2.2 基本不等式 课时分层作业-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本练习以“基础巩固+能力提升”分层设计，通过教材改编题与拓展探究题结合，构建从概念理解到综合应用的知识巩固路径，培养数学推理能力与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|基本不等式概念、简单最值求法|含教材改编题（如第2、5题），聚焦“一正二定三相等”条件应用| |提升层|条件变形、几何背景、三元不等式|设置几何无字证明（第10题）、三元不等式猜想与证明（第13题），深化逻辑推理与数学抽象|

课时分层作业(十二)　基本不等式 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共92分 一、选择题 1．设x>y>0，则下列各式中正确的是(　　) A．x>>>y B．x>>>y C．x>>y> D．x>>y> 2．(教材P46练习T2改编)已知x>0，y>0，则＋的最小值为(　　) A．15　 B．12 C．8　 D．6 3．已知a>，当a＋取最小值时，实数a的值为(　　) A．1　 B． C．＋1　 D．＋ 4．(多选)下面四个推导过程正确的有(　　) A．若a，b为正实数，则＋≥2＝2 B．若a∈R，a≠0，则＋a≥2＝4 C．若x，y∈R，xy<0，则＋＝－≤－2＝－2 D．若a<0，b<0，则<ab 二、填空题 5．(教材P48习题2.2T1改编)若0<a<2，则的最大值为________． 6．已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________． 7．当x>0时，y＝的最小值为______． 三、解答题 8．(13分)(1)(源自苏教版教材)设y＝x＋，x∈(－2，＋∞)，求y的最小值． (2)(源自苏教版教材)设x>0，y>0，且2x＋5y＝20，求xy的最大值． 9．已知x<0，则y＝5－x－有(　　) A．最大值1　 B．最小值9 C．最小值1　 D．最大值9 10．《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　　) A． ≤(a>0，b>0) B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0) C．≤(a>0，b>0) D．≥(a>0，b>0) 11．函数y＝x(0<x<1)的最大值为______． 12．(13分)(1)已知x<，求的最大值； (2)设x>0，y>0，x＋y＝1，求的最小值． 13．(15分)我们学习了二元基本不等式：设a>0，b>0，≥，当且仅当a＝b时，等号成立，利用基本不等式可以证明不等式，也可以利用“和定积最大，积定和最小”求最值． (1)对于三元基本不等式请猜想：设a>0，b>0，c>0，≥________，当且仅当a＝b＝c时，等号成立(把横线补全)． (2)利用(1)猜想的三元基本不等式证明： 设a>0，b>0，c>0，求证：(a2＋b2＋c2)·(a＋b＋c)≥9abc． (3)利用(1)猜想的三元基本不等式求最值： 设a>0，b>0，c>0，a＋b＋c＝1，求(1－a)·(1－b)·(1－c)的最大值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 课时分层作业(十二) 1．A　[∵x>y>0， ∴2x>x＋y，>，>， 即>y，∴x>>>y．故选A．] 2．B　[由基本不等式可知 ＋≥2＝12， 当且仅当＝，即y＝2x时，等号成立， 所以＋的最小值为12．] 3．B　[由a>，得2a－1>0， 所以a＋＝＋＋≥ 2＋＝＋， 当且仅当＝，即a＝时取最小值． 故选B．] 4．AC　[A中，∵a，b为正实数，∴，为正实数，符合基本不等式的条件，故A正确； B中，a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，故B错误； C中，由xy<0，得，均为负数，但在推导过程中将＋整体提出负号后，－，－均为正数，符合基本不等式的条件，故C正确； D中，对任意的a，b∈R，都有a2＋b2≥2ab，即≥ab，故D错误．] 5．1　[当0<a<2时，2－a>0，则≤＝1，当且仅当2－a＝a，即a＝1时，等号成立．因此，的最大值为1．] 6．p>q　[∵a，b，c互不相等， ∴a2＋b2>2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac． ∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)， 即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac． 即p>q．] 7．　[当x>0时，＝＋＋≥2＋＝，当且仅当x＝2时等号成立， 所以当x>0时，y＝的最小值为．] 8．解：(1)因为x>－2，所以x＋2>0． 由基本不等式，得x＋＝(x＋2)＋－2≥2－2＝6，当且仅当x＋2＝，即x＝2时，等号成立． 因此，当x＝2时，y的最小值为6． (2)xy＝·2x·5y≤·2＝10， 当且仅当2x＝5y，即x＝5，y＝2时，等号成立， 所以xy的最大值是10． 9．B　[因为x<0，则－x>0， 所以y＝5－x－＝5＋(－x)＋≥5＋2＝9， 当且仅当－x＝－，即x＝－2时y取得最小值为9． 故选B．] 10．A　[由题图可知，OF＝AB＝(a＋b)，OC＝(a＋b)－b＝(a－b)， 在Rt△OCF中，由勾股定理可得： CF＝ ＝， ∵CF≥OF，∴≥(a＋b)(a，b>0)．故选A．] 11．　[由0<x<1，可得y＝x＝≤＝，当且仅当x2＝1－x2，即x＝时，等号成立，此时ymax＝．] 12．解：(1)∵x<，∴5－4x>0， ∴原式＝＝4x－5＋＋3＝－＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立， 故所求最大值为1． (2)由x>0，y>0，x＋y＝1， 则xy≤2＝，当且仅当x＝y＝时取等号， ∴原式＝＝1＋≥1＋＝9，即最小值为9． 13．解：(1)对于三元基本不等式猜想：设a>0，b>0，c>0，≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 即横线处应填． (2)证明：因为a>0，b>0，c>0， 且a＋b＋c≥3>0，a2＋b2＋c2≥3>0， 所以(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)≥9＝9abc， 当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 即(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)≥9abc． (3)因为a>0，b>0，c>0，≥， 所以abc≤， 又因为a＋b＋c＝1， 0<1－a<1，0<1－b<1，0<1－c<1， 所以(1－a)(1－b)(1－c)≤＝， 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立． 所以(1－a)(1－b)(1－c)的最大值为． [点评]　抓住“和定积最大，积定和最小”，类比基本不等式即可求解本类问题． $