2026-2027学年冀教版数学九年级上册 第二十四章 一元二次方程 单元测试 (一 ）

**基本信息** 冀教版九年级上册第二十四章一元二次方程单元测试，全面覆盖方程定义、解法、根与系数关系及实际应用，通过销售利润、增长率等真实情境题，培养数学应用意识与建模能力，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|方程定义、配方法、增长率模型|结合“黄金周”种植、电车销售等情境，考查数学眼光观察现实| |填空题|4/12|判别式、韦达定理、参数取值|通过表格数据题，培养数据意识与符号运算能力| |解答题|8/72|解方程、利润最值、几何综合|20-21题以棉帽销售为背景，22题结合直角三角形，体现数学思维推理与跨学科应用|

冀教版九年级上册 第二十四章 一元二次方程 单元测试 (一) 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知关于x的一元二次方程x2-6=2x，则一次项系数为（　　） A．-2 B．-6 C．2 D．1 2．为了迎接十一“黄金周”，某月季大观园准备分三个阶段扩大月季新品种种植面积，第一阶段已实现新品种1000m2的种植目标，第三阶段需实现1440m2的种植目标，设第二、第三阶段月季新品种种植面积的平均增长率为x，则下列方程正确的是 (　　) A．1000(1+x)×2=1440 B． C． D． 3． 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（　　） A． B． C． D． 4．若关于x的一元二次方程 有实数根，则a的值可以是 (　　) A．4 B．5 C．6 D．7 5．设a，b是方程的两个实数根，则的值为（　　） A．4050 B．4054 C． D． 6．如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为、宽为的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，若设彩纸的宽度为，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 7．某厂家2025年1~5月份销售的电车数量如图所示.若从3月份到5月份，该厂家电车销售的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　） A． B． C． D． 8．用配方法解一元二次方程 配方正确的是（　　）。 A． B． C． D． 9．已知a，b是一元二次方程 的两个根，则 的值为(　　) A．4 B．0 C．-4 D． 10．嘉嘉在解关于 x的一元二次方程 时，不小心将一次项系数写成了-b，解出其中一个根是 x=1，现有以下两种说法： 甲：原方程必定有一个根是-1； 乙：当 a≠3时，原方程有两个不相等的实数根. 则下列判断正确的是(　　) A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 11．点是抛物线的顶点，点在抛物线上其中下列结论： 当点轴上时，在直线上；当点所在直线与线段没有交点时，的取值范围是当点在原点时，过点的直线与抛物线交于两点，则． 其中正确的结论有(　　) A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 12．若关于x的一元二次方程( 中不含x的一次项，则m的值是　 　。 13．已知关于x的方程 的两实数根为x1，x2，若 ，则k=　 　. 14．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是　 　． 15． 关于x的代数式满足下表中的对应关系（其中a、p、q均为常数，），则方程的解是　 　． x … 0 1 3 5 … … 0 0 16 40 … 三、解答题（本大题共8个小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．解方程： （1） （2） 17．已知关于的一元二次方程的一个根是1，求它的另一个根及的值． 18．用合适的方法解下列方程： （1）； （2）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值. 19．在数学课上，老师展示两道习题的解答过程： 习题 1：计算： 解：原式 第 一步 第二步 第三步 习题 2：解方程： 解： 第一步 第二步 x-2=3第三步 x=5第四步 （1）解答过程中，习题 1从第　 　步开始出现错误，习题 2从第　 　步开始出现错误； （2）任选其中一个习题写出正确的解答过程. 20．冬季来临，某超市以每件35元的价格购进某款棉帽，并以每件58元的价格出售．经统计，10月份的销售量为256只，12月份的销售量为400只． （1）求该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，下个月份的销售量将与12月份持平，现超市为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该棉帽每降价1元，月销售量就会增加20只．当该棉帽售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 21．某商品的进价为每件10元，售价为每件16元，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于20元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为元． （1）求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （2）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？ （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是550元？ 22．已知关于x的一元二次方程 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是直角三角形时，求k的值. 23．这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式.例如： 试利用配方法解决下列问题： （1）填空：因为x2-4x+6=(x+　 　)2+　 　，所以当x=　 　时，代数式 有最　 　(填“大”或“小”)值，这个最值为　 　. （2）试说明无论x取何值代数式- 的值都是非正数. （3）求 的最值. 答案解析部分 1．【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的一般形式 【解析】【解答】解：根据题意可知，原方程可变形为： ∴一次项系数为-2. 故选： A. 【分析】先将方程化为一元二次方程的一般形式 (a≠0)，再确定一次项系数. 2．【答案】C 【知识点】列一元二次方程 【解析】【解答】解：结合条件列式， 故答案为：C。 【分析】本题结合条件可以首先得出第二阶段需实现新品种的种植目标是1000(1+x)，第三阶段需实现新品种的种植目标是1000(1+x)(1+x)，即1000(1+x)2，而第三阶段需实现1440m2的种植目标，从而列出方程。 3．【答案】A 【知识点】配方法解一元二次方程 【解析】【解答】解：解：x2+6x+3=0 移项，得x2+6x=-3， 配方，两边同时加9：x2+6x+9=-3+9， 完全平方变形：(x+3)2=6． 故答案为：A． 【分析】根据完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2，先把常数项3移到等号右侧；再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方32=9；左侧写成完全平方式，右侧合并常数，得到(x+3)2=6． 4．【答案】A 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用 【解析】【解答】由题可知，△=16-4a≥0， 解得a≤4， 故答案为：A. 【分析】根据一元二次方程有实数根的判定，得出a的范围即可作答. 5．【答案】B 【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 【解析】【解答】解：∵、是方程的两个实数根， ， ， 故选：B． 【分析】 先根据根与系数的关系得出，再利用整体代入的方法计算求值即可． 6．【答案】D 【知识点】列一元二次方程 【解析】【解答】解：设彩纸的宽度为， 由题意可得：，即， 故选：D． 【分析】 设彩纸的宽度为，题目给出的条件是：原本的画面是长为、宽为的矩形，现在要在这个矩形画面的四周都镶上宽度相同的彩纸，并且要求镶上的彩纸的面积和原画面的面积刚好相等，根据这个条件就可以列出对应的一元二次方程. 7．【答案】D 【知识点】列一元二次方程 【解析】【解答】解：由图可知，月份的销量为辆，月份的销量为辆， 可列方程 ． 故答案为：D. 【分析】设厂家电车销售的平均月增长率为x，根据“3月份的销量×(1+x)2=5月份的销量”列方程即可. 8．【答案】A 【知识点】配方法解一元二次方程 【解析】【解答】解： ∴ 故答案为：A. 【分析】将整理得，配方得. 9．【答案】C 【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 【解析】【解答】解：∵a，b是一元二次方程 的两个根， ∴a+b=；ab=， ∴。 故答案为：C。 【分析】本题根据一元二次方程根与系数的关系，即ax2+bx+c=0（a≠0），且x1和x2为该方程的两个实数根，则有x1+x2=、x1x2=；可以首先得出a+b=；ab=，然后利用分式的加法通分，并结合完全平方公式将变形得到，最后代入计算即可。 10．【答案】C 【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用 【解析】【解答】由题意知原方程为 ，则错误方程为， 将x=1代入错误方程得a-b+3=0，即b=a+3. 则原方程为， 解得， 因此甲的说法是正确的； 当a≠3时，， 则方程有两个不相等的实数根，故乙的说法也正确。 故答案为：C。 【分析】 本题需要从错误系数推导出正确方程的性质。关键思路是利用错误方程的解x=1代入错误方程得到关系式，再结合原方程与错误方程的系数差异，通过韦达定理或直接解方程分析根的情况。 11．【答案】B 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用 【解析】【解答】 y=-x2+2（a-1）x-（a2-1）=-[x-（a-1）]2-2a+2， ∴P坐标为（a-1，-2a+2）， ①若P在x轴上，则-2a+2=0， ∴ a=1， 故①正确； ②-2a+2=-2(a-1)， ∴P点在直线y=-2x上 故②错误； ③∵A（-1，m），B（t，m）， ∴ 解得t=2a-1， 将A（-1，m）代入抛物线 得m=2-2a-a2， ∴m+2t=2-2a-a2+2（2a-1）=-a2+2a=-（a-1）2+1≤1， 当a=1时，m+2t=1， 故③错误； ④∵P所在直线为y=-2x， 将y=m代入y=-2x得，m=-2x， 解得 ∵当点P所在直线与线段AB没有交点时， ∴x＜-1或x＞2a-1， ∴ 整理得，a（a+2）＜0或a（a-2）＞0， ∴a＞2，故④正确； ⑤∵点P在原点， ∴a-1=0，-2a+2=0， ∴a=1， ∴抛物线为y=-x2， 当过C 的直线是x=0时，不符合题意， 则可设过C 的直线为 与抛物线方程联立得， 整理得，4x2+4kx-1=0， 此时△＞0，则此方程有两个不同根， 设M（x1，y1），N（x2，y2）， ∴x1+x2=-k，x1x2= ∴ ∴ ∴ ∴ 同理可得，CN= ∴ 故⑤正确； 故答案为：B. 【分析】 先对抛物线配方得到顶点坐标，由此可判断①②，利用轴对称性，由A，B坐标可得将A点坐标代入抛物线，可用a的代数式表达m，从而得到m+2t的关于a的表达式，由此可判断③，将y=m代入P点所在直线方程，得到P点的横坐标表达式，由题意得到x＜-1或x＞2a-1，从而可判断④，设过C点的直线方程，与抛物线联立，利用韦达定理可得x1+x2=-k，x1x2=进一步表示得到CM与CN的值，进而判断⑤即可. 12．【答案】2 【知识点】一元二次方程的一般形式 【解析】【解答】解： x2+4x+4=2mx+m ∴x2+(4-2m)x+4-m=0 ∵不含x的一次项 ∴4-2m=0，解得：m=2 故答案为：2 【分析】将返程转换为一般式，再根据题意建立方程，解方程即可求出答案. 13．【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 【解析】【解答】解：由题意，x1+x2=k+4，x1x2=4k， ∵ ∴2(x1+x2)=3x1x2， 即：2(k+4)=3×4k， 解得： 故答案为：. 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可求出x1+x2以及x1x2，然后根据条件变形代入求解即可. 14．【答案】 【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数 【解析】【解答】解： ， ， 解得 . 故选： . 【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式 ，建立关于 不等式，求出 的取值范围。 15．【答案】 【知识点】估算一元二次方程的近似解；换元法解一元二次方程 【解析】【解答】解：由表格中x=-5和x=1时代数式值为零， 可得方程a(x+p)2+q=0的两个根为x1=-5，x2=-1， 则x+p=-5或-1， 那么在方程 中， x+p-1=-5或-1， 所以解为. 故答案为：. 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的确定，先根据表格里面函数的两组x值得到到方程a(x+p)2+q=0对应的两个根，最后利用换元法把目标方程a(x+p-1)2+q=0转化为已知根的方程，给根整体加1就能得到目标方程的解. 16．【答案】（1）解：， 分解因式得，， 可得或， 解得：，； ​​​​​​​ （2）解：， 分解因式得，， 可得或， 解得：，． ​​​​​​​ 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【解析】【分析】 （1）对原方程整理后因式分解，可得到，据此即可求出方程的两个解； （2）对原方程整理后因式分解，可得到，据此即可求出方程的两个解。 ​​​​​​​ （1）， 分解因式得，， 可得或， 解得：，； （2）， 分解因式得，， 可得或， 解得：， 17．【答案】解：设方程的另一个根为n，则， ∴， ∴方程的另一个根是2，的值是4． 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 【解析】【分析】利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），设出另一根，列出关于两根和与积的方程组，求解得到另一根及 m 的值。 18．【答案】（1）解： 移项可得， ∴(x-3)(x-1)=0 ∴x-3=0或x-1=0 解得：x=3或x=1 （2）解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根 ∴ 解得： 【知识点】因式分解法解一元二次方程；根据一元二次方程的根的情况求参数 【解析】【分析】（1）移项，提公因式，再根据因式分解法解方程即可求出答案. （2）根据二次方程有两个相等的实数根，则判别式，解方程即可求出答案. 19．【答案】（1）二；三 （2）解：当选择习题 1时， 原式 当选择习题 2时， （x+1)（x-5) =0， 则 x+1=0或 x-5=0， 所以 x1=-1， x2=5 【知识点】因式分解法解一元二次方程；同分母分式的加、减法 【解析】【分析】（1）根据分式的减法，配方法解方程进行判断即可求出答案. （2）习题1：根据分式的减法即可求出答案； 习题2：根据因式分解法解方程即可求出答案. 20．【答案】（1）解：设该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得：，(不符合题意，舍去) 答：该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为． （2）解：设该款棉帽售价为y元，则每件的销售利润为元， 根据题意得：， 解得：，(不符合题意，舍去) 答：该款棉帽售价为50元时，月销售利润达8400元． 【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题 【解析】【分析】 （1）设这款棉帽从10月份到12月份销售量的月平均增长率为x，根据起始销售量和增长后的终末销售量，就能得到关于x的一元二次方程，求解方程后舍去不符合实际意义的结果，就能得到月平均增长率。 （2）若设这款棉帽的售价定为y元，那么每售出一件棉帽可获得的销售利润为元，再根据售价和销售量的对应关系得到月销售量，结合"月销售利润=每件利润×月销售量"的等量关系，就可以列出关于y的一元二次方程，求解后取符合商家降价要求的结果，就能得到对应的定价. （1）解：设该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得：，(不符合题意，舍去) 答：该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为． （2）解：设该款棉帽售价为y元，则每件的销售利润为元， 根据题意得：， 解得：，(不符合题意，舍去) 答：该款棉帽售价为50元时，月销售利润达8400元． 21．【答案】（1）（且为整数） （2）解：， 因为， 所以当时，有最大值640，此时售价为元， 答：每件商品的售价为元时，每个月可获得最大利润，最大利润是640元； （3）解：当时，可得，解得， ∵且为整数， ∴均不符合自变量的取值范围， ∴不存在符合条件的售价， 答：不存在这样的售价，使得每个月的利润恰好是550元． 【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题 【解析】【解答】 （1）解：根据题意可得单件利润为元，销量为件， 可得函数关系式为， 每件售价不能高于20元， ，即且为整数， 与的函数关系式为（且为整数）； 【分析】 （1）依据“销售利润单件利润销售量”的关系列出利润关于售价的函数解析式，再结合题目中“每件售价不能超过20元”的限定，确定自变量x的取值范围； （2）把得到的二次函数一般式配方整理为顶点式，就可以结合x的取值范围求出利润的最大值，得到对应售价； （3）如果要求利润达到550元时的售价，令，就可以得到关于x的一元二次方程，求解方程后结合x的取值范围舍去不符合题意的解，就能得到对应售价. （1）解：根据题意可得单件利润为元，销量为件， 可得函数关系式为， 每件售价不能高于20元， ，即且为整数， 与的函数关系式为（且为整数）； （2）解：， 因为， 所以当时，有最大值640，此时售价为元， 答：每件商品的售价为元时，每个月可获得最大利润，最大利润是640元； （3）解：当时，可得， 解得， ∵且为整数， ∴均不符合自变量的取值范围， ∴不存在符合条件的售价， 答：不存在这样的售价，使得每个月的利润恰好是550元． 22．【答案】（1）证明：， 方程有两个不相等的实数根． （2）解：， 即， 解得：，． 当为直角边时，， 解得：； 当为斜边时，， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：的值为或. 【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；勾股定理 【解析】【分析】（1）根据题意求出，即可判断方程根的情况解答即可； （2）利用因式分解求出，的长，分为直角边及为斜边两种情况，根据勾股定理列方程求出k的值，解答即可． 23．【答案】（1）-2；2；2；小；2 （2）证明： ∴无论x取何值，代数式. 的值都是非正数。 （3）解： ∴当x=-1时， 有最小值，最小值为5。 【知识点】配方法的应用 【解析】【解答】解：（1） ， ∴当x=2时，代数式 有最小值，这个最值为2， 故答案为：2；2；2；小；2； 【分析】（1）原式化为，然后根据偶次方的非负性解答即可； （2）原式配方为，根据偶次方的非负性解答即可； （3）原式配方为，根据偶次方的非负性解答即可. 学科网（北京）股份有限公司 $ 冀教版九年级上册 第二十四章 一元二次方程 单元测试 (一) 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知关于x的一元二次方程x2-6=2x，则一次项系数为（　　） A．-2 B．-6 C．2 D．1 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的一般形式 【解析】【解答】解：根据题意可知，原方程可变形为： ∴一次项系数为-2. 故选： A. 【分析】先将方程化为一元二次方程的一般形式 (a≠0)，再确定一次项系数. 2．为了迎接十一“黄金周”，某月季大观园准备分三个阶段扩大月季新品种种植面积，第一阶段已实现新品种1000m2的种植目标，第三阶段需实现1440m2的种植目标，设第二、第三阶段月季新品种种植面积的平均增长率为x，则下列方程正确的是 (　　) A．1000(1+x)×2=1440 B． C． D． 【答案】C 【知识点】列一元二次方程 【解析】【解答】解：结合条件列式， 故答案为：C。 【分析】本题结合条件可以首先得出第二阶段需实现新品种的种植目标是1000(1+x)，第三阶段需实现新品种的种植目标是1000(1+x)(1+x)，即1000(1+x)2，而第三阶段需实现1440m2的种植目标，从而列出方程。 3． 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】配方法解一元二次方程 【解析】【解答】解：解：x2+6x+3=0 移项，得x2+6x=-3， 配方，两边同时加9：x2+6x+9=-3+9， 完全平方变形：(x+3)2=6． 故答案为：A． 【分析】根据完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2，先把常数项3移到等号右侧；再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方32=9；左侧写成完全平方式，右侧合并常数，得到(x+3)2=6． 4．若关于x的一元二次方程 有实数根，则a的值可以是 (　　) A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用 【解析】【解答】由题可知，△=16-4a≥0， 解得a≤4， 故答案为：A. 【分析】根据一元二次方程有实数根的判定，得出a的范围即可作答. 5．设a，b是方程的两个实数根，则的值为（　　） A．4050 B．4054 C． D． 【答案】B 【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 【解析】【解答】解：∵、是方程的两个实数根， ， ， 故选：B． 【分析】 先根据根与系数的关系得出，再利用整体代入的方法计算求值即可． 6．如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为、宽为的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等，若设彩纸的宽度为，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列一元二次方程 【解析】【解答】解：设彩纸的宽度为， 由题意可得：，即， 故选：D． 【分析】 设彩纸的宽度为，题目给出的条件是：原本的画面是长为、宽为的矩形，现在要在这个矩形画面的四周都镶上宽度相同的彩纸，并且要求镶上的彩纸的面积和原画面的面积刚好相等，根据这个条件就可以列出对应的一元二次方程. 7．某厂家2025年1~5月份销售的电车数量如图所示.若从3月份到5月份，该厂家电车销售的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列一元二次方程 【解析】【解答】解：由图可知，月份的销量为辆，月份的销量为辆， 可列方程 ． 故答案为：D. 【分析】设厂家电车销售的平均月增长率为x，根据“3月份的销量×(1+x)2=5月份的销量”列方程即可. 8．用配方法解一元二次方程 配方正确的是（　　）。 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】配方法解一元二次方程 【解析】【解答】解： ∴ 故答案为：A. 【分析】将整理得，配方得. 9．已知a，b是一元二次方程 的两个根，则 的值为(　　) A．4 B．0 C．-4 D． 【答案】C 【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 【解析】【解答】解：∵a，b是一元二次方程 的两个根， ∴a+b=；ab=， ∴。 故答案为：C。 【分析】本题根据一元二次方程根与系数的关系，即ax2+bx+c=0（a≠0），且x1和x2为该方程的两个实数根，则有x1+x2=、x1x2=；可以首先得出a+b=；ab=，然后利用分式的加法通分，并结合完全平方公式将变形得到，最后代入计算即可。 10．嘉嘉在解关于 x的一元二次方程 时，不小心将一次项系数写成了-b，解出其中一个根是 x=1，现有以下两种说法： 甲：原方程必定有一个根是-1； 乙：当 a≠3时，原方程有两个不相等的实数根. 则下列判断正确的是(　　) A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 【答案】C 【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用 【解析】【解答】由题意知原方程为 ，则错误方程为， 将x=1代入错误方程得a-b+3=0，即b=a+3. 则原方程为， 解得， 因此甲的说法是正确的； 当a≠3时，， 则方程有两个不相等的实数根，故乙的说法也正确。 故答案为：C。 【分析】 本题需要从错误系数推导出正确方程的性质。关键思路是利用错误方程的解x=1代入错误方程得到关系式，再结合原方程与错误方程的系数差异，通过韦达定理或直接解方程分析根的情况。 11．点是抛物线的顶点，点在抛物线上其中下列结论： 当点轴上时，在直线上；当点所在直线与线段没有交点时，的取值范围是当点在原点时，过点的直线与抛物线交于两点，则． 其中正确的结论有(　　) A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用 【解析】【解答】 y=-x2+2（a-1）x-（a2-1）=-[x-（a-1）]2-2a+2， ∴P坐标为（a-1，-2a+2）， ①若P在x轴上，则-2a+2=0， ∴ a=1， 故①正确； ②-2a+2=-2(a-1)， ∴P点在直线y=-2x上 故②错误； ③∵A（-1，m），B（t，m）， ∴ 解得t=2a-1， 将A（-1，m）代入抛物线 得m=2-2a-a2， ∴m+2t=2-2a-a2+2（2a-1）=-a2+2a=-（a-1）2+1≤1， 当a=1时，m+2t=1， 故③错误； ④∵P所在直线为y=-2x， 将y=m代入y=-2x得，m=-2x， 解得 ∵当点P所在直线与线段AB没有交点时， ∴x＜-1或x＞2a-1， ∴ 整理得，a（a+2）＜0或a（a-2）＞0， ∴a＞2，故④正确； ⑤∵点P在原点， ∴a-1=0，-2a+2=0， ∴a=1， ∴抛物线为y=-x2， 当过C 的直线是x=0时，不符合题意， 则可设过C 的直线为 与抛物线方程联立得， 整理得，4x2+4kx-1=0， 此时△＞0，则此方程有两个不同根， 设M（x1，y1），N（x2，y2）， ∴x1+x2=-k，x1x2= ∴ ∴ ∴ ∴ 同理可得，CN= ∴ 故⑤正确； 故答案为：B. 【分析】 先对抛物线配方得到顶点坐标，由此可判断①②，利用轴对称性，由A，B坐标可得将A点坐标代入抛物线，可用a的代数式表达m，从而得到m+2t的关于a的表达式，由此可判断③，将y=m代入P点所在直线方程，得到P点的横坐标表达式，由题意得到x＜-1或x＞2a-1，从而可判断④，设过C点的直线方程，与抛物线联立，利用韦达定理可得x1+x2=-k，x1x2=进一步表示得到CM与CN的值，进而判断⑤即可. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 12．若关于x的一元二次方程( 中不含x的一次项，则m的值是　 　。 【答案】2 【知识点】一元二次方程的一般形式 【解析】【解答】解： x2+4x+4=2mx+m ∴x2+(4-2m)x+4-m=0 ∵不含x的一次项 ∴4-2m=0，解得：m=2 故答案为：2 【分析】将返程转换为一般式，再根据题意建立方程，解方程即可求出答案. 13．已知关于x的方程 的两实数根为x1，x2，若 ，则k=　 　. 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 【解析】【解答】解：由题意，x1+x2=k+4，x1x2=4k， ∵ ∴2(x1+x2)=3x1x2， 即：2(k+4)=3×4k， 解得： 故答案为：. 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可求出x1+x2以及x1x2，然后根据条件变形代入求解即可. 14．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是　 　． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数 【解析】【解答】解： ， ， 解得 . 故选： . 【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式 ，建立关于 不等式，求出 的取值范围。 15． 关于x的代数式满足下表中的对应关系（其中a、p、q均为常数，），则方程的解是　 　． x … 0 1 3 5 … … 0 0 16 40 … 【答案】 【知识点】估算一元二次方程的近似解；换元法解一元二次方程 【解析】【解答】解：由表格中x=-5和x=1时代数式值为零， 可得方程a(x+p)2+q=0的两个根为x1=-5，x2=-1， 则x+p=-5或-1， 那么在方程 中， x+p-1=-5或-1， 所以解为. 故答案为：. 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的确定，先根据表格里面函数的两组x值得到到方程a(x+p)2+q=0对应的两个根，最后利用换元法把目标方程a(x+p-1)2+q=0转化为已知根的方程，给根整体加1就能得到目标方程的解. 三、解答题（本大题共8个小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．解方程： （1） （2） 【答案】（1）解：， 分解因式得，， 可得或， 解得：，； ​​​​​​​ （2）解：， 分解因式得，， 可得或， 解得：，． ​​​​​​​ 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【解析】【分析】 （1）对原方程整理后因式分解，可得到，据此即可求出方程的两个解； （2）对原方程整理后因式分解，可得到，据此即可求出方程的两个解。 ​​​​​​​ （1）， 分解因式得，， 可得或， 解得：，； （2）， 分解因式得，， 可得或， 解得：， 17．已知关于的一元二次方程的一个根是1，求它的另一个根及的值． 【答案】解：设方程的另一个根为n，则， ∴， ∴方程的另一个根是2，的值是4． 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 【解析】【分析】利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），设出另一根，列出关于两根和与积的方程组，求解得到另一根及 m 的值。 18．用合适的方法解下列方程： （1）； （2）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值. 【答案】（1）解： 移项可得， ∴(x-3)(x-1)=0 ∴x-3=0或x-1=0 解得：x=3或x=1 （2）解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根 ∴ 解得： 【知识点】因式分解法解一元二次方程；根据一元二次方程的根的情况求参数 【解析】【分析】（1）移项，提公因式，再根据因式分解法解方程即可求出答案. （2）根据二次方程有两个相等的实数根，则判别式，解方程即可求出答案. 19．在数学课上，老师展示两道习题的解答过程： 习题 1：计算： 解：原式 第 一步 第二步 第三步 习题 2：解方程： 解： 第一步 第二步 x-2=3第三步 x=5第四步 （1）解答过程中，习题 1从第　 　步开始出现错误，习题 2从第　 　步开始出现错误； （2）任选其中一个习题写出正确的解答过程. 【答案】（1）二；三 （2）解：当选择习题 1时， 原式 当选择习题 2时， （x+1)（x-5) =0， 则 x+1=0或 x-5=0， 所以 x1=-1， x2=5 【知识点】因式分解法解一元二次方程；同分母分式的加、减法 【解析】【分析】（1）根据分式的减法，配方法解方程进行判断即可求出答案. （2）习题1：根据分式的减法即可求出答案； 习题2：根据因式分解法解方程即可求出答案. 20．冬季来临，某超市以每件35元的价格购进某款棉帽，并以每件58元的价格出售．经统计，10月份的销售量为256只，12月份的销售量为400只． （1）求该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，下个月份的销售量将与12月份持平，现超市为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该棉帽每降价1元，月销售量就会增加20只．当该棉帽售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】（1）解：设该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得：，(不符合题意，舍去) 答：该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为． （2）解：设该款棉帽售价为y元，则每件的销售利润为元， 根据题意得：， 解得：，(不符合题意，舍去) 答：该款棉帽售价为50元时，月销售利润达8400元． 【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题 【解析】【分析】 （1）设这款棉帽从10月份到12月份销售量的月平均增长率为x，根据起始销售量和增长后的终末销售量，就能得到关于x的一元二次方程，求解方程后舍去不符合实际意义的结果，就能得到月平均增长率。 （2）若设这款棉帽的售价定为y元，那么每售出一件棉帽可获得的销售利润为元，再根据售价和销售量的对应关系得到月销售量，结合"月销售利润=每件利润×月销售量"的等量关系，就可以列出关于y的一元二次方程，求解后取符合商家降价要求的结果，就能得到对应的定价. （1）解：设该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得：，(不符合题意，舍去) 答：该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为． （2）解：设该款棉帽售价为y元，则每件的销售利润为元， 根据题意得：， 解得：，(不符合题意，舍去) 答：该款棉帽售价为50元时，月销售利润达8400元． 21．某商品的进价为每件10元，售价为每件16元，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于20元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为元． （1）求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； （2）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？ （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是550元？ 【答案】（1）（且为整数） （2）解：， 因为， 所以当时，有最大值640，此时售价为元， 答：每件商品的售价为元时，每个月可获得最大利润，最大利润是640元； （3）解：当时，可得，解得， ∵且为整数， ∴均不符合自变量的取值范围， ∴不存在符合条件的售价， 答：不存在这样的售价，使得每个月的利润恰好是550元． 【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题 【解析】【解答】 （1）解：根据题意可得单件利润为元，销量为件， 可得函数关系式为， 每件售价不能高于20元， ，即且为整数， 与的函数关系式为（且为整数）； 【分析】 （1）依据“销售利润单件利润销售量”的关系列出利润关于售价的函数解析式，再结合题目中“每件售价不能超过20元”的限定，确定自变量x的取值范围； （2）把得到的二次函数一般式配方整理为顶点式，就可以结合x的取值范围求出利润的最大值，得到对应售价； （3）如果要求利润达到550元时的售价，令，就可以得到关于x的一元二次方程，求解方程后结合x的取值范围舍去不符合题意的解，就能得到对应售价. （1）解：根据题意可得单件利润为元，销量为件， 可得函数关系式为， 每件售价不能高于20元， ，即且为整数， 与的函数关系式为（且为整数）； （2）解：， 因为， 所以当时，有最大值640，此时售价为元， 答：每件商品的售价为元时，每个月可获得最大利润，最大利润是640元； （3）解：当时，可得， 解得， ∵且为整数， ∴均不符合自变量的取值范围， ∴不存在符合条件的售价， 答：不存在这样的售价，使得每个月的利润恰好是550元． 22．已知关于x的一元二次方程 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是直角三角形时，求k的值. 【答案】（1）证明：， 方程有两个不相等的实数根． （2）解：， 即， 解得：，． 当为直角边时，， 解得：； 当为斜边时，， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：的值为或. 【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；勾股定理 【解析】【分析】（1）根据题意求出，即可判断方程根的情况解答即可； （2）利用因式分解求出，的长，分为直角边及为斜边两种情况，根据勾股定理列方程求出k的值，解答即可． 23．这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式.例如： 试利用配方法解决下列问题： （1）填空：因为x2-4x+6=(x+　 　)2+　 　，所以当x=　 　时，代数式 有最　 　(填“大”或“小”)值，这个最值为　 　. （2）试说明无论x取何值代数式- 的值都是非正数. （3）求 的最值. 【答案】（1）-2；2；2；小；2 （2）证明： ∴无论x取何值，代数式. 的值都是非正数。 （3）解： ∴当x=-1时， 有最小值，最小值为5。 【知识点】配方法的应用 【解析】【解答】解：（1） ， ∴当x=2时，代数式 有最小值，这个最值为2， 故答案为：2；2；2；小；2； 【分析】（1）原式化为，然后根据偶次方的非负性解答即可； （2）原式配方为，根据偶次方的非负性解答即可； （3）原式配方为，根据偶次方的非负性解答即可. 学科网（北京）股份有限公司 $