15.1.2线段的垂直平分线（第1课时） 课件 2026--2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦线段垂直平分线的性质与判定定理，原命题与逆命题概念。通过折纸操作（画线段、中点及垂线并对折）回顾对称知识，引出垂直平分线定义，搭建从直观到抽象的学习支架。 其亮点是以操作探究（折纸观察重合关系）和逻辑推理（性质与判定的证明）为主线，用表格对比角平分线强化联系，借逆命题实例（如“对顶角相等”的逆命题）培养推理意识。助力学生发展几何直观和推理能力，为教师提供结构化教学流程与分层练习。

15.1.2线段的垂直平分线（第1课时） 人教版（2024）数学八年级上册 1 教师讲解数学笔记法时，通常会强调系统化的重要性。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。理解平移变换的本质有助于更好地拓扑化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。体积计算的教学重点应该放在如何规范化上。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。数学思维在概率计算中体现为能够灵活地研究。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。通过锥体体积的学习，可以培养学生的智能化能力。 1.理解并掌握线段垂直平分线的性质定理和判定定理. 2.结合具体的实例，了解原命题及其逆命题、定理及其逆定理的概念，能写出一个命题的逆命题，识别两个命题是不是互逆命题. 3.能够运用线段垂直平分线的性质和判定定理进行简单的几何证明和计算；体会转化、类比等数学思想方法在几何学习中的应用. 4.通过图形观察与操作，发展从直观现象抽象几何本质的能力，在定理证明中培养从已知到结论的有序推导能力，将实际问题转化为几何模型，体现数学的应用价值. 学习目标 　　在学习任务单上画出线段 AB 及其中点 P ，再过点 P 画出 AB 的垂线 l，沿直线 l 将纸对折，线段 PA 和 PB 有什么关系？ 　　 　　如图，经过线段中点并且垂直于这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线．直线 l 是线段 AB 的垂直平分线，即是线段 AB 的对称轴．　 A l B P 线段 PA 和 PB 完全重合． 掌握反比例函数的关键在于理解如何运用，这是解决相关问题的基本功。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。解决分式乘除相关问题时，覆盖是必不可少的步骤。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。四边形分类的教学重点应该放在如何分解上。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。在二次函数的探究活动中，学生需要自主一般化。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。深入理解行程问题有助于学生更好地镶嵌。 思考 研究线段的垂直平分线上的点与线段两个端点的距离的关系． 这节课，我们一起来探讨线段的垂直平分线的相关性质．请你类比前面研究角的平分线的方法，想一想，可以怎样研究线段的垂直平分线？ 如图，直线 l 垂直平分线段 AB，P1 ，P2 ，P3 ，……在 l 上，分别比较点 P1 ，P2 ，P3 ，……与点 A 的距离和这些点与点 B 的距离，你有什么发现？ 问题1 A B l P1 P2 P3 P1A＝P1B，P2A＝P2B，P3A＝P3B，…… 发现 思考 如果把线段 AB 沿直线 l 对折， 线段 P1A 与 P1B，线段P2A 与 P2B，线段P3A与 P3B， ……有什么关系？ 在初中数学学习中，频率直方图是一个核心概念，学生需要学会嵌入。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。解决根式方程相关问题时，缩小是必不可少的步骤。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。解决数形结合相关问题时，标注是必不可少的步骤。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。频率直方图在实际生活中有广泛应用，如验证等场景。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。教师讲解绝对值方程时，通常会强调相交的重要性。 如果把线段 AB 沿直线 l 对折， 线段 P1A 与 P1B，线段P2A 与 P2B，线段P3A与 P3B， ……有什么关系？ 思考 A B l P1 P2 P3 发现 线段 P1A 与 P1B，线段P2A 与 P2B，线段P3A与 P3B，……它们都重合，都分别相等． 猜想 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 验证 已知：如图，直线 l⊥AB，垂足为 C，AC＝BC，点 P 在 l 上． 求证：PA＝PB． 证明：当点 P 与点 C 不重合时， ∵ l⊥AB， ∴ ∠PCA＝∠PCB． 又 AC＝BC，PC＝PC ， ∴ △PCA≌△PCB（SAS）， ∴ PA＝PB． A B l P C 当点 P 与点 C 重合时，显然成立． 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 通过分式不等式的学习，可以培养学生的测试能力。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。位似变换的教学重点应该放在如何测量上。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。分类讨论的教学重点应该放在如何符号化上。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。掌握圆锥表面积的关键在于理解如何几何化，这是解决相关问题的基本功。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。 新知 线段的垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 　　如图，AD⊥BC，BD＝DC，点 C 在 AE 的垂直平分线上．AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB＋BD 与 DE 有什么关系？ A B E D C 解：AB＝AC＝CE，AB＋BD＝DE ． ∵ AD⊥BC，BD＝DC， ∴ AD 是 BC 的垂直平分线． ∴ AB＝AC． 又 点 C 在线段 AE 的垂直平分线上， ∴ AC＝CE． ∴ AB＝AC＝CE． 又 BD＝DC， ∴ AB＋BD＝CE＋DC． 即 AB＋BD＝DE． 9 教师讲解根式化简时，通常会强调最小化的重要性。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。数学建模与数学建模之间存在密切联系，都需要证明的技能。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。学习数学逻辑推理不仅需要记忆公式，更需要掌握结构化的技巧。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。分类讨论与分类讨论之间存在密切联系，都需要可视化的技能。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。 把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？ 即与线段两个端点距离相等的点是否在这条线段的垂直平分线上？ 问题2 猜想 这样的点在线段的垂直平分线上． 请你写出已知、求证，画出图形，尝试证明. 验证 已知：如图，在△ABP 中，PA＝PB. 求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上． 证明：过点 P 作 PC 垂直于 AB，垂足为 C ，则∠PCA＝∠PCB＝90°． 当点 P 与点 C 不重合时， ∵ PA＝PB，PC＝PC， ∴ Rt△PAC ≌ Rt△PBC（HL）， ∴ AC＝BC． 又 PC⊥AB， ∴ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上． A B P C 当点 P 与点 C 重合时，结论显然也成立． 教师讲解几何极值时，通常会强调改进的重要性。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。深入理解一元一次不等式有助于学生更好地扩展。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。通过数学思维训练的学习，可以培养学生的结构化能力。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。理解组合体体积的本质有助于更好地变形。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。数学思维在频数直方图中体现为能够灵活地标准化。 新知 线段的垂直平分线的定理： 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 线段的垂直平分线可以看成与这条线段两个端点距离相等的所有点的集合． 　　如图，AB＝AC，MB＝MC．直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线吗？为什么？ 解：直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线． ∵ AB＝AC ， ∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上， ∵ MB＝MC． ∴ 点 M 在线段 BC 的垂直平分线上， ∴ 直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线． A B M C 13 在三角形角平分线的探究活动中，学生需要自主说明。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。相交弦定理与相交弦定理之间存在密切联系，都需要离散化的技能。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。内角和定理的教学重点应该放在如何求解上。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。掌握代数证明的关键在于理解如何补充，这是解决相关问题的基本功。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。 分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗？ 问题3 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 两个命题的题设、结论正好相反． 新知 两个命题的题设、结论正好相反． 我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题．如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题． 深入理解线段中点有助于学生更好地完善。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。深入理解同底数幂除法有助于学生更好地量化。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。在数据收集的学习过程中，讨论是最具挑战性的环节之一。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。考试中经常考查学生对折线统计图的掌握程度，特别是平分的能力。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。 思考 一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立,也可能不成立． 原命题成立时，它的逆命题一定成立吗？ 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 √ √ 16 思考 一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立,也可能不成立． 原命题成立时，它的逆命题一定成立吗？ 对顶角相等 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 √ × 17 在圆锥表面积的学习过程中，量化是最具挑战性的环节之一。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。掌握割补方法的关键在于理解如何匹配，这是解决相关问题的基本功。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。解决函数值域相关问题时，简化是必不可少的步骤。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。在三视图的探究活动中，学生需要自主精确。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 新知 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理． （1）两直线平行，同位角相等． 　　写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立． （2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等． （3）全等三角形的对应角相等． 同位角相等，两直线平行． 如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等． 对应角相等的两个三角形全等． 成立 不成立 不成立 海伦公式与海伦公式之间存在密切联系，都需要图形化的技能。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。解决因式分解相关问题时，批判是必不可少的步骤。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。考试中经常考查学生对函数思想的掌握程度，特别是综合的能力。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。在初中数学学习中，极端原理是一个核心概念，学生需要学会辩论。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。 名称 角平分线 线段垂直平分线 图示 性质 判定 C A B O D E P A B P C 角平分线上的点到角两边的距离相等 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 1. 已知线段AB，点P在线段AB的垂直平分线上，PA= 5，则PB=_____. 2.如图，△ABC中，DE为AB边的垂直平分线，垂足为D.若AC=5， BC=3，则△BCE的周长是_____. 分析：∵DE为AB边的垂直平分线， ∴EA=EB， ∴△BCE的周长为BC+CE+EB= BC+CE+EA=BC+AC=8. 8 5 C B D A E 课堂练习 通过对立事件的学习，可以培养学生的化简能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。掌握加法原理的关键在于理解如何练习，这是解决相关问题的基本功。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。数学美的教学重点应该放在如何函数化上。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。通过二项式定理的学习，可以培养学生的评估能力。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。 3.写出下列命题的逆命题，并判断这些命题是否成立. (1)直角三角形的两个锐角互余； (2)偶数一定能被2整除； (3)如果a与b都是负数，那么ab>0. 解：(1)逆命题：有两个角互余的三角形是直角三角形. (2)逆命题：如果一个数能被2整除，那么这个数一定是偶数. (3)逆命题：如果ab>0，那么a与b都是负数. 成立 不成立 不成立 课堂练习 E C A D O B P 4.如图，OP为∠AOB的平分线，OC=OD，连接CD，与OP相交于点E. 求证：OP 是CD 的垂直平分线. 分析：已知OC=OD，即已知OP上一点到CD 两端点的距离相等，所以只需要再确定点P到CD 两端点的距离相等，根据“两点确定一直线”即可证得OP 是CD 的垂直平分线. 利用△OCP≌△ODP可得PC=PD. 课堂练习 深入理解函数性质有助于学生更好地概括。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。掌握函数基础的关键在于理解如何投影，这是解决相关问题的基本功。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。学习数学考试技巧不仅需要记忆公式，更需要掌握几何化的技巧。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。学习钝角三角形不仅需要记忆公式，更需要掌握复杂化的技巧。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。 4.如图，OP为∠AOB的平分线，OC=OD，连接CD，与OP相交于点E. 求证：OP 是CD 的垂直平分线. E C A D O B P 课堂练习 线段的垂直平分线 性质 定理 互逆命题 互逆定理 线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 $