2.2 基本不等式 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本练习通过基础到提升的三层梯度设计，覆盖基本不等式的概念应用、变形技巧及实际建模，强化运算能力与推理意识，适配新授课分层巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一公式直接应用|选择1-4直接套用公式求最值，夯实概念理解| |中档层|条件变形与性质综合|选择5-8结合参数与存在性问题，提升推理能力| |提升层|跨情境建模与证明|解答17-18联系实际情境，培养模型意识与应用能力|

《基本不等式》同步练习 1、 选择题 1．若x＞0，则的最小值是（　　） A． B． C．4 D．2 【分析】直接利用基本不等式求解即可． 【解答】解；因为x＞0，所以， 当且仅当，即x＝1时等号成立， 所以的最小值是4． 故选：C． 【点评】本题考查基本不等式的性质的应用，属于基础题． 2．已知正实数a，b满足a+b＝3，则的最小值是（　　） A． B．4 C．1 D． 【分析】根据给定的条件，利用“1”的妙用及均值不等式可得代数式的最小值． 【解答】解：因正实数a，b满足a+b＝3，可得1， 所以（）•1＝（）•（2）（2+2）， 当且仅当a＝b时取等号， 所以的最小值是． 故选：A． 【点评】本题考查“1”的活用及基本不等式的应用，属于基础题． 3．如果0＜a＜b＜1，P，Q，M，那么P，Q，M的大小顺序是（　　） A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P 【分析】根据题意，由基本不等式的性质和作差法分析可得答案． 【解答】解：根据题意，0＜a＜b＜1， 则PQ，即P＞Q， M2＝a+b，P2＝（）2， 则M2﹣P20，则M＞P， 故M＞P＞Q， 故选：B． 【点评】本题考查基本不等式的性质，涉及不等式的大小比较，属于基础题． 4．已知a＞0，b＞0，则，，，中最大的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用基本不等式，先比较与，然后比较与，再比较与，由此确定出正确选项． 【解答】解：因为a＞0，b＞0，所以a+b，当且仅当a＝b时取等号， 所以， ，当且仅当a＝b时，等号成立， 则． 故选：A． 【点评】本题主要考查了基本不等式在不等式大小比较中的应用，属于中档题． 5．若a＞0，b＞0，且ab＝4a+b+5，则ab的最小值为（　　） A． B．25 C．5 D．1 【分析】根据利用基本不等式结合一元二次不等式运算求解． 【解答】解：因为a＞0，b＞0，且ab＝4a+b+5， 则，当且仅当4a＝b＝10时等号成立， 可得， 所以ab≥25，当且仅当，b＝10时等号成立，所以ab的最小值为25． 故选：B． 【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题． 6．已知3x＞y＞0，且7x+5y＝1，则的最小值为（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【分析】合理变形，再利用乘“1”法计算即可． 【解答】解：因为3x＞y＞0， 则 ， 当且仅当2（3x﹣y）＝4x+6y，即时取等号， 此时的最小值为9． 故选：B． 【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题． 7．若两个正实数x，y满足，且存在这样的x，y使不等式有解，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣1，4） B．（﹣4，1） C．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞） 【分析】由x（x）（）＝2，利用基本不等式可求其最小值，存在x，y使不等式有解，即m2+3m，解不等式可求． 【解答】解：∵正实数x，y满足， ∴x（x）（）＝24 当且仅当且，即x＝2，y＝8时取等号， ∵存在x，y使不等式有解， ∴4＜m2+3m，解可得m＞1或m＜﹣4， 故选：C． 【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值及存在性问题与最值问题的相互转化思想的应用． 8．已知x＞0，y＞0，z＞1，x+2y＝2，则的最小值为（　　） A．4 B． C．18 D． 【分析】利用基本不等式性质求解． 【解答】解：∵x＞0，y＞0，z＞1，x+2y＝2， ∴ ， 当且仅当，即x＝2y，时，等号成立， 又， 当且仅当，即时，等号成立， 综上，当，时，原式取得最小值． 故选：D． 【点评】本题考查基本不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 二、多选题 9．已知a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（　　） A． B．2（a2+b2）≥（a+b）2 C． D． 【分析】由基本不等式逐一判断． 【解答】解：A：当a，b为负数时不成立，A错误， B：2（a2+b2）﹣（a+b）2＝（a﹣b）2≥0，则2（a2+b2）≥（a+b）2，B正确， C：ab＞0，则为正数，， 当且仅当，即a＝b时等号成立，C正确， D：， 当且仅当和同时成立，即a＝b＝±1时等号成立，D正确． 故选：BCD． 【点评】本题主要考查基本不等式，属于基础题． 10．已知x，y为正实数，x+y＝4，则（　　） A．xy的最大值为4 B．的最小值为 C．的最小值3 D．（x2+1）（y2+1）的最小值为16 【分析】根据基本不等式即可对选项逐一判断． 【解答】解：A选项，因为x，y为正实数，x+y＝4，则，当且仅当x＝y＝2时取等号，故A正确； B选项，，当且仅当x＝y＝2时取等号，故B错误； C选项，因为x+y＝4，则， 故， 当且仅当时取等号，故C错误； D选项，因为（x2+1）（y2+1）＝x2y2+x2+y2+1＝x2y2+（x+y）2﹣2xy+1 ＝x2y2﹣2xy+17＝（xy﹣1）2+16，因为xy≤4， 所以（xy﹣1）2+16≥16，故D正确． 故选：AD． 【点评】贝泰妮主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题． 11．《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．根据这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点（不同于A，B，O），点D在半圆O上，且CD⊥AB，CE⊥OD于点E．设|AC|＝a，|BC|＝b，则该图形可以完成的“无字证明”为（　　） A．2ab＜a2+b2 B． C． D． 【分析】根据圆中弦长关系OD＞CD＞DE，可得不等式，成立．． 【解答】解：∵|AC|＝a，|BC|＝b， 则AC+CB＝a+b，可得半径 ∴在Rt△ADB中，由射影定理可知：CD2＝AC•CB， ∴， ∵OD＞CD， ∴（a＞0，b＞0，a≠b），故B正确， 同理，CD2＝DE•OD， 即， ∵CD＞DE，即， ∴，C正确， 对于A、D选项，图中的线段无法判断． 故选：BC． 【点评】本题主要考查了基本不等式的证明，属于中档题． 三、填空题 12．已知x∈（0，5），则的最小值为　3　 ． 【分析】对目标式子变形后由基本不等式求解即可． 【解答】解：由于x∈（0，5），所以0＜5﹣x＜5， 故， 当且仅当，即x＝1时等号成立， 故的最小值为3． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题． 13．已知，则的最大值为　　 ． 【分析】根据基本不等式即可求解． 【解答】解：由于，则， 故1﹣2x2＞0， 所以， 当且仅当2x2＝1﹣2x2，即时取到等号． 故的最大值为． 故答案为：． 【点评】本题考查基本不等式相关知识，属于中档题． 14．若正实数x，y满足x+2y＝4，不等式恒成立，则m的取值范围是　　 ． 【分析】根据基本不等式”1”的代换，可得的最小值，根据题意，结合一元二次不等式的解法，即可得答案． 【解答】解：由x+2y＝4，得x+2（y+1）＝6，即， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 则，解得， 则m的取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题考查基本不等式的运用，考查运算求解能力，属于中档题． 四、解答题 15．（1）设0＜x＜2，求函数y＝x（4﹣2x）的最大值； （2）已知正数a，b满足a+b＝1，求的最小值． 【分析】（1）整理可得y＝2x（2﹣x），结合不等式求最值； （2）根据题意利用乘“1”法，结合基本不等式求最值； 【解答】解：（1）因为0＜x＜2，则0＜2﹣x＜2， 可得， 当且仅当x＝2﹣x，即x＝1时，等号成立， 所以函数y＝x（4﹣2x）的最大值为2； （2）因为正数a，b满足a+b＝1， 可得， 当且仅当，即b，a时，等号成立， 所以的最小值为18； 【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，属于中档题． 16．已知a＞0，b＞0，且a+2b＝2． （1）证明：． （2）求的最小值． 【分析】（1）由基本不等式即可直接求证； （2）由乘“1”法及基本不等式即可求解． 【解答】（1）证明：由基本不等式可得， 当且仅当，即a＝2b＝1时，等号成立， 因为a＞0，b＞0，且a+2b＝2，所以，所以， 当且仅当a＝2b＝1时，等号成立， 所以，所以， 即，当且仅当a＝2b＝1时，等号成立； （2）解：因为a+2b＝2，a＞0，b＞0，可得（a+2b）＝1， 所以（220）（12+20）＝16， 当且仅当，即，时，等号成立， 即的最小值是16． 【点评】本题考查基本不等式的性质的应用，属于基础题． 17．某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元．设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（2≤x≤6）． （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？最低为多少？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（a＞0），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围． 【分析】（1）由题意，得出甲工程队的报价表达式，利用基本不等式可求得报价最低值； （2）由题意得对任意的x∈[2，6]恒成立，分离参数a，利用基本不等式可求得结论． 【解答】解：（1）因为屋子的左、右两面墙的长度均为x米（2≤x≤6），底面积为12平方米， 所以屋子的前面墙的长度为米（2≤x≤6），设甲工程队的报价为y元， 则， 因为14400， 当且仅当，即x＝4时等号成立， 所以当左、右两面墙的长度均为4米时，甲工程队的报价最低，为14400元； （2）根据题意，可得对任意的x∈[2，6]恒成立， 即对任意的x∈[2，6]恒成立， 即对任意的x∈[2，6]恒成立， 因为， 当且仅当，即x＝2时等号成立， 又a＞0，所以0＜a＜12， 故当0＜a＜12时，乙工程队都能竞标成功， 所以a的取值范围为（0，12）． 【点评】本题考查函数的性质及基本不等式的应用，属中档题． 18．已知a＞0，b＞0，c＞0． （1）若a+b＝1，求的最大值； （2）若ab＝1，求的最小值； （3）若a+b+c＝1，求的最大值． 【分析】（1）平方应用基本不等式计算求解； （2）先化简，再应用已知ab＝1应用基本不等式计算求解； （3）先化简，再应用已知a+b+c＝1换元，再应用基本不等式计算求解； 【解答】解：a＞0，b＞0，c＞0， （1）， 当且仅当时，取等号，所以的最大值为； （2）∵ab＝1， ∴， 当且仅当a+b＝4，即，或，等号成立， 所以的最小值是4； （3）， ， ， ∴的最大值为， 当且仅当取等号， 所以的最大值为． 【点评】本题主要考查了基本不等式及二次函数性质在最值求解中的应用，属于中档题． 学科网（北京）股份有限公司 $ 《基本不等式》同步练习 1、 选择题 1．若x＞0，则的最小值是（　　） A． B． C．4 D．2 2．已知正实数a，b满足a+b＝3，则的最小值是（　　） A． B．4 C．1 D． 3．如果0＜a＜b＜1，P，Q，M，那么P，Q，M的大小顺序是（　　） A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P 4．已知a＞0，b＞0，则，，，中最大的是（　　） A． B． C． D． 5．若a＞0，b＞0，且ab＝4a+b+5，则ab的最小值为（　　） A． B．25 C．5 D．1 6．已知3x＞y＞0，且7x+5y＝1，则的最小值为（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 7．若两个正实数x，y满足，且存在这样的x，y使不等式有解，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣1，4） B．（﹣4，1） C．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞） 8．已知x＞0，y＞0，z＞1，x+2y＝2，则的最小值为（　　） A．4 B． C．18 D． 二、多选题 9．已知a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（　　） A． B．2（a2+b2）≥（a+b）2 C． D． 10．已知x，y为正实数，x+y＝4，则（　　） A．xy的最大值为4 B．的最小值为 C．的最小值3 D．（x2+1）（y2+1）的最小值为16 11．《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．根据这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点（不同于A，B，O），点D在半圆O上，且CD⊥AB，CE⊥OD于点E．设|AC|＝a，|BC|＝b，则该图形可以完成的“无字证明”为（　　） A．2ab＜a2+b2 B． C． D． 三、填空题 12．已知x∈（0，5），则的最小值为　 　 ． 13．已知，则的最大值为　 　 ． 14．若正实数x，y满足x+2y＝4，不等式恒成立，则m的取值范围是　 　 ． 四、解答题 15．（1）设0＜x＜2，求函数y＝x（4﹣2x）的最大值； （2）已知正数a，b满足a+b＝1，求的最小值． 16．已知a＞0，b＞0，且a+2b＝2． （1）证明：． （2）求的最小值． 17．某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元．设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（2≤x≤6）． （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？最低为多少？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（a＞0），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围． 18．已知a＞0，b＞0，c＞0． （1）若a+b＝1，求的最大值； （2）若ab＝1，求的最小值； （3）若a+b+c＝1，求的最大值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $