式 复习引入 ，有, 当且仅当a=b时，等号成立 上节课，我们利用完全平方公式得出一类重要不等式： 证明方法： 故有， 当且仅当a=b时，等号成立 如果，用替换上式的a、b可以得到： ,当且仅当a=b时，等号成立 证明方法： 故有， 当且仅当a=b时，等号成立 基本不等式 探究新知 基本不等式：当且仅当a=b时，等号成立 证法1(作差法)： 因为， 平方数非负，即 ，所以: ,当且仅当 ，即 a=b 时取等号。 证法2(几何法)：如图，AB是圆的直径，，点C是AB上一点，AC=a，BC=b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD。利用这个图形得出基本不等式的几何解释。 探究新知 基本不等式：当且仅当a=b时，等号成立 A B C E D 解：连接OD，设圆的半径为r，则 即 当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时，等号成立 基本不等式：当且仅当a=b时，等号成立 探究新知 正数a,b的算数平均数 正数a,b的几何平均数 基本不等式表明：两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数 利用基本不等式解题的“三要素” ①a, b 必须为正数（若为负，需变形或不可用） ②和 a+b或积 ab有一个定值 ③必须验证等号能否成立 一正二定三相等 典例分析 例1 已知, 求 解：因为， 所以， 当且仅当，即x=1时，等号成立， 所以的最小值为2. 一正 二定： 三相等 巩固练习 1.​ 正数 x,y 满足 ，则 xy 的最大值为____。 2.​ 已知的最小值。 ​ 当且仅当，即x=2时，等号成立， 所以的最小值为4. 1 解题技巧：一正二定三相等 缺一不可 典例分析 例2.​ 若，则 的最小值是____。 变式 已知 的最小值为____。 解：，当 时等号成立 ​ 解：当 时等号成立 添项法——凑定值 ​ 解法2：令 当，即 时等号成立 典例分析 变式 已知 的最小值。 拆项法——凑定值 ​ 解：，化简得： 7 的最小值为7 例3 已知 的最小值。 的最小值为7. 例4 a>0,b>0，=1，求 a+b的最小值。 典例分析 变式 已知 且，则的最小值为____________。 常数代换（"1"的妙用） 方法小结 三个前提（缺一不可）： 一正：a, b 必须为正数（若为负，需变形或不可用） 二定：和 a+b 为定值时，积 ab 有最大值；积 ab 为定值时，和有最小值 三相等：必须验证等号能否取到（即是否存在 a=b 使条件成立） ①直接法（套公式）：题目已给出形如的结构，且 x>0 ②配凑法（拆项、添项凑定值） 拆项：把多项式拆成几项，使其中几项的乘积为常数 添项：加减同一个量，构造可套公式的结构 换元：令x+c 等，简化分母 典例分析 实际应用题 例5 (1)用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短?最短篱笆的长度是多少? (2)用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大?最大面积是多少? 解:设矩形菜园的相邻两条边的长分别为x m，y m，篱笆的长度为2(x+y) m. (1)矩形的面积S=xy=100，由 得： 当且仅当x=y=10时等号成立 当这个矩形的边长为10m时，所用篱笆最短.最短篱笆的长度是40m xy定值 问题就转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短 x+y定值 问题就转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大 (2)矩形的周长C=2(x+y)=36，由 得： 当且仅当x=y=9时等号成立. 当这个矩形的边长为9m时，菜园的面积最大,最大面积是多少81m2 巩固练习 3、(1)把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小? (2)把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大? 解：(1)设两个正数分别为 x、y，则 xy = 36（x > 0，y > 0）。 根据基本不等式 得：x + y ≥ 2) = 2 = 12 当且仅当 x = y 时等号成立，结合 xy = 36，解得 x = y = 6。 所以，当这两个正数都取6 时，它们的和最小，最小值为 12。 (2)设两个正数分别为 a、b，则 a + b = 18（a > 0，b > 0）。 根据基本不等式得： 当且仅当 a = b 时等号成立，结合 a + b = 18，解得 a = b = 9。 所以，当这两个正数都取 9 时，它们的积最大，最大值为 81。 例6 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m.如果池底每平方米的造价为150元.池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少? 典例分析 解:设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为x m，y m，水池的总造价为z元 根据题意，有 容积为4800m3 当且仅当x=y=40时，等号成立 所以，将贮水池的池底设计成边长为40m的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元. 巩固练习 4.某公司建造一间地面为矩形、背面靠墙的房屋，地面面积为48m2，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元.如果墙高为3m，且不计房屋背面和地面的费用，那么怎样设计房屋能使总造价最低?最低总造价是多少?(提示：4802=230400) 解：设矩形地面的正面宽为x 米(与墙平行的边)，侧面长为y 米(与墙垂直的边)。 由地面面积为48m2 可得xy=48 房屋总造价S= 代入得 S= x > 0 由基本不等式可得：S= 当且仅当时，即x=8时，等号成立，此时y=6 所以最优设计：正面宽 8 米，侧面长 6 米，最低总造价为63400 元 课堂小结 1、基本不等式：当且仅当a=b时，等号成立 2、利用基本不等式解题的三个前提（缺一不可）： ①一正：a, b 必须为正数（若为负，需变形或不可用） ②二定：和 a+b 为定值时，积 ab 有最大值；积 ab 为定值时，和有最小值 ③三相等：必须验证等号能否取到（即是否存在 a=b 使条件成立） $