精品解析：辽宁省朝阳市凌源市普通高中2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

2025~2026学年度上学期高二年级期末考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教B版必修第一册~第四册，选择性必修第一册，选择性必修第二册第三章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的焦点到其准线的距离为（ ） A. B. C. 3 D. 6 3. 在复平面内，为原点，向量，对应的复数分别为，，那么向量对应的复数的虚部为（ ） A. －1 B. 1 C. i D. －i 4. 若直线与直线平行，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 或 5. 已知椭圆与圆，圆都相切，则椭圆的焦距为（ ） A. B. 2 C. D. 4 6. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 美加墨足球世界杯将于2026年6月至7月在美国、加拿大、墨西哥的16座城市举行，将是首次有48支球队参赛的世界杯.现在要从A，B，C，D，E五名志愿者中选派四人分别从事宣传、后勤、礼仪、服务四项不同工作，若A，B只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 60种 D. 120种 8. 如图，在平行六面体中，，，，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下的值，能使的展开式恰有2项二项式系数最大的是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 10. 在一次比赛中，10位评委分别给某运动员打分，整理之后的得分数据满足，按照规则，要去掉一个最低分和一个最高分，然后再取平均分为该运动员的最终得分，则处理后的数据与原数据相比（ ） A. 极差变小 B. 中位数不变 C. 平均数变高 D. 第75百分位数变小 11. 已知双曲线的离心率为2，左､右焦点分别为是上的动点，且，若直线与的右支交于两点，的中点为，则下列说法正确的是（ ） A. 的方程为 B. 若的斜率分别为，则 C. 若为坐标原点，且的斜率分别为，则 D. 若经过，则的内心与三点共线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的最小正周期为_____. 13. 若将5名男生和3名女生排成一排，则3名女生相邻的不同排法种数为_________. 14. 已知圆，点，点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知二项式且为常数的展开式中第7项是常数. （1）求的值； （2）若该二项式展开式中各项系数之和为，求展开式中的系数. 16. 已知圆过，两点，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆相交于点，，求的最小值及此时的值． 17. 在中，内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若，，点是边上的一点，且，求和的面积. 18. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，且，为的中点，. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值； （3）若，平面与分别交于点，求线段的长度. 19. 已知动点到直线的距离比到点的距离大1，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）过原点的一条直线与圆相切，交曲线于另一点，且，求圆的方程； （3）已知直线与曲线交于，两点，若，求面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度上学期高二年级期末考试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教B版必修第一册~第四册，选择性必修第一册，选择性必修第二册第三章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合，利用补集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，，故. 故选：B. 2. 抛物线的焦点到其准线的距离为（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线标准方程，写出准线和焦点，进而求出结果. 【详解】可知抛物线，则焦点为，准线为， 则焦点到其准线的距离为. 故选：C. 3. 在复平面内，为原点，向量，对应的复数分别为，，那么向量对应的复数的虚部为（ ） A. －1 B. 1 C. i D. －i 【答案】B 【解析】 【分析】先表示出向量，，求出，然后可得答案. 【详解】由题知，，可得， 所以向量对应的复数为，其虚部为1． 故选：B． 4. 若直线与直线平行，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线平行的条件列出方程以及不等式求解，即得答案. 【详解】由题意得，且， 整理得，且，解得或，且， 所以或. 故选：D. 5. 已知椭圆与圆，圆都相切，则椭圆的焦距为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，可得圆内切于椭圆，且椭圆内切于圆，再求出即可. 【详解】依题意，圆内切于椭圆，且椭圆内切于圆， 由对称性得，则，， 则椭圆的焦距. 故选：C 6. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数单调性和一次函数单调性得在单调递增，然后利用二次函数单调性列不等式组求解即可. 【详解】当时，， 因为和都在上单调递增，所以在单调递增， 要使函数在上单调递增， 则，即，解得， 所以的取值范围是. 故选：B 7. 美加墨足球世界杯将于2026年6月至7月在美国、加拿大、墨西哥的16座城市举行，将是首次有48支球队参赛的世界杯.现在要从A，B，C，D，E五名志愿者中选派四人分别从事宣传、后勤、礼仪、服务四项不同工作，若A，B只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 60种 D. 120种 【答案】B 【解析】 【分析】根据两人被选中的情况进行分类讨论，再结合排列组合的知识求解即可. 【详解】根据题意可分为两种情况：两人都被选中和两人中只有一人被选中. ①当两人都被选中时，不同的选派方案有种； ②当两人中只有一人被选中时，不同的选派方案有种. 所以不同的选派方案有种. 故选：. 8. 如图，在平行六面体中，，，，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以、、为基底向量，计算基底间的数量积，进而表示出与，通过向量的数量积与模长公式，结合异面 直线所成角的余弦公式（向量夹角余弦的绝对值）求解. 【详解】记，，， 则，，， 又，， 所以， ， ， 记与所成的角为，则． 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下的值，能使的展开式恰有2项二项式系数最大的是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】AC 【解析】 【分析】根据二项式系数的性质即可求解. 【详解】因的展开式有项，当为奇数时，展开式有偶数项，中间两项二项式系数最大；当为偶数时，展开式有奇数项，中间一项二项式系数最大. 故选：AC. 10. 在一次比赛中，10位评委分别给某运动员打分，整理之后的得分数据满足，按照规则，要去掉一个最低分和一个最高分，然后再取平均分为该运动员的最终得分，则处理后的数据与原数据相比（ ） A. 极差变小 B. 中位数不变 C. 平均数变高 D. 第75百分位数变小 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题给条件列出原数据和处理后数据从小到大的排序，利用极差、中位数、平均数、第75百分位数的定义对各选项进行逐一判断. 【详解】已知比赛数据满足， 则原数据从小到大排序为：，处理后数据从小到大排序为：. 原数据极差：，处理后数据极差：，因为， 所以，A正确. 原数据共10个，中位数为第5个和第6个的平均值，即， 处理后数据共8个，中位数为第4个和第5个的平均值，即， 所以中位数不变，B正确. 原数据平均数：，处理后数据平均数：， 平均数变化情况取决于与之间的关系，故不能确定变化情况，C错误. 原数据共10个，第75百分位数是第8个，即， 处理后数据共8个，第75百分位数是第6个数据与第7个数据的平均数，即， 因为，所以，第75百分位数变小，D正确. 故选：ABD. 11. 已知双曲线的离心率为2，左､右焦点分别为是上的动点，且，若直线与的右支交于两点，的中点为，则下列说法正确的是（ ） A. 的方程为 B. 若的斜率分别为，则 C. 若为坐标原点，且的斜率分别为，则 D. 若经过，则的内心与三点共线 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据双曲线的定义和离心率求出双曲线的标准方程即可判断A；根据两点表示斜率公式计算即可判断B；利用点差法，结合两点表示斜率公式计算即可判断C；如图，根据双曲线的定义和切线的性质可得，则切点与点重合，即内心的横坐标为2，同理可得内心的横坐标也为2，即可判断D. 【详解】对于A，由题意知的离心率为， 所以，所以的方程为，故A正确； 对于B，，设点，则，即， 所以不是定值，故B错误； 对于C，设，则， 因为在上，所以， 两式相减，得，即， 所以，故C正确； 对于D，如图，设和的内心分别为，设的内切圆的切点为， 由双曲线的定义得，又， 所以，又， 所以，又， 所以切点与点重合，内心的横坐标为2， 同理可得内心的横坐标也为2，所以三点共线，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的最小正周期为_____. 【答案】4 【解析】 【分析】利用三角函数周期公式求解. 【详解】由题，函数的最小正周期. 故答案为：4. 13. 若将5名男生和3名女生排成一排，则3名女生相邻的不同排法种数为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用捆绑法，结合排列数公式，即可求解. 【详解】将3名女生看成一个整体有种排法，再和其他5名男生排成一排有种排法，所以一共有种方法. 故答案为： 14. 已知圆，点，点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】首先作图，再根据切线长公式，转化，再作点关于直线的对称点，最后转化为，最后根据三点共线求最小值. 【详解】圆，圆心，半径 设，，点关于直线的对称点为， 则，， 可得，当且仅当三点共线时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知二项式且为常数的展开式中第7项是常数. （1）求的值； （2）若该二项式展开式中各项系数之和为，求展开式中的系数. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用题给条件列出关于的方程，解之即可求得的值； （2）先利用题给条件求得a的值，进而即可求得展开式中的系数. 【小问1详解】 二项式的展开式中第7项为 ， 由题意得，解得. 【小问2详解】 令，得，所以或， 解得，或（舍去）. 该二项式展开式通项为 ， 令，解得， 故展开式中的系数为. 16. 已知圆过，两点，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆相交于点，，求的最小值及此时的值． 【答案】（1） （2）的最小值为， 【解析】 【分析】（1）由圆的性质可得，圆心在的垂直平分线上，联立和可得圆心的坐标，进而求 出，可得圆的方程； （2）由（1）知圆心，半径为2，易得直线过定点，分析可得要使最小，直线必与垂直，进而求 解即可. 【小问1详解】 由题意，得直线的斜率为，且的中点为， 所以的垂直平分线所在的直线斜率为1， 故的垂直平分线所在的直线方程为． 由，得，故圆心的坐标为， 又， 所以圆的标准方程为． 【小问2详解】 由（1）知圆心，半径为2， 因为直线的方程为，即， 令，解得，故直线过定点． 又，故点在圆内， 要使最小，直线必与垂直，而直线的斜率等于， 所以直线的斜率为，则，即， 此时的最小值为． 17. 在中，内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若，，点是边上的一点，且，求和的面积. 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理将题设的条件中边的关系转化为角的关系，再结合三角形的内角和定理、诱导公式与正弦的和角公式化简即可求得； （2）由（1）可知，；方法1：在中，由正弦定理可得有关角的三角函数值，结合角与角的关系可得到有关角的三角函数值，然后由余弦定理可得的值；在中，利用可求得的值；在中，由正弦定理可得的值；最后利用三角形的面积公式即可求得结果.方法2：在中，由余弦定理可得，由正弦定理可得；在中，结合为钝角，得到角为锐角，进而得到，由三角形内角和定理可得，于是得到的值，由正弦定理求得；最后利用三角形的面积公式即可求得结果. 【小问1详解】 依题意，由正弦定理得，其中为的外接圆半径；所以； 又在中，，所以，所以； 又，所以，即； 所以，化简得；又，所以，即，又，所以. 【小问2详解】 方法1：由（1）知，，又，所以，即，； 在中，由正弦定理得，所以； 又，，所以，即，即，化简得，即； 又因为，所以，所以，所以，同理； 由余弦定理得，所以； 在中，由，得； 所以； 在中，，所以； 由正弦定理得，即，解得； 所以的面积为. 方法2：由（1）知，，又，所以，即，； 在中，由余弦定理得，所以； 由正弦定理得，即，解得； 在中，由，得，为钝角，所以角为锐角，所以； 又，所以； 由正弦定理得，即，解得； 所以的面积为. 18. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，且，为的中点，. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值； （3）若，平面与分别交于点，求线段的长度. 【答案】（1） 证明：因为为的中点，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证线面垂直平面，进而可证得面面垂直； （2）求出平面与平面的法向量，再利用向量夹角公式，再利用同角三角函数的基本关系，即可得解； （3）先根据向量共线关系，求出的坐标，再求出平面的法向量，再设出，表示出的坐标，继而写出，再利用与均垂直，求出，即可确定的坐标，最后应用两点间距离公式即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，在平面内，作，交于点，则两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意，得， 所以， 设是平面的法向量，则， 令，则，所以是平面的一个法向量； 设是平面的法向量，则 令，则，所以是平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的正弦值为. 【小问3详解】 由（2）得，由，得， 又因为，所以， 由，得，又因为，所以， 因此， 设是平面的法向量，则， 令，则，所以是平面的一个法向量， 由平面与交于点，设，因为，则， 因为是平面的法向量，所以，即，解得，所以. 由平面与交于点，设，因为，则， 因为是平面的法向量，所以， 即，解得，所以. 所以. 19. 已知动点到直线的距离比到点的距离大1，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）过原点的一条直线与圆相切，交曲线于另一点，且，求圆的方程； （3）已知直线与曲线交于，两点，若，求面积的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得动点到直线的距离与到点的距离相等，根据抛物线的定义计算可得； （2）设，由求出点坐标，即可求出的方程，再求出圆心到直线的距离，即可求出半径，从而得解； （3）联立方程组结合韦达定理计算求参数范围，再应用面积公式求最值即可. 【小问1详解】 因为动点到直线的距离比到点的距离大1， 所以动点到直线的距离与到点的距离相等， 根据抛物线的定义可知，点在以为焦点，为准线的抛物线上， 即动点的轨迹为； 【小问2详解】 设，由，解得， 由对称性，不妨取，则， 直线方程为，即，由圆的圆心到的距离为， 所以， 故圆的方程为. 【小问3详解】 因为，显然直线的斜率不可能为零， 设直线：，， 由，可得， 由， 所以， 因为，所以， 即， 亦即， 将代入得，，， 所以，且，解得或． 设点到直线的距离为，所以， 所以 ， 所以的面积， 而或， 所以当时，的面积. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $