15.1.2 线段的垂直平分线 第1课时 (课件) 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦线段垂直平分线的性质、判定及互逆命题与互逆定理，通过“线段是否轴对称图形、画对称轴、对称轴与线段关系”的问题导入，衔接轴对称知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是采用探究式教学，通过画图测量猜想性质，逻辑推理证明判定，对比角平分线构建知识网络，培养推理能力与应用意识。小结结构化梳理要点，学生能深化理解，教师可提升教学效率。

人教版八年级上册 15.1 图形的轴对称 第十五章 轴对称 15.1.2 线段的垂直平分线 第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定 回顾导入 1.线段是轴对称图形吗？ 2.请画一条线段 AB，你能找到线段的对称轴吗？ 3.线段的对称轴和它有怎样的关系？ A B 探究新知 如图，直线 l 垂直平分线段 AB，点 P1，P2，P3，…在 l 上，分别比较点 P1，P2，P3，… 与点 A 的距离和这些点与点 B 的距离，你有什么发现？ 知识点1 线段的垂直平分线的性质 探 究 A B l P1 P2 P3 P1A = P1B，P2A = P2B，P3A = P3B······ 如果把线段 AB 沿直线 l 对折，线段 P1A 与 P1B，P2A 与 P2B，P3A 与 P3B··· 都重合吗？它们都分别相等吗？ A B l P1 P2 P3 都重合，都分别相等. 知识点1 线段的垂直平分线的性质 P1A = P1B，P2A = P2B，P3A = P3B······ 猜想：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 已知： 一个点在一条线段的垂直平分线上. 求证： 验证 这个点到这条线段两个端点的距离相等. A B l P1 P2 P3 知识点1 线段的垂直平分线的性质 如图，直线 l ⊥ AB，垂足为 C，AC = BC，点 P 在 l 上. 求证：PA = PB. A B l P C 证明：当点 P 与点 C 不重合时， ∵l⊥AB，∴∠PCA =∠PCB . 又 AC = BC，PC = PC， ∴△PCA ≌△PCB (SAS). ∴ PA = PB. 当点 P 与点 C 重合时，显然成立 知识点1 线段的垂直平分线的性质 几何语言： ∵直线 l⊥AB，垂足为 C，AC = BC，点 P 在 l 上， ∴PA = PB. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 线段的垂直平分线的性质 A B l P C 知识点1 线段的垂直平分线的性质 1.如图，在△ABC中，线段BC的垂直平分线分别交 BC，AB于点D，E，BE＝5，则CE的长是(　C　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 C 对应练习 2.如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边 AB的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，则△BDC的周 长是(　C　) C A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 对应练习 知识点2 线段垂直平分线的判定 思 考 把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如果 PA = PB，那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？ 已知：如图，在△ABP 中 PA = PB. 求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上. 猜想：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 A B P 证明：过点 P 作线段 AB 的垂线 PC，垂足为 C．则∠PCA =∠PCB = 90°． 在 Rt△PCA 和 Rt△PCB 中， ∵PA = PB，PC = PC， ∴Rt△PCA≌Rt△PCB (HL)． ∴AC = BC． 又 PC⊥AB， ∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上． A B P C 知识点2 线段垂直平分线的判定 A B P C 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 线段的垂直平分线可以看成与这条线段两个端点距离相等的所有点的集合. 几何语言： ∵ PA = PB， ∴点 P 在 AB 的垂直平分线上. 知识点2 线段垂直平分线的判定 1.如图，在△ABC中，点D在BC上，且AD＝CD，则 点D在(　A　) A. AC的垂直平分线上 B. ∠BAC的平分线上 C. BC的中线上 D. AB的垂直平分线上 A 对应练习 2.如图，直线PO与AB交于点O，PA＝PB，则下列结 论正确的是(　D　) A. AO＝BO B. PO⊥AB C. PO是AB的垂直平分线 D. 点P在AB的垂直平分线上 D 对应练习 名称 角平分线 线段垂直平分线 图示 性质 判定 角的平分线与线段的垂直平分线 C A B O D E P A B P C 角平分线上的点到角两边的距离相等 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 知识点3 互逆命题与互逆定理 思 考 分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗？ 两个命题的题设、结论正好相反. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题. 如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题. 线段的垂直平分线的性质与判定 “对顶角相等”与“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角” 一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立. 两个命题的题设、结论正好相反. 知识点3 互逆命题与互逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理. 线段的垂直平分线的性质与判定 角的平分线的性质与判定 “两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行” ······ 知识点3 互逆命题与互逆定理 1.写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立. (1)两直线平行，同位角相等； 解：(1)同位角相等，两直线平行，成立. (2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等. 解：(2)如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等，不 成立. 解：(1)同位角相等，两直线平行，成立. 解：(2)如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等，不 成立. 对应练习 2.下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为 互逆定理的是(　C　) A. 同旁内角不互补，两直线平行 B. 同旁内角不互补，两直线不平行 C. 两直线平行，同旁内角互补 D. 两直线不平行，同旁内角不互补 C 对应练习 线段的垂直平分线 性质 互逆命题、互逆定理 判定 课堂小结 1.如图，已知直线l垂直平分线段AB，P是直线l上一点，连接PA，PB.若PA＝2，则PB的长( ) A.等于2 B.小于2 C.大于2 D.不能确定 A 课堂练习 2.如图，∠ACB＝70°，CD是OA的垂直平分线，则∠ACD的度数为　 　.  　55°　 3.如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF＝12 cm，AC＝15 cm，则CF＝　 　cm.  　3　 4.［教材P70习题15.1第4题改编］如图，在△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E.若AC＝9 cm，△ABE的周长为16 cm，求AB的长. 解：AB的长为7 cm. 5.如图，AB平分∠CBD和∠CAD，则线段　 　垂直平分线段　 　.  　CD　 　AB　 6.如图，在△ABC中，AD是高，AB＋BD＝DC，在线段DC上取一点E，使DE＝BD.求证：点E在线段AC的垂直平分线上. 证明：∵AD是高，∴AD⊥BC. 又∵BD＝DE， ∴AD所在直线是线段BE的垂直平分线， ∴AB＝AE，∴AB＋BD＝AE＋DE. 又∵AB＋BD＝DC，∴DC＝AE＋DE， ∴DE＋EC＝AE＋DE，∴EC＝AE， ∴点E在线段AC的垂直平分线上. 7.下列各命题的逆命题是真命题的是( ) A.全等三角形的对应角相等 B.如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 C.两直线平行，内错角相等 D.如果两个角都是45°，那么这两个角相等 C 8.下列说法错误的是( ) A.任何命题都有逆命题 B.任何定理都有逆定理 C.真命题的逆命题不一定是真命题 D.定理的逆定理一定是真命题 B 9.定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是 　 　. 　有两个角互余的三角形是直角三角形　 A.PB＞PC B.PB＝PC C.PB＜PC D.PB＝2PC 10.如图所示，线段AB，AC的垂直平分线相交于点P，则PB与PC之间的关系为( ) B 11.如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，AD⊥BC，D为CE的中点.若∠B＝35°，则∠BAC＝　 　. 　75°　 12.如图，在△ABC中，分别作AB，AC的垂直平分线，交BC于点D，E，垂足为点F，G. (1)若∠BAC＝110°，则∠DAE＝　 　°；  (2)若∠DAE＝50°，则∠BAC＝　 　°.  　115　 　40　 13.［分类讨论思想］已知C，D两点在线段AB的垂直平分线上，且∠ACB＝50°，∠ADB＝86°，则∠CAD的度数是　 　.  　18°或112°　 14.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE＝CF. (1)求证：AD平分∠BAC； 证明：(1)∵D是BC的中点，∴BD＝CD， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴DE＝DF， ∴点D在∠BAC的平分线上， ∴AD平分∠BAC. (2)连接EF，求证：AD垂直平分EF. (2)由(1)知DE＝DF， ∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，∴AE＝AF. 又∵DE＝DF，∴AD垂直平分EF. 15.［教材P71习题15.1第13题改编］如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，边AC的垂直平分线分别交AC，BC于点M，N，连接AE，AN. (1)若BC＝10，求△AEN的周长. 解：(1)△AEN的周长为10. (2)设直线DE，MN交于点O，连接OB，OC. ①试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由； ②若∠BAC＝100°，求∠BOC的度数. (2)①点O在BC的垂直平分线上. 理由：连接OA. ∵DE，MN分别是AB，AC的垂直平分线， ∴OA＝OB，OA＝OC， ∴OB＝OC，∴点O在BC的垂直平分线上. ②连接OA. ∵DE，MN分别是AB，AC的垂直平分线， ∴∠ODA＝∠OMA＝90°，∠BOD＝∠AOD，∠COM＝∠AOM， ∴∠BOC＝2(∠AOD＋∠AOM)＝2(90°－∠OAD)＋2(90°－∠OAM)＝360°－2(∠OAD＋∠OAM)＝360°－2∠BAC＝160°. $