辽宁省营口市部分普通高中2026-2027学年高二上学期入学学情检测数学试题

参考答案及解析 高二数学 一、单选题 1．D 2．C 3．A 4．A 5．C 6．B 7．B 8．C 二、多选题 9．BD 10．BC 11．AD 三、填空题 12． 13． 14． 四、解答题 15．解：（1）由辅助角公式可得， （3分） 而，由可得． （5分） （2）此时可得， （7分） 记其最小正周期为，结合图象可得， （10分） 即，整理可得， （12分） 故的取值范围为． （13分） 16．解：（1）设基向量，，，则，， （2分） 因为， （3分） 所以， （4分） 因为、、三点共线，设， 则， （6分） 所以，，，得． （7分） （2）因为，且，， 设，，， 所以， （11分） 得， 即， （13分） 故，即，所以长度的取值范围为． （15分） 17．解：（1）因为方程存在两个不等虚数根，所以判别式，即． 由求根公式得方程的两个虚数根为与． （4分） 因此点，的纵坐标分别为与，或分别为与， 所以，的纵坐标互为相反数． （7分） （2）若点，均在单位圆上，则对应复数的模均为1，即． （9分） 由（1）可知，任一虚数根的模的平方为． （12分） 所以，又，故． （14分） 当时，，方程确有两个不等虚数根，所以实数的值为1． （15分） 18．解：（1）由余弦定理得， 所以． （4分） （2）设旋转角为，令．旋转保持线段长度不变，所以，． 由于点在射线上，点在射线上，旋转时射线与同时转过同一个角， 所以． （7分） 由余弦定理得，． 因此， 所以旋转过程中，为定值12． （10分） （3）由（2）得， 所以，从而． 因为， 所以． （12分） 对任意旋转位置，线段的长度不小于，不大于； 线段的长度不小于，不大于． 所以不小于4，且不大于12． （14分） 当旋转角为时，点在线段上，点在线段上，此时，，所以． 当旋转角为时，点在点，之间，且点在点，之间， 此时，， 所以． 因此的最小值为4，最大值为12． （16分） 故的最大值为，最小值为． （17分） 19．解：（1）设平面为，平面为， 因为，，均在平面内，且，，分别在平面内， 所以，，均为平面与平面的公共点． （2分） 又，，所以与是两个不同平面，两个不同平面有公共点时，公共点在它们的交线上，记该交线为，故，，均在直线上． （5分） （2）设，，，作，垂足为． 由平面及平面平面，得平面，平面， 所以侧面平面，且交线为． 因为在平面内，且， 所以平面， 即为点到平面的距离． （7分） 四边形是侧面内以，为两底的直角梯形，且，， 故其面积． 设三棱柱体积为，四棱锥体积为， 则，． （9分） 由题意， 所以． 因为，，，所以， 即． （11分） （3）不能为二面角的平面角． （12分） 由（1）知，，在直线上，且，为上两个不同点，故即直线． 在侧面中，，，且，，三点共线， 所以，故， 因为点不与，重合， 所以，从而， 即点在线段的内部． 同理，点在线段的内部． （13分） 若点在线段的内部，则直线与的边界在点，，处有三个不同公共点，这与一条不与三角形任一边重合的直线至多与三角形边界有两个公共点矛盾，所以点不在线段的内部． 因为是以为斜边的直角三角形，所以， 又，，直线，直线，所以，故是以为斜边的直角三角形，直角顶点到斜边的垂足在线段的内部． 由于点不在线段的内部， 所以点不是点到直线的垂足，即不垂直于． （15分） 若是二面角的平面角，则必须有且，但即直线，而不垂直于 ，矛盾． 因此不能为二面角的平面角． （17分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二秋季入学学情检测 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟． ☆注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置．考试结束后，将答题卡交回． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1．点关于平面对称的点的坐标为 A． B． C． D． 2．设平面向量，，则 A．0 B．2 C．4 D．8 3．已知复数为纯虚数，则下列选项中，一定为虚数的是 A． B． C． D． 4．已知平面，平面与平面，分别相交于直线，．在平面内，直线与，分别相交，且与所成的角为，则与所成的角为 A． B． C． D． 5．在空间直角坐标系中，平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为 A． B． C． D． 6．舞台上有一个可折叠双三角反光板，由两块三角形板与沿公共边铰接而成．已知两块板所在平面互相垂直，且，．设为的中点，则下列直线中，一定垂直于平面的是 A． B． C． D． 7．矩形中，，其内部一点满足，若的长为整数，则 A． B． C． D． 8．记的内角，，所对的边分别为，，．若满足，，的恰有两个且互不全等，则这两个三角形的周长之和的取值范围为 A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知空间中的一个四棱柱，则该几何体为平行六面体的充分不必要条件可以是 A．四个侧面均为矩形 B．所有的面均为矩形 C．底面为平行四边形 D．所有的面均为菱形 10．已知空间非零向量，，，则 A．，可以相互垂直 B．，为平面的共面向量 C．是平面的一个法向量 D．，不能作为其确定平面内的一组基底 11．已知函数，则 A．曲线关于点中心对称 B．在上单调递增 C．的最小正周期为 D．的值域为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若一个球在数值上体积等于其表面积的2倍，则该球的表面积为________． 13．在中，内角，，所对的边分别为，，，且，则的外接圆直径为________． 14．一位眼高（眼高为眼睛到地面的距离）为的同学希望测量水平地面上某圆台巨型建筑的高度，记该圆台的上底面边缘离他最近的点为．该同学眼睛在点处时，测得的长度为；随后他在地面上直线后退，此时眼睛到达点处，测得的长度为．若直线与点在同一铅垂面内，则该圆台的高度为________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 已知函数，． （1）求； （2）若函数在区间上有且仅有3个零点，求的取值范围． 16．（本小题满分15分） 如图，平行六面体中，，，、分别为棱、的中点，为线段上一点（包含端点），且满足． （1）若、、三点共线，求； （2）若，求长度的取值范围． 17．（本小题满分15分） 已知方程（）存在两个不等虚根，，其在复平面中对应的点分别为，． （1）证明：，的纵坐标互为相反数； （2）若点，均在单位圆上，求实数的值． 18．（本小题满分17分） 在中，，，．点，分别在线段与上，且， ．将绕点旋转得到，其中点，旋转后分别为点，． （1）求的长； （2）证明：旋转过程中，为定值； （3）求旋转过程中，的最大值与最小值． 19．（本小题满分17分） 在三棱柱中，点，分别为线段，上不与端点重合的点，且与平面不平行．设直线，，分别与平面交于，，三点． （1）证明：，，均在一条直线上； （2）若平面，且三棱柱的体积为四棱锥的体积的2倍，求的值； （3）若是以为斜边的直角三角形，判断1是否能为二面角的平面角，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $